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1、章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围是()A(1，3) B(2，3) C(，3) D(2，3)答案C解析由cosCa2b25.c，又cab3，c0，sinB，由B为锐角，可得B.4在ABC中，已知a，b，A30，则c等于()A2B.C2或D以上都不对答案C解析a2b2c22bccosA，515c22c，化简得c23c100，即(c2)(c)0，c2或c.5已知ABC中，a4，b4，A30，则B等于()A30B30或150C60D60或120答案D解析由，得sinB.又ab，B6
2、0或120.6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2tanAa2tanB成立，则ABC一定是()A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形答案D解析由已知及正弦定理可得tanAsin2BtanBsin2A，sin2Bsin2A，又sinA0，sinB0，sinBcosBsinAcosA，即sin2Asin2B.又A(0，)，B(0，)，2A2B或2A2B，AB或AB，即ABC是等腰三角形或直角三角形7在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知b2c(b2c)，若a，cosA，则ABC的面积等于()A.B.C.D3答案C解析b2c(b2c)，b2bc
3、2c20，即(bc)(b2c)0，b2c.又a，cos A，解得c2，b4.SABCbcsin A42.8在ABC中，AB2，AC3，1，则BC等于()A.B.C2D.答案A解析由1可得2|cos(180B)1，即2|cosB1，由余弦定理可得32BC22222BCcosB，把2BCcosB1代入，得9BC242，解得BC.9在ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，则ABC的形状是()A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形答案D解析由已知lglg2，2.sinAsin(BC)sin(BC)sinBcosCcosBsinC2cosBsinC，sinBcosCcos
4、BsinC0，即sin(BC)0，B，C为三角形内角，BC0，BC.10在锐角ABC中，BC1，B2A，则AC的取值范围是()A2,2 B0,2 C(0,2 D(，)答案D解析由题意得A，由正弦定理得，AC2cosA.A，AC(，)11.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD是()A100mB100mC100mD50m答案A解析依题意，CAB30，AB600m，CBA18075105，CBD30，ACB1803010545.由正弦定理，得BCsinCABs
5、in30300，CDBCtanCBD300tan30100(m)12如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形答案D解析A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，若A2B2C2是锐角三角形，由得那么A2B2C2，矛盾，若A2B2C2是直角三角形，不妨设A2，则cosA1sinA21，A10，矛盾所以A2B2C2是钝角三角形二、填空题(本大题共4小
6、题，每小题5分，共20分)13在等腰三角形ABC中，已知sinAsinB12，底边BC10，则ABC的周长是_答案50解析由正弦定理，得BCACsinAsinB12，又底边BC10，AC20，ABAC20，ABC的周长是10202050.14在ABC中，若A120，AB5，BC7，则sinB_.答案解析由正弦定理得，sinC，且C为锐角(A120)cosC.sinBsin(180120C)sin(60C)cosCsinC.15(2018江苏改编)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则_.答案1解析依题意有SABCSBCDSABD
7、，即acsin120a1sin60c1sin60，acac，1.16太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15的方向上，汽车行驶1km到达B处后，又测得小岛在南偏西75的方向上，则小岛到公路的距离是_km.答案解析如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1km.在ABC中，由正弦定理，得，BCsin15(km)设C到直线AB的距离为d，则dBCsin75(km)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)(2018北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，
8、因为cosB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由题设知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因为sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC边上的高为asinC7.18(12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cosA.(1)求a和sinC的值；(2)求cos的值解(1)在ABC中，由cosA，可得sinA.由SABCbcsinA3，得bc24.又由bc2，解得b6，c4.由a2b2c22bccosA，可得a8.由，得sinC.(2)coscos2Acossin2Asin(2cos2A1)2sinAcosA.19(12
9、分)(2018全国)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题意知，ADB90，所以cosADB.(2)由题意及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.20(12分)已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积(1)证明mn，asin
10、AbsinB，由正弦定理，得a2b2，ab.ABC为等腰三角形(2)解由题意知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40.ab4(ab1舍去)，SABCabsinC4sin.21(12分)如图，已知A，B，C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60方向，求塔到直路ABC的最短距离解由题意得CMB30，AMB45，ABBC1，SMABSMBC，即MAMBsin45MCMBsin30，MCMA，在MAC中，由余弦定理，得AC2
11、MA2MC22MAMCcos75，MA2，设M到AB的距离为h，则由MAC的面积得MAMCsin75ACh，hsin75sin75(km)塔到直路ABC的最短距离为km.22在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A2cosA.(1)求角A的大小；(2)若a1，求ABC的周长l的取值范围解(1)根据二倍角公式及题意得2cos2A2cosA，即4cos2A4cosA10，(2cosA1)20，cosA.又0A，A.(2)根据正弦定理，得bsinB，csinC.l1bc1(sinBsinC)，A，BC，l112sin，0B，B，sin1，l(2,3回顾一年的工作，我也发现了自己的不足之处。如科研方面尚嫌薄弱，全年未发表过一篇论文。今后在这方面应多加努力，要增强科研意识，多投注些时间和精力，刻苦学习，努力钻研，改变科研空白局面，为今后的学术研究工作打下良好的基础。9
