冷却塔热力计算的数学模型

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1、论述与研究 冷却塔热力计算的数学模型 王启山 (天津城市建设学院) 摘 要 以麦克尔焓差理论为基础,建立了便于使用计算机技术的冷却塔热力计算数学模型, 重点解决了数值积分、 精度控制、 气水比的最大合理取值区间及气水比设计值的求定等。 为冷却塔的设计和校核提供方便而又准确的计算方法。 关键词 冷却塔;热力计算;焓差;数学模型 1 概述 冷却塔热力计算的意义在于推行循环用 水、 节约水资源、 节省能耗和建设投资,而编制 计算机软件则可提高工程设计计算的速度和质 量。 冷却塔内热水与空气之间既有热量传递又 有质量传递,德国的麦克尔(M erkel) 1成功地 引入了刘易斯数(L ew is N u

2、mber)把传热与传 质统一为焓变,从而建立了麦克尔焓差方程: dH=xv(i“-i)dV(1) 式中 dH微元容积填料在单位时间内由 水向空气传递的焓, kJ?h xv与含湿量差有关的淋水填料容 积散质系数, kg?m 3h i“温度与塔内该点水温相同的饱和 空气的焓, kJ?kg i塔内该点空气的焓, kJ?kg dV淋水填料微元容积 ,m 3 以式(1)为基础建立了冷却塔热力计算的基本 方程: xvV Q = Cw K t1 t2 d t i“-i (2) 式中 V淋水填料容积 ,m 3 Q水量, kg?h Cw水的比热, kJ?kg K蒸发水量散热系数 t1、t2进、 出塔水温, d

3、t进、 出该微元填料水的温差, 其它符号同前 式(2)右边是由进、 出塔水温及空气、 气象参数 决定的,它表示了冷却任务的大小或冷却的难 易程度,常称冷却数或交换数,用N来表示;方 程左边为选定的淋水填料所具有的冷却能力, 称为特性数,用N 来表示,它又可表示为气水 比的函数: N=c d (3) 式中 气水比, kg?kg c、d淋水填料的实验常数 冷却塔热力计算的第一类问题是求得在特 定冷却任务下所需要的气水比,据此确定塔体 尺寸及风机。以往是采用作图的方法,绘出N -曲线,二曲线之交点所对应的 即为设计 值 D。这种计算法不仅计算繁琐、 工作量大, 而 且也不准确,因此寻求直接通过计算求

4、得 设 计值的方法是冷却塔热力计算必须解决的问 题。 在计算机技术日益普及的今天,能直接求解 满足式(2)的 值。 4中国给水排水1996 Vol . 12 No. 5 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 间的后半段,而原区间变为(A, A+B 2 ), 如图 3c 所示。无论那种情况,均使原区间(A,B)减 半,并保持为开区间。取新区间的中点值作为 值再次代入式(16),重复上述计算直至满足精 图3 取值区间变化示意图 度要求。 3. 4 精度控制 当上述计算次数

5、达到n次后,的取值区 间长度变为原区间长度 1 2 n,若满足 B n-A n 2 (22) 则结束计算并输出计算结果: D= 1 2 (A n+B n)(23) 式中 A n、 B nn次计算后 取值区间的起、 终点值 证明式(22):如以 1 2 (A n+B n)为计算结果,则 按精度控制定义有 1 2 (A n+B n )- D (24) D肯定在开区间(A n,B n)内,因而 A n+B n 2 -D 1 2 B n-A n (25) 必成立。若B n-A n 2即 1 2 B n-A n, 必有 1 2 (B n+A n ) - D,因此用式(22)作 为精度控制式是正确的。 另

6、一方面,当某次计算中选取的 值恰好 与 D非常接近,使得式(16)计算后满足 N-N N(26) 则计算也可结束。 式(26)中的N为冷却数的精 度控制参数,为了和 的精度要求一致,N可 由 计算出来,计算公式及推导过程从略。 上述数学模型可圆满解决冷却塔热力计算 的第一类问题,对于第二类问题(校核计算)可 在此基础上略作改进即可。以上述数学模型编 制的计算机软件使用方便,计算准确可靠,可在 工程设计及教学科研中予以应用。 4 参考文献 1. EHampe著,胡贤章译,“冷却塔”, 1980年第一版。 2. 武汉大学计算数学教研室编 “计算方法”,人民教育出版 社, 1979年第一版。 3.

