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1、高三重点班开学考试数学试题（理）第卷 选择题（满分60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.已知函数，则是在处取得极小值的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3.已知与是共轭虚数，有个命题；，一定正确的是（ ）A B C D 4.大致的图象是（ ） A B C. D5.若，满足约束条件则的最大值是（ ）ABCD 6.已知锐角满足，则等于（ ）ABCD 7.的展开式中，的系数为（ ）ABCD 8.数列中，已知，且，（且），则此数列为（ ）A等差数列B
2、等比数列C从第二项起为等差数列D从第二项起为等比数列9.已知平面向量，满足，则的最大值为（ ）A-1 B-2 C. D10.已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A B C. D11.已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C. D12.已知直线与曲线相交，交点依次为，且，则直线的方程为（ ）A B C. D二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 设满足则的最大值是_14. 二项式的展开式中常数项是_（用数字作答）15. 若方程为标准方程的双曲线的一条渐近线与圆相切，则其离心率为_16. 已知数列共有26项，且，则满足条件的不同数列有_ 个三、解答题
3、：(本大题6个小题，共70分)17.已知数列的前项和。（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和。18如图，正三棱柱的所有棱长均，为棱（不包括端点）上一动点，是的中点（）若，求的长；（）当在棱（不包括端点）上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围19.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面列联表，并回答是否有以上的把握认为 “桔柚直径与所在基地有关”？（2）求优质品率较高的基地的500个桔
4、柚直径的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)：（3）经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差，乙基地的500个桔柚直径的样本方差，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例.附：，.若，则.，.20.已知过点的椭圆的离心率为.（1）求椭圆方程；（2）不过坐标原点的直线与椭圆交于两点(异于点，线段的中点为,直线的斜率为1.记直线的斜率分别为.问是否为定值?若为定值，请求出定值.若不为定值，请说明理由.21.已知函数，函数.（）
5、判断函数的单调性；（）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且，成等比数列.（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2）已知，是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于，两点，试求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知，.（1）若，求不等式的解集；（2）若时，的解集为空集，求的取值范围. 参考答案1-5: CDDDC 6-10.ABDDA 11-12.CB13
6、.【答案】 14.【答案】210 15.【答案】或2 16.【答案】230017.解：（）由题意知，当6分（）解：由（）知=，Tn=12分18证明：（），由AC=BC，AE=BE，知CEAB，又平面ABC平面ABB1A1，所以CE平面ABB1A1而AD平面ABB1A1，ADCE，又ADA1C所以AD平面A1CE，所以ADA1E易知此时D为BB1的中点，故BD=15分（）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BD=t，则A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（0，2），=（2，0，t），=（1，2），设平面ADC1的法向量=（x，y，z
7、），则，取x=1，得，平面ABC的法向量=（0，0，1），设平面ADC1与平面ABC的夹角为，cos=由于t（0,2）,故cos（，即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为（，12分19.解：（）由以上统计数据填写列联表如下：甲基地乙基地合计优质品420390810非优质品80110190合计5005001000 ，所以,有95%的把握认为：“两个基地采摘的水果直径有差异” （）甲基地水果的优质品率为，甲基地水果的优质品率为，所以，甲基地水果的优质品率较高， 甲基地的500个桔柚直 （）由（）可知，甲基地的桔柚直径，所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78毫米的桔柚在总体
8、中所占的比例大约为.20.解: （）由题意得 ,解得,则椭圆的方程为 ()由题意可设直线方程为,令则.直线的斜率为1,即 (1) 则代入(1)式得,因此, 则,即为定值21解：（I），其定义域为为， .（1） 当时，函数在上单调递增；（2） 当时，令，解得；令，解得.故函 数在上单调递增，在上单调递减. （II）由题意知.，当时，函数单调递增，不妨设，又函数单调递减，所以原问题等价于：当时，对任意，不等式恒成立，即对任意，恒成立.记，则在上单调递减.得对任意，恒成立.令，则在上恒成立.则，而在上单调递增，所以函数在上的最大值为.由，解得.故实数的最小值为. 22.解：（1）设，则由成等比数列，可得， 即， 又满足，即， ，化为直角坐标方程为 （2）依题意可得，故，即直线倾斜角为， 直线的参数方程为 代入圆的直角坐标方程，得， 故， 23.解：(1)当时，化为 ， 当，不等式化为，解得或，故；当时，不等式化为，解得或，故； 当，不等式化为，解得或故； 所以解集为或 (2) 由题意可知，即为时，恒成立 当时，得； 当时，得，综上，
