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1、例1 求下列函数的定义域:(1)；(2)；(3).分析 求函数的定义域,主要是使所给函数的数学式子有意义,要注意以下几种情况:(a)分式的分母不能为零；(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；(c)对数的真数应大于零；(d)或,其；(e)若函数的表达式由几项组成,则它的定义域是各项定义域的交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集.解 (1)要使函数有意义,应有 , 即 .故所给函数的定义域是不等于1和2的所有实数.(2)要使函数有意义,应有 ,解得.故所给函数的定义域是.(3)要使有意义,必须, 即).要使有意义,必须 , 即 .故所给函数的定义域是且.例2 求下列函数的值域:(1)；(2
2、).(1)分析 本题可用求其反函数定义域的方法来求直接函数的值域.解 由于的反函数为, 其定义域为,故直接函数的值域为.(2)分析 本题可以利用不等式来求值域.解 由基本不等式,所以,即所求值域为.例3 设,求.分析 本题是求函数的表达式,可以用凑元法或换元法.解法一 (凑元法) 因为 ,所以 即 ,故 .解法二 (换元法) 令,则,所以故 .例4 下列各题中,函数和是否相同?为什么?(1),；(2),；(3),.分析 要判断两个函数相同,关键是要判断它们的定义域相同,并且对应法则也要相同.解 (1) 由于的定义域为,的定义域为.所以这两个函数不相同.(2) 由于和的定义域均为,所以这两个函数
3、定义域相同.但是在区间内,它们的对应法则不相同. 所以这两个函数不相同.(3) 由于和的定义域均为,所以这两个函数定义域相同,并且在内,恒成立,从而对应法则也相同,所以这两个函数相同.例5 设,且,求及其定义域.分析 此题是考查复合函数的概念解 ,而,；再求定义域: ,即定义域为.例6 若对任意,有,求.分析 此题可以用解函数方程组的方法求出.解 令,则,即 ,与原式联立,消去,得到 .例7 判断下列函数的奇偶性:(1)；(2)；(3).分析 要判断函数的奇偶性,只需用定义来证明.解 (1) 由于的定义域为的全体实数,不关于原点对称,所以所给函数是非奇非偶函数.(2) 由于 +=.得到.所以所
4、给函数是奇函数.(3) 由于,即.所以所给函数是偶函数.例8 单项选择题: 设,则是( ).(A)有界函数；(B)单调函数；(C)周期函数；(D)偶函数.分析 此题主要是考察函数的性质,用定义来分析.解 当时,只要,则,所以无界.又,显然不是单调函数,周期函数,并且很容易证明它是偶函数.所以答案是(D).例9 单项选择题: 设,则( ).(A)；(B)；(C)；(D).分析 此题是考查函数及分段函数的概念.解 ,答案是(D)例10 设是的反函数,求的反函数.分析 此题关键是对反函数定义的理解解 因为是的反函数,所以对一切都成立,用代,得到,由此推出故的反函数为2.例11 设函数 ,求.分析 本
5、题是将两个分段函数复合成一个分段函数.解 首先需写出以为自变量的函数的表达式,得到由的定义可知,当时,；当时,.代入的表达式,得到 .例12 单项选择题:“对任意给定的,总存在正整数,当时,恒有”是数列收敛于的( ).（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件分析 此题必须对数列极限的定义有深刻的了解.解 只是用来刻划与无限接近的程度的,所以选的意义是一样的.同样,由于是可以任意小的,所以也是可以任意小的.答案是(C).例13 用定义证明.分析 证明的关键是,对于任意给定的正数,要确实找出正整数,使得当时,成立,并且在找的过程中,可以进
