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1、郑州大学2007级微积分上考试试题A郑州大学2007级 微积分(上)理工 课程试题(A)题号一二三四五六七总分分数合分人:复查人:一、求下列极限(每小题5分,共20分)分数评卷人1.求2.求3.求4.求二、求下列函数的导数或微分(每小题5分,共20分)分数评卷人1.设,求2.设由方程所确定,求3.设,求4.设,其中具有二阶导数,且,求三、求下列积分(每小题5分,共20分)分数评卷人1.求2.求3.求4.求四、求解下列各题(每小题10分,共20分)分数评卷人1.设,讨论在处的连续性与可导性.2.试求幂级数的收敛区间(包括端点的敛散性),并求它的和函数S(x).五、应用与证明题(每小题10分,共2
2、0分)分数评卷人1.设抛物线通过原点,且当时,如果它与轴,直线所围成图形的面积为,试确定,使这个图形绕轴旋转所成的立体体积最小2.证明:当时,郑州大学2007级微积分(上)A理工课程试题及其参考答案一求下列极限(每小题5分,共20分)1其中,二求下列函数的导数或微分(每小题5分,共20分)1,求解:2设函数由方程确定,求解:方程两边同时关于求导,得:-(1)又当时,代入原隐函数方程易得,将代入(1):3设求解:两边取对数,得:。上式两边同时关于求导,得:故4设其中具有二阶导数,且求解:(一)(二)三求下列积分(每小题6分,共30分)3.4四求解下列各题(每小题10分,共20分)1。设,讨论在出
3、的连续性与可导性。解:(一)连续性因为所以在处连续。(二)可导性因为,所以,在处可导。2试求幂级数的收敛区间(包括端点处的敛散性),并求它的和函数。解:(一)记因为所以收敛半径为又当时,级数即为条件收敛;当时,级数即为发散,故级数的收敛区间是(二)设,(1)则(2)其中(3)由于,故注意:也可以这样求直接利用展式,得五应用与证明题(每小题10分,共20分)1。设抛物线通过原点,且当时,。如果它与轴,直线所围成图形的面积为,试确定,使这个图形绕轴旋转所生成的立体体积最小。解:(一)因为抛物线通过原点,故(1)又,所以(2)(二)设令故,是唯一的极小值点,为最小值点因此,当时,可使图形绕轴旋转所生成的立体体积最小。注意:还须验证当时,抛物线满足条件当时,。2。证明:当时,证明:令则故当时,在上单增,故当时,因此在上单增,故当时,即当时,