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1、第四十九讲第四十九讲 随机事件的概率随机事件的概率 回归课本回归课本 1.事件的分类事件的分类 (1)一般地一般地,我们把在条件我们把在条件S下下,一定会发生一定会发生的事件的事件,叫做相对于叫做相对于 条件条件S的必然事件的必然事件,简称简称必然事件必然事件. (2)一般地一般地,我们把在条件我们把在条件S下下,一定不会发生一定不会发生的事件的事件,叫做相对叫做相对 于条件于条件S的不可能事件的不可能事件,简称简称不可能事件不可能事件. (3)必然事件与不可能事件必然事件与不可能事件统称为相对于条件统称为相对于条件S的确定事件的确定事件,简简 称称确定事件确定事件. (4)在条件在条件S下可
2、能发生也可能不发生下可能发生也可能不发生的事件的事件,叫做相对于条件叫做相对于条件 S的随机事件的随机事件,简称简称随机事件随机事件. (5)确定事件确定事件和和随机事件随机事件统称为事件统称为事件,一般用大写字母一般用大写字母A,B,C 表示表示. 2.频数频数,频率频率 (1)在相同的条件在相同的条件S下重复下重复n次试验次试验,观察某一事件观察某一事件A是否出现是否出现, 称称n次试验中事件次试验中事件A出现的次数出现的次数nA为事件为事件A出现的频数出现的频数,称称 事件事件A出现的比例出现的比例fn(A)= 为事件为事件A出现的频率出现的频率. (2)对于给定的随机事件对于给定的随机
3、事件A,如果随着试验次数的增加如果随着试验次数的增加,事件事件A发发 生的频率生的频率逐渐稳定在区间逐渐稳定在区间0,1中的中的某个常数上某个常数上,那么把这那么把这 个常数记作个常数记作P(A),称为事件称为事件A发生的概率发生的概率. A n n (3)任何事件任何事件A发生的概率发生的概率P(A)0,1,它度量事件发生的它度量事件发生的可可 能性的大小能性的大小.若若A为必然事件为必然事件,则则P(A)=1;若若A为不可能事件为不可能事件, 则则P(A)=0. 3.事件的关系与运算事件的关系与运算 (1)对于事件对于事件A与事件与事件B,如果事件如果事件A发生发生,则事件则事件B一定一定
4、发生发生,这这 时称事件时称事件B包含事件包含事件A(或称或称事件事件A包含于事件包含于事件B),记作记作 B A(或或AB). (2)若若B A,且且A B,那么称事件那么称事件A与事件与事件B相等相等,记作记作A=B. (3)若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A发生发生或或事件事件B发生发生,则称此事则称此事 件为事件件为事件A与事件与事件B的并事件的并事件(或或和事件和事件),记作记作AB(或或 A+B). (4)若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A发生发生且且事件事件B发生发生,则称此事则称此事 件为事件件为事件A与事件与事件B的交事件的交事件(或或积事件积
5、事件),记作记作AB(或或AB). (5)若若AB为为不可能不可能事件事件,(AB=),那么称事件那么称事件A与事件与事件B互互 斥斥,其含义是其含义是:事件事件A与事件与事件B在任何一次试验中不会同时发在任何一次试验中不会同时发 生生. (6)若若AB为为不可能不可能事件事件,AB为为必然必然事件事件,那么称事件那么称事件A与事与事 件件B互为对立事件互为对立事件,其含义是其含义是:事件事件A与事件与事件B在任何一次试在任何一次试 验中有且仅有一个发生验中有且仅有一个发生. (7)互斥事件概率的加法公式互斥事件概率的加法公式: 如果事件如果事件A与事件与事件B互斥互斥,则则P(AB)=P(A