7、华中工学院数学教研室编 “工程数学”,算法语言,计算方 法分册,人民教育出版社, 1978年第二版。 4. 内田秀雄:“湿空气冷却塔”, 1963。 5. KKM ckelvey and M axey Brooke:“The Industrial Cooling Tower”, 1959。 作者简介:环境工程系主任 副教授 通讯处: 300381 天津市西青区津静公路 环境保护是利在当代、 福及子孙的大事。 71996 Vol . 12 No. 5中国给水排水 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All r

8、ights reserved. 2 数值积分的数学模型 2. 1 辛普森(Si mpson)数值积分2 由于式(2)右端的积分无法求得原函数,采 用辛普森法用抛物线近似代替被积函数曲线进 行数值积分,比梯形积分公式有较高的精确 度2。 若把积分区间分为n等分,并在每个子区 间上引用辛普森积分公式,得到复合辛普森公 式: b af (x)dx= h 3 (f0+ 4f1+ 2f2+ 4f3+ + 4fn- 3+ 2fn- 2+ 4fn- 1+fn)(4) 式中 f(x)被积函数 fi被积函数在第i个分点上的函数 值 a、b积分上、 下限 n分点个数 h分点间距 为了便于计算机的运算,需对辛普森积

9、分作一 些改进。 2. 2 梯形积分法 与式(4)相应的复合梯形积分公式2为: b af (x)dx=h 1 2 (f0+fn )+ n- 1 i= 1 fi (5) 式中符号同式(4) 在式(4)、(5)中,若函数f(x)在a,b区间 连续,则等式右端的值当n时趋于 b af (x) dx的真值I。 要使数值积分达到一定的精确度, 需要在计算程序中设置精度控制语句,当分点 数达到n时的数值积分值与真值I的差值小于 精度控制限 ,即可完成积分计算。 当未达到精 度要求时,则由控制语句使计算进入分点数加 倍后的下一次积分计算。 2. 3 龙贝格(Romberg)方法的引用3 为了使积分值具有辛普

10、森积分的较高精确 度又能节省计算工作量,使每次计算时能利用 上次计算中已经算出分点上的函数值,引用龙 贝格方法,即把辛普森积分公式表示为梯形积 分公式分点加倍前后两次积分结果的线性组 合,这给编制程序带来很大的便利。 在式(5)中, 令: Sn=h 1 2 (f0+fn )+ n- 1 i= 1 fi(6) 若把积分区间a,b的分点数增加一倍,分点数 n增加到2n,则新的积分小区间长为h= h 2 ,而 新增加的分点a+ (2K - 1) h处的函数值为 fa+ (2K - 1) h,令 =h n = 1f a+ (2K - 1) h (7) 若以Sm表示分点数为2n时的积分值, Sm=h 1

11、 2 (f0+fn ) + n- 1 i= 1 fi+ n K= 1f a + (2K - 1) h = h 2 1 2 (f0+fn ) + n i= 1 fi+h n K= 1f a+ (2K - 1) h = 1 2 Sn+(8) 式(8)与(7)表明,采用梯形积分公式时,分点加 倍后的积分值等于分点加倍前的积分值的一半 加上一个量,这个量等于分点加倍后新增加的 分点上的函数值与新区间长度的乘积。 这样每 次分点数加倍后,只需计算新增加的分点上的 函数值,节省了一半的计算量。 这时再引用龙贝 格法则,用梯形积分公式分点加倍前后两次积 分值的线性组合来表示辛普森积分公式: Y2n= 1 3

12、 4S2n-Sn(9) 2. 4 误差分析 使用计算机进行计算时的误差可分为舍入 误差和截断误差3。 由于被积函数f(x ) = 1 K(i“-i) 数值不大,在进行有限次运算中受计 算机字长限制形成的舍入误差可忽略不计。 主 要考虑数学模型本身的截然误差,而截断误差 是由有限次运算代替无限次运算造成的,对于 辛普森积分公式截断误差即为其积分公式的余 项3 I-Yn= b-a 180 f (4) () ( h 2 ) 4 (10) 式(10)表明截断误差和积分步长h的4次方成 正比。 因此,分点数加倍而积分步长h减半后其 截断误差将减少到原来的 1 16, 即 51996 Vol . 12 N

13、o. 5中国给水排水 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. I- Y2n I-Yn = ( h 2 ) 4 h4 = 1 16 (11) 得 I-Y2n= 1 15 (Y2n-Yn)(12) 式(12)即成为以分点加倍前后两次辛普森积分 值之差形式表示的截断误差。 由于被积函数形 式复杂、 积分公式的余项难以求出,故采用事后 估计的方法控制计算精度,给编制计算程序带 来很大便利。 从误差限定义出发,若误差限为 时可写 成: I-Y2n(13) 由式(12)和(13)可

14、得: 1 15Y 2n-Yn(14) 即 Y2n-YnN 表明 1落在 D的左边,如图2所示,表明 1 D可舍去包括 1在内的区间前半部,而变为 ( A+B 2 ,B ), 如图3b所示;若N D,见图2,这时应舍去区 6中国给水排水1996 Vol . 12 No. 5 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. FULL-SCALE EXPERI MENTS ON STREAM I NG CURRENT CASCADE CONTROL METHOD FOR COAGUL

15、ANT DOSAGE (11) W andong Yang Hong L i Q iyi Yao (H arbin U niversity of A rchitecture and Eng ineering) Abstract Cascade controlmethod for coagulant dosage using stream ing current technique is described in the paper. The method is studied and evaluated in theory and from practical use of approved products concerned.It has been shown theoretically and experi mentally that the method is superior in control function to single variable control method by stream ing current. Keyw ords: Stream ing current; Cascade