《高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2.2 函数的单调性与最值课件 文》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2.2 函数的单调性与最值课件 文(70页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 函数概念与基本初等函数 I,2.2 函数的单调性与最值,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,答题模板系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),知识梳理,1,答案,上升的,下降的,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间I上是_或_,那么就说函数yf(x)在区间I上具有单调性,区间I叫做yf(x)的单调区间.,单调增函数,单调减函数,答案,2.函数的最值,f(x)f(x0),f(x)f(x0),答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在增函数与减函数的
2、定义中,可以把“任意两个值x1,x2”改为“存在两个值x1,x2”.( ) (2)对于函数f(x),xD,若x1,x2D且(x1x2)f(x1)f(x2)0,则函数f(x)在D上是增函数.( ) (3)函数yf (x)在1,)上是增函数,则函数的单调递增区间是1,).( ) (4)函数y 的单调递减区间是(,0)(0,).( ) (5)所有的单调函数都有最值.( ) (6)对于函数yf(x),若f(1)f(3),则f(x)为增函数.( ),答案,思考辨析,,函数在(0,)上均不单调.,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3,),则a的值为_.
3、 解析 由图象易知函数f(x)|2xa|的单调增区间是,6,a6.,解析答案,1,2,3,4,5,3.设函数yx22x,x2,a,若函数的最小值为g(a),则g(a) _. 解析 函数yx22x(x1)21, 对称轴为直线x1. 当2a1时,函数在2,a上单调递减, 则当xa时,ymina22a; 当a1时,函数在2,1上单调递减,在1,a上单调递增, 则当x1时,ymin1.,解析答案,1,2,3,4,5,2,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改编)已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性,则实数a的取值范围为_.,解析 函数f(x)x22ax3的图象开口向上,对称轴为直线
4、xa,画出草图如图所示.,(,12,),由图象可知函数在(,a和a,)上都具有单调性, 因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性, 只需a1或a2, 从而a(,12,).,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,题型一 确定函数的单调性(区间),命题点1 给出具体解析式的函数的单调性,解析 yln(x2)的增区间为(2,), 在区间(0,)上为增函数.,解析答案,(2)函数 的单调递增区间是_. 解析 因为 在定义域上是减函数, 所以求原函数的单调递增区间, 即求函数tx24的单调递减区间, 结合函数的定义域,可知所求区间为(,2).,(,2),解析答案,(3)函数yx22
5、|x|3的单调增区间为_. 解析 由题意知,当x0时,yx22x3(x1)24; 当x0时,yx22x3(x1)24, 二次函数的图象如图. 由图象可知,函数yx22|x|3在 (,1,0,1上是增函数.,(,1,0,1,解析答案,命题点2 解析式含参函数的单调性,解析答案,由于10,x110时,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2), 函数f(x)在(1,1)上递减;,解 设1x1x21,,解析答案,当a0时,f(x)在(1,1)上单调递减; 当a0时,f(x)在(1,1)上单调递增.,引申探究,解析答案,思维升华,又a0, f(x1)f(x2)0, 函数在(1,1)上为减函数.,解
6、 设1x1x21,,1x1x21,,思维升华,思维升华,确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“”连结.,跟踪训练1,解析答案,有f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),,解析答案,有f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),,解析答案,x0,,题型二 函数的最值,解析答案,(2)若对任意x1,),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.,当a0时,f(x)在1,)内为增函数. 最小值为f(1)a3. 要使f(x)0在x1,)上恒成立,只需a30
7、, 即a3,所以30,a3,所以0a1. 综上所述,f(x)在1,)上恒大于零时,a的取值范围是(3,1.,解析答案,思维升华,思维升华,求函数最值的常用方法: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值; (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.,所以f(x)在x1处取得最大值,为f(1)1; 当x1时,易知函数f(x)x22在x0处取得最大值,为f(0)2. 故函数f(x)的最大值为2.,2,跟踪训练2,解析答案,解析答案,题型三 函数单调性的应用,命题点1 比较大小,当x
8、1(1,2)时,f(x1)f(2)0, 即f(x1)0.,解析答案,命题点2 解不等式,1x0或0x1.,(1,0)(0,1),解析答案,命题点3 求参数范围,例6 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是_.,解析 当a0时,f(x)2x3,在定义域R上是单调递增的, 故在(,4)上单调递增;,因为f(x)在(,4)上单调递增,,解析答案,解析 由已知条件得f(x)为增函数,,解析答案,思维升华,思维升华,函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)解
9、不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;,需注意若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.,(1)f(x)是定义在(0,)上的单调增函数,满足f(xy)f(x)f(y),f(3)1,当f(x)f(x8)2时,x的取值范围是_.,解析 211f(3)f(3)f(9), 由f(x)f(x8)2,可
10、得fx(x8)f(9), 因为f(x)是定义在(0,)上的增函数,,(8,9,跟踪训练3,解析答案,解析 由f(x)x22ax在1,2上是减函数可得1,2a,), a1.,故0a1.,(0,1,返回,解析答案,答题模板系列,典例 (14分)函数f(x)对任意的m、nR,都有f(mn)f(m)f(n)1,并且x0时,恒有f(x)1. (1)求证:f(x)在R上是增函数;,答题模板系列,1.确定抽象函数单调性解函数不等式,思维点拨 对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.,思维点拨,解析答案,规范解答 证明 设x1,x2R,且x10, 当x0时,f(x
11、)1,f(x2x1)1. 2分 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1, 4分 f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2), f(x)在R上为增函数. 6分,(2)若f(3)4,解不等式f(a2a5)2. 思维点拨 将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.,思维点拨,解析答案,返回,温馨提醒,答题模板,规范解答 解 m,nR,不妨设mn1, f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1, 8分 f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24, f(1)2,f(a2a5)2f(1), 11分
12、 f(x)在R上为增函数, a2a513a2,即a(3,2). 14分,返回,温馨提醒,答题模板,解函数不等式问题的一般步骤: 第一步:(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单 调性; 第二步:(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N) 的形式; 第三步:(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的符号“f”,转化成一 般的不等式或不等式组; 第四步:(求解)解不等式或不等式组确定解集; 第五步:(反思)反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.,返回,温馨提醒,答题模板,本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x0时,f(x)1,构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式,便找不到
13、问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(N)的形式.解决此类问题的易错点:忽视了M、N的取值范围,即忽视了f(x)所在单调区间的约束.,温馨提醒,返回,思想方法 感悟提高,1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值;(2)作差;(3)定量;(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法:定义法、导数法、复合函数法、图象法,也可利用单调函数的和差确定单调性. 3.求函数最值的常用求法:单调性法、图象法、换元法.,方法与技巧,1.分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性,还要注意衔接点. 2.函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连结,不要用“”.,失误
14、与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析 由题意知f(x)在(0,)上是减函数.,中,f(x)(x1)2在0,1上是减函数,在(1,)上是增函数; 中,f(x)ex是增函数; 中,f(x)ln(x1)在(0,)上是增函数.,解析答案,2.已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是_. 解析 要使ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增, 则a0且a10, a1.,1,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,解析 函数图象关于x1对称,,又yf(x)在(1,)上单调递增,,bac,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,4.若函数f(x)x22xm在 3,)上的最小值为1,则实数m的值 为_. 解析 f(x)(x1)2m1在3,)上为单调增函数, 且f(x)在3,)上的最