6、)+P(B). 特别地特别地,若事件若事件B与事件与事件A互为对立事件互为对立事件,则则P(A)=1-P(B). 考点陪练考点陪练 1.从从6个男生、个男生、2个女生中任选个女生中任选3人人,则下列事件中必然事件是则下列事件中必然事件是( ) A.3个都是男生个都是男生 B.至少有至少有1个男生个男生 C.3个都是女生个都是女生 D.至少有至少有1个女生个女生 解析解析:因为只有因为只有2名女生名女生,所以选出的所以选出的3人中至少有人中至少有1名男生名男生. 答案答案:B 2.某产品分一、二、三级某产品分一、二、三级,其中只有一级是正品其中只有一级是正品.若生产中出若生产中出 现正品的概率是
7、现正品的概率是0.97,出现二级品的概率是出现二级品的概率是0.02,那么出现那么出现 二级品或三级品的概率是二级品或三级品的概率是( ) A.0.01 B.0.02 C.0.03 D.0.04 解析解析:“出现一级品出现一级品”这一事件的对立是这一事件的对立是“出现二级品或三出现二级品或三 级品级品”,由对立事件概率之和为由对立事件概率之和为1即可得出答案即可得出答案. 答案答案:C 3.(2010山东青岛山东青岛2月月)为了了解学生遵守为了了解学生遵守中华人民共和中华人民共和 国交通安全法国交通安全法的情况的情况,调查部门在某学校进行了如下的调查部门在某学校进行了如下的 随机调查随机调查:
8、向被调查者提出两个问题向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗你的学号是奇数吗 ?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对要求被调查者背对 调查人员抛掷一枚硬币调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面如果出现正面,就回答第就回答第(1)个问题个问题; 否则就回答第否则就回答第(2)个问题个问题.被调查者不必告诉调查人员自己被调查者不必告诉调查人员自己 回答的是哪一个问题回答的是哪一个问题,只需要回答只需要回答“是是”或或“不是不是”,因为因为 只有被调查者本人知道回答了哪个问题只有被调查者本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了所以都如实做了 回答回答.
9、结果被调查的结果被调查的600人人(学号从学号从1到到600)中有中有180人回答了人回答了 “是是”,由此可以估计在这由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是人中闯过红灯的人数是( ) A.30 B.60 C.120 D.150 解析解析:抛掷一枚硬币出现正面和反面的概率都是抛掷一枚硬币出现正面和反面的概率都是0.5,因此因此600 个被调查的学生中大约有个被调查的学生中大约有300个人回答了第一个问题个人回答了第一个问题,300 个人回答了第二个问题个人回答了第二个问题,又因为学号是奇数和偶数的概率又因为学号是奇数和偶数的概率 相等相等,都是都是0.5,故故300个回答第一个问题的学生中
10、大约有个回答第一个问题的学生中大约有 150人回答了人回答了“是是”,所以所以300个回答第二个问题的学生中个回答第二个问题的学生中 有有180-150=30个回答了个回答了“是是”,即曾经闯过红灯即曾经闯过红灯,故在这故在这 600人中闯过红灯的人数大约是人中闯过红灯的人数大约是60人人. 答案答案:B 4.(2010新创题新创题)一个家庭有两个小孩一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事则所有可能的基本事 件有件有( ) A.(男男,女女)(男男,男男)(女女,女女) B.(男男,女女)(女女,男男) C.(男男,男男)(男男,女女)(女女,男男)(女女,女女) D.(男男,男男)(女女,女
11、女) 解析解析:由于两个孩子有先后出生之分由于两个孩子有先后出生之分,故选故选C. 答案答案:C 5.(2010浙江台州浙江台州2月模拟月模拟)袋中装有编号为袋中装有编号为1 2 3 4的四个的四个 球球,四个人从中各取一个球四个人从中各取一个球,则甲不取则甲不取1号球号球,乙不取乙不取2号球号球, 丙不取丙不取3号球号球,丁不取丁不取4号球的概率为号球的概率为( ) 13 48 1123 2424 AB CD 解析解析:四人从袋中各取一球共有四人从袋中各取一球共有4321=24种不同的取法种不同的取法 ,甲不取甲不取1号球号球,乙不取乙不取2号球号球,丙不取丙不取3号球号球,丁不取丁不取4号
