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1、如图，在正方形 ABCD 中，MAN=45，BD 与 AM、AN 交于 E、F，M、N 分别是 BC、CD 上的点 （1）猜想 MB、ND 与 MN 有何关系？并证明。 （2）AEN、AFM 是什么三角形？并证明。 （3）证明：EF=BE+FD； （4）设 AB=a，MN=b，则 b/a 的取值范围是多少？ 【解析】【解析】 （1）MB+ND=MN 证明：将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至ADM， MAN=DAN+MAB=45，AM=AM，BM=DM， MAN=MAN=45，AN=AN， AMNAMN， MN=NM， MN=MD+DN=BM+DN， MN=BM+DN （注：该题也可以用补短
2、去做，方法雷同。 ）（注：该题也可以用补短去做，方法雷同。 ） （2）AEN、AFM 为等腰直角三角形 证明：在 AN 的延长线上取一点 G，使得AMG=90 连接 MG，AC，作 GHBC 的延长线于点 H 易证：ABMMGH（AAS） BM=GH=CH GCH=45，CGBD BD 平分 AC BD 平分 AD 即 F 为 AG 中点 MFAF 又MAF=45 AMF 为等腰直角三角形 （3） 【图形及字幕与原题有差异，不过解题方法相同】 证明：在 AM 上截取 AN=AE，连接 NF， ABD 是等腰直角三角形， ABD=ADB=45， 在BAE 和DAN 中 ABAD BAEDAN A
3、EAN BAEDAN（SAS） ， BE=DN，ABE=ADN=45=ADF， NDF=45+45=90， 在 RtDNF 中，由勾股定理得：ND2+DF2=NF2， BAD=90，EAF=45， NAF=NAD+DAF=BAE+DAF=90-45=45， NAF=EAF=45， 在NAF 和EAF 中 ANAE NAFEAF AFAF NAFEAF（SAS） ， EF=FN， ND2+DF2=NF2，DN=BE， BE2+DF2=EF2 （4）b/a2-2 当 MNBD 时，MN 取值最小 如右图： 由勾股定理可知： b=x+ x b=x 又b+2x=2a a=x+b/2=x+x/2 b/a
4、x/(x+x/2) 化简后得：b/a2-2 1、如图：在等腰梯形、如图：在等腰梯形 ABCD 中，中，ADBC，M、N 分别是分别是 AD、BC 的中的中 点，点，E、F 分别是分别是 BM、CM 的中点的中点 （1）求证：四边形）求证：四边形 MENF 是菱形是菱形 （2）若四边形）若四边形 MENF 是正方形，请探索梯形是正方形，请探索梯形 ABCD 的高与底边的高与底边 BC 的数的数 量关系，并证明你的结论量关系，并证明你的结论 解析：解析： （1）已知四边形）已知四边形 ABCD 为等腰梯形，为等腰梯形，M 为为 AD 的中点的中点 则则A=D，AB=DC，AM=DM， 在在ABM
5、与与DCM 中，中， ABDC AD AMDM ABMDCM（SAS），）， MB=MC MBC 为等腰三角形为等腰三角形 N 为为 BC 的中点的中点 E 为为 BM 的中点，的中点， EN 是是MBC 的中位线，的中位线， 得得 ENMC 得得BEN 为等腰三角形，且为等腰三角形，且 EB=EN 又因为又因为 EB=EM 得得 EM=EN 同理可证同理可证 FM=FN MB=MC ME=EB，MF=FC 得得 ME=MF 即四边形即四边形 MENF 为菱形为菱形 （2）梯形的高是底边）梯形的高是底边 BC 的一半的一半 证明：证明：BMC=90 ABMCDM BMC 是等腰直角三角形是等腰
6、直角三角形 过过 M 点作点作 BC 的高的高 由等腰三角形三线合一可得由等腰三角形三线合一可得 高也是直角三角形斜边（底边）的中线高也是直角三角形斜边（底边）的中线 再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得：再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得： 梯形的高是底边梯形的高是底边 BC 的一半的一半 2、如何只用圆规画圆的四等分点（其他工具都不允许使用，比如铅笔、如何只用圆规画圆的四等分点（其他工具都不允许使用，比如铅笔、 直尺、量角器等）直尺、量角器等） 解析：解析：这道题的关键是如何只利用圆规画出这道题的关键是如何只利用圆规画出长度的线段。如下图所示：长度的线段。如下图所示： 在
7、在O 中，在圆弧上取点，以中，在圆弧上取点，以O 半径为半径画弧，截得半径为半径画弧，截得O 的的 6 等分点等分点 A、B、 C、D、E、F。 以以 AC 为半径，为半径，A、D 为圆心画弧，交于点为圆心画弧，交于点 G 以以 OG 为半径，在圆弧上取点为圆心画弧，即可得为半径，在圆弧上取点为圆心画弧，即可得O 的的 4 等分点。等分点。 如图（第二幅图与第一幅图基本相同），设如图（第二幅图与第一幅图基本相同），设O 的半径为的半径为 1。由作图方法得。由作图方法得 AC=3OG=2 AD=2，OA=OD=1，所以，所以AOD=90 只用圆规，将圆弧只用圆规，将圆弧 4 等分后，就能将圆等分后，就能将圆 4 等分了：等分了： 以以 4 等分点等分点 A、B、C、D 为圆心，为圆心，O 半径为半径画弧（如上图）半径为半径画弧（如上图）,证毕。证毕。