6、行适当放大.证 任给,所以要使,只需,即.因此,取,则当时,必有成立.所以.例14 用定义证明.分析 证明的关键是,对于任意给定的正数,要确实找出正数,使得当时,成立,并且在找的过程中,可以进行适当放大.证 任给,(当时)所以要使,只需,即.因此,取,则当时,必有成立.所以.例15 求极限.分析 此类题目常常采用分子有理化.解 原式.例16 已知,则 , .分析 此类题目实际上是计算题.解 ,得到 .例17 求.分析 这类函数的极限要注意的等价无穷小,并且将分子适当进行化简,化简的过程中要有一定的技巧.解 .而 时,所以,原极限.例18 设,求.分析 此题只需将化简,并且利用重要极限来求.解
7、.例19 求分析 函数的表达式中含有绝对值符号,或指数函数的指数趋向于无穷大时,解题时必须求其求左、右极限,并判断是否相等.解 ,.因为左、右极限存在并且相等, .例20 如果,求.分析 本题是已知一个函数的极限,求另一个函数的极限.解本题的关键是将所给的函数变形,分解出部分,而后求极限.解 .故 .例21 求极限 .分析 求指数函数当时的极限,必须区分正、负无穷.解 ,.故原极限不存在.例22 求极限 .分析 此极限为型,可以化为重要极限来求. 解 令,则有.例23 已知极限,问分析 此极限为型,可以转化为重要极限来求.解 而 . 所以,原极限=.故 .例24 求极限.分析 将有不等于零的极
8、限分离出来,并且用等价无穷小替代.解 .例25 单项选择题: 时,变量是( ).(A)无穷小量 (B)无穷大量(C)有界的,但不是无穷小量 (D)无界的,但不是无穷大量分析 此题主要是区分无穷大量与无界变量.解 答案是(D).因为,取,时,.而此时,但是,取,时,仍有.而此时.所以,时,变量不是无穷大量,更不可能是无穷小量,而是无界变量.例26 设,证明数列收敛,并求数列的极限.分析 此题关键是用单调有界数列有极限这个准则来证明.证 由于 .并且得到:数列单调递减有下界,从而数列有极限.记.在等式两边取极限得到:解得 (舍去,因为).故 .例27 设,试证数列的极限存在,并求此极限.分析 此类
9、题目应该采用极限存在准则进行证明.证:(1)有界性：,设,则,由归纳法可知,对一切,有,即数列有下界；(2)单调减少：,设,则,由归纳法可知,数列单调减少；故数列极限存在；(3)设,对,令,得,由,解得.例28 单项选择题:数列和满足,则下列断言正确的是( ).（A）若发散,则必发散；（B）若无界,则必无界；（C）若有界,则必为无穷小；（D）若为无穷小,则必为无穷小.分析 本题考查的是无穷小量与有界变量的性质.解 (A)不成立.只需举一反例.如,时,虽然发散,并且.但是不发散；(B)不成立.因为两个无界变量之积不可能是无穷小量.(C)不成立.只需举一反例.如,时,虽然有界,并且.但不是无穷小；
10、(D)成立.所以,答案是(D).例29 证明.分析 利用两边夹定理来证明此题.证 因为 .由于 所以,根据两边夹定理有 .例30 已知,求.分析 本题是已知一个函数的极限,求另一个函数的极限.解本题的关键是将所给的函数适当变形,分解出部分,而后求极限.解 ,于是,.例31 求.分析 将分子拆开,并且用等价无穷小来替换.解 分子而 .例32 设,其中存在,求.分析 两边求极限即可.解 设,则,令,得,故.例33 若函数在上连续,求的值. 分析 本题只需根据连续的定义做.解 ,.例34 讨论函数的间断点及其类型.分析 只需用定义判断间断点的类型.解 间断点为及,所以为(第一类)跳跃间断点；,所以为
11、(第二类)无穷型间断点.例35 设函数,讨论的间断点.分析 因为极限中有两个变量,而是真正的变量,在极限过程中是常量.解本题的关键是先求出,再讨论连续性.解 当时, , 当时, , 当时, , 当时, ,而 ,.所以,的间断点为,是第一类间断点.例36 设函数在闭区间上连续,并且在上,都有,证明在上至少存在一点,使得.分析 构造一个连续函数,利用连续函数的零点定理进行证明.证 令,在上连续,在上也连续,如果(1)或,则结论显然成立.(2)且,则有,所以,根据连续函数的零点定理,必定存在一点,使得.即.所以.根据(1)及(2)可知,必定在上至少存在一点,使得.例37 设函数在区间上连续,并且,证明:在区间上有界.分析 要利用连续函数的最值定理及极限的性质来证明.证 因为,所以,对于,当时,必定有,即,从而有.又因为函数在区间上连续,所以在区间上连续.由闭区间上连续函数的最值定理,使得在区间上满足.故,取,则当时,有,即在区间上有界.