12、球有号球有9 种不同的取法种不同的取法,所以其概率是所以其概率是 答案答案:B 93 . 248 类型一类型一 随机事件及概率随机事件及概率 解题准备解题准备:(1)频率频率:在相同条件下重复进行在相同条件下重复进行n次试验次试验,观察某一观察某一 事件事件A出现的次数出现的次数m,称为事件称为事件A的频数的频数,那么事件那么事件A出现的出现的 频率频率fn(A)= 频率的取值范围为频率的取值范围为0,1. , m n (2)概率概率:对于给定的随机事件对于给定的随机事件,如果随着试验次数的增加如果随着试验次数的增加,事事 件件A发生的频率稳定在某个常数上发生的频率稳定在某个常数上,我们把这个
13、常数记为我们把这个常数记为 P(A),称为事件称为事件A的概率的概率. 频率与概率有本质的区别频率与概率有本质的区别,不可混为一谈不可混为一谈,频率随着试验次数频率随着试验次数 的改变而变化的改变而变化,概率却是一个常数概率却是一个常数,它是频率的科学抽象它是频率的科学抽象.当当 试验次数越来越多时频率向概率靠近试验次数越来越多时频率向概率靠近.只要次数足够多只要次数足够多,所所 得频率就近似地当做随机事件的概率得频率就近似地当做随机事件的概率. 【典例典例1】 (2010海南模拟海南模拟)某市地铁全线共有四个车站某市地铁全线共有四个车站,甲甲 乙两人同时在地铁第乙两人同时在地铁第1号车站号车
14、站(首发站首发站)乘车乘车.假设每人自第假设每人自第 2号车站开始号车站开始,在每个车站下车是等可能的在每个车站下车是等可能的.约定用有序实数约定用有序实数 对对(x,y)表示表示“甲在甲在x号车站下车号车站下车,乙在乙在y号车站下车号车站下车”. (1)用有序实数对把甲用有序实数对把甲 乙两人下车的所有可能的结果列举出乙两人下车的所有可能的结果列举出 来来; (2)求甲求甲 乙两人同在第乙两人同在第3号车站下车的概率号车站下车的概率; (3)求甲求甲 乙两人在不同的车站下车的概率乙两人在不同的车站下车的概率. 解解 (1)用有序实数对用有序实数对(x,y)表示甲在表示甲在x号车站下车号车站下
15、车,乙在乙在y号车号车 站下车站下车,则甲下车的站号记为则甲下车的站号记为2,3,4共共3种结果种结果,乙下车的站乙下车的站 号也是号也是2,3,4共共3种结果种结果.甲甲 乙两人下车的所有可能的结果乙两人下车的所有可能的结果 有有9种种,分别为分别为 :(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4). (2)设甲设甲 乙两人同时在第乙两人同时在第3号车站下车的事件为号车站下车的事件为A,则则P(A)= 1 . 9 (3)设甲设甲 乙两人在不同的地铁站下车的事件为乙两人在不同的地铁站下车的事件为B,则结果有则结果有 :(2,3),(2
16、,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),共共6种结果种结果,故故 62 ( ). 93 P B 反思感悟反思感悟 在解决此类问题时在解决此类问题时,首先分清所求事件是由哪些首先分清所求事件是由哪些 基本事件组成的基本事件组成的,即明确基本事件总数即明确基本事件总数N和这个具体事件包和这个具体事件包 含的基本事件数含的基本事件数M,由由 计算概率计算概率. M P N 类型二类型二 互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件与对立事件的区别和联系 解题准备解题准备:“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言 的的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立的事件而对立的事件 是其中必有一个要发生的互斥事件是其
