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1、2013河南专升本（云飞）版高数教材第一章知识点详细解析I、求函数的定义域。函数的定义域是自变量的取值范围，故求定义域时常常排除那些使函数没有意义的点。每个函数都有其定义域，定义域不同，即使对应法则一样，两个函数也不是相等的。如一些基本初等函数，观察其定义域：根式，分式，三角函数，反三角函数，指数函数，对数函数，幂函数（注意：无意义）。考试中此种题目的考查有两种形式：（1）是对给定解析式的函数求定义域，若能根据常见的函数的定义域列出不等式组，那么可以通过直接解不等式来完成，也可以利用验证法确认选项，注意取特殊点验证；（2）是抽象函数也即含有符号的函数的定义域问题，一共有三种形式，无论是哪种形式
2、都要最先确定函数的自变量是什么，再进行求解。例1 求下列函数的定义域 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：由分析式子表示的函数的定义域是使该式子有意义的所有实数构成的集合如分式的分母不能为零；对数的真数必须大于零；开偶次方根的数必须大于等于零；反三角函数则遵循对该函数所规定的定义域；求复合函数的定义域时，既要使有意义，又要使有意义，即要根据和共同确定其定义域（l）要使有意义，只要即可，即，因此它的定义域为（2）由即它的定义域为（3）由及得，即它的定义域为（4）由得即它的定义域为（5）由得所以它的定义域为（6）由得，即定义域为例2 （1）设的定义域为，求的定义域（2）设的定义域为
3、求的定义城解：（1）由得，即定义城为（2）由得，即定义域为.例3 的定义域是，的定义域是（ ）A B C D解：定义域，因此选例4 函数的定义域是（ ）A B C D 解：选A.由及解的函数的定义域为例5 函数的定义域是 （ ）A （) B （） C D 解：选.由题意： ，所以得到函数 的定义域为例6 下列各对函数哪些是同一函数？（1） （2） （3） （4） 解：两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致只有（1）中的两个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数这是因为：（1）两个函数的定义域都是R，对应关系也完全相同，即（2）定义域不同 的定义域为R， 的定义域为（3）定义域不同 的定
4、义域为，y= 2ln的定义域为（4）定义域不同 的定义域为R， 的定义域为例7 在区间内，与函数相等的函数是（ ）（200503）A B C D解：我们知道，因此选II、函数之间的运算和函数性质的题目。函数之间的运算主要涉及求复合函数或外层函数。给出一个函数，只要能看出是由哪些初等函数、基本初等函数符合而成的就可以了。利用常用方法就能解题。函数的性质：（1）单调性设函数的定义域为，区间，如果对于区间上任意两点，当，恒有，则称在区间上是单调增加；如果对于区间上任意两点，当，恒有，则称在上是单调减少，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（关于函数的单调性问题，将在“导数的应用”中讨论）（2）有界
5、性 如果存在正数，使得对任一都成立，则称函数在上有界，如果这样的不存在，就称函数在上无界；这就是说，如果对于任何正数总存在，使，那么就称函数在上无界 有界性与区间有关，如在上有界，但在上无界若函数在上有一个界，则比大的数都可以作为它的界，即界不唯一在现阶段我们将会学到三个有界函数，在定义域是情况下，分别是在极限计算中，当有界函数与其他函数相乘时，我们接触到的一般都是“有界函数乘无穷小等于零”（3）奇偶性设函数的定义域关于坐标原点对称如果对任一，恒成立，则称为偶函数；如果对任一，恒成立，则称为奇函数函数奇偶性判断方法：根据奇偶性定义：如证得，那么此函数为偶函数，如证得，那么此函数为奇函数根据四则
6、运算： 奇奇奇， 偶偶偶，奇偶非奇非偶奇奇偶， 偶偶偶， 奇偶奇指数运算用除法：，举例： 运用,得为奇函数对数运算用加法：，e.g. 运用,得为奇函数如等是奇函数；而是偶函数（特别要说的是，0是既奇又偶的函数）（4）周期性 设函数的定义域为如果存在一个正数，使得对于任一有且恒成立，则称为周期函数为的周期，通常我们说的周期函数的周期是指最小正周期这里我们总结一个正弦函数的周期公式：表示的是上下移动，表示的是振幅，表示的水平移动，与三角函数周期有关一般的，对周期函数进行有限次的四则运算仍就是周期函数；公式中常量变成变量的均不是周期函数周期函数在每一个周期上的图形是相同的例如：是周期函数不是周期函数
7、（5）反函数设函数是单射，则它存在映射，称此映射为函数的反函数例如：与互为反函数；与互为反函数例1 设，求解：因为，所以例2 讨论下列函数的奇偶性（1） （2） （3） （4） 解：（1）因为，所以为偶函数 （2）因为，所以，为奇函数 （3）既不是奇函数也不是偶函数（可称之为非奇非偶函数） （4）即，所以为奇函数.例3 在区间上，设函数是偶函数，那么（ ）A 是奇函数 B 是偶函数C 既不是奇函数也不是偶函数 D 不能被判定奇偶性解：记，则在上，有，即为偶函数，故选例4 设在区间内是奇函数，并且在区间内严格单调增，那么函数在区间内（ ）A 严格单调减 B 严格单调增C 既不严格单调增，也不严格
8、单调减 D 可能严格单调增，也可能严格单调减解：设任意，且，则f(x)由在内严格单调增得，于是再有是上的奇函数，得，且=，即在上严格单增，故在内严格单调增说明：原题为“在内严格单调增”如果不将左端点取成闭的，则本题无可选答案III、无穷小量阶的比较。（1）定义：设函数在的某一去心邻域内有定义，如果对，当时，恒有成立，则称时为无穷大，记作 注意“”仅是一个记号，不是通常的“数”，不能像数那样进行运算实质上是不存在的特殊情况若，则称时为无穷小 注意常数“0”在的任何趋向下都是无穷小，但除此之外的任何数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小（2）无穷小与无穷大的关系：若，则称；反之，若，且在的某个邻域内
9、不为零，则（通常说成，无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大，但是要注意上述的“，且在的某个邻域内不为零”）（3）无穷小的运算性质（下列结论均指自变量的同一趋向下成立）有限个无穷小之和仍是无穷小；有限个无穷小之积仍是无穷小；有界函数与无穷小之积是无穷小（4）无穷小的比较设函数和，当时都是无穷小； 若，则称当时，是比较高阶的无穷小，记作 (此时也称是比较低阶的无穷小）； 若，则称当时，和是同阶无穷小； 特别，若，则称时，和是等价无穷小，记作（5）等价无穷小替换（常应用于求极限的题目中）设时，与是等价无穷小，则；（当时，）注：以上两式中的等号“=”应理解为：等号“=”两边的极限同时存在或同时不
10、存在；若两边的极限存在则必相等等价无穷小量替换见第二部分本章重点和难点中的（3）.例1 下列函数中，当是，与等价的无穷小量是（ ）A B C D 解：选.本题考察的是当时，与函数的比值的极限为1IV、求各种形式的极限。（1）两个重要极限： （第一重要极限）；，特别地 （第二重要极限） 例：，会有多种方法求极限，以下列出三种：换元法，令，所以原式化为凑形式，;零位乘无穷，在该极限题中，所在的位置为零位，所在的位置为无穷大，（2）在下列一般形式的特例中，和为非负整数时，有.也即多项式的型求极限等于分子分母最高项系数之比。（3）多项式的型求极限要首先分解因式，约去零因子再求极限。（4）分子（母）有理
11、化求极限。 （5）用等价无穷小量求极限。等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；此方法在各种求极限的方法中应作为首选。（6）用两边夹法则求极限。（7）用对数恒等式求极限。（8）用洛必达法则求极限。例1 ，（） 解：分子中变化最快的因子是；分母中变化最快的因子是.例2 求下列极限： （1）； （2）； （3）（4） ； （5）； （6）解：（1）（这里利用了时，）;（2）;（3）括号内分子、分母同除以，再用第二重要极限：; （4）本题是“”型，应用第二重要极限：; （5）注意到，而时，是无穷小，因此有;（6）因为，即, 例3 设，则分别为（ ）A ， B ， C ， D ，解：选.将的结果代入
12、极限式左端得故选V、函数连续性的问题。（1）我们把函数在点连续的定义用不同的方法来叙述： 设函数在的某邻域内有定义，如果，则称在处连续 设函数在及的左侧有定义，如果，则称在处左连续 设函数在及的右侧有定义，如果，则称在处右连续 若函数在区间上每点都连续，则称在区间上连续规定：函数在区间端点处的连续性，左端点只要求右连续，右端点只要求左连续函数在处连续与它在该点的左右连续性的关系；在处连续的充分必要条件是它在该点既左连续又右连续（2）初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续在区间上连续的函数的和、差、积、商（分母不为零），在上连续由连续函数经过有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续在区间上连
13、续且单调的反函数在对应的定义区间上连续初等函数在定义区间上连续若在处连续，且，则.例1 当常数取何值时，函数在上连续解：因为在上连续，在上连续， 所以只要，在处也连续即可 因 ，且由在处连续知，必有即, 例2 讨论函数的连续性解：，显然在或时是连续的又，所以在上连续VI、函数间断点的类型。若函数在处不连续，则称在处间断间断点的分类例1 设，求的间断点并指出其类别解：因为分别在区间（内是初等函数，因此是连续的，而分别在处无定义，故在这三点处间断， 又，所以是第二类间断点（无穷间断点）；，所以是第一类间断点（可去间断点）； , 所以是第一类间断点（跳跃间断点）例2 求的间断点，并指出其类型解：函数当时是间断的，而，因此是第一类问断点（可去间断点）；不存在，因此是第二类间断点（振荡间断点）；故这些是第二类间断点（无穷间断点）
