《2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 理（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3函数的奇偶性与周期性 知识梳理1函数的奇偶性(1)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数(2)奇偶函数的性质奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反2函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x
2、)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数3对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函
3、数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称4函数的周期性定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，称T为这个函数的周期对于周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期5函数周期的常见结论设函数yf(x)，xR，a0.(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a；(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(xa)，则函数的周期为2a；(4)若f(xa)，则函数的周期为2a
4、；(5)若函数f(x)关于直线xa与xb对称，那么函数f(x)的周期为2|ba|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|ba|；(7)若函数f(x)关于直线xa对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|ba|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为4a.6掌握一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)axax为偶函数，函数f(x)axax为奇函数；(2)函数f(x)(a0且a1)为奇函数；(3)函数f(x)loga为奇函数；(4)函数
5、f(x)loga(x)为奇函数诊断自测1概念思辨(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，若在(，0)上是减函数，则在(0，)上是增函数()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A1P39A组T6)已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)()A2 B0 C1 D2答案A解析f(1)f(1)2.故选A.(2)(必修A1P39B组T3)设f(x)
6、为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(1,0)(2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)答案C解析f(x)为奇函数，且在(，0)内单调递减，f(x)在(0，)内也单调递减又f(2)0，f(2)0，函数f(x)的大致图象如右图，xf(x)0的解集为(，2)(2，)故选C.3小题热身(1)(2015全国卷)若函数f(x)xln (x)为偶函数，则a_.答案1解析由已知得f(x)f(x)，即xln (x)xln (x)，则ln (x)ln (x)0，ln ()2x20，得ln a0，a1.(2)(2018山西四校联考)已知定义在R上
7、的函数f(x)满足f(x)f，且f(2)3，则f(2018)_.答案3解析f(x)f，f(x3)fff(x)f(x)是以3为周期的周期函数，则f(2018)f(67232)f(2)3.题型1函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(1x) ；(2)f(x)(3)f(x).用定义法、性质法解(1)当且仅当0时函数有意义，所以1x0时，x0，f(x)x22x1f(x)，当x0，f(x)x22x1f(x)所以f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数(3)解法一：因为2x2且x0，所以函数的定义域关于原点对称所以f(x)，又f(x)，所以f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数解法二：求
8、得函数f(x)的定义域为2,0)(0,2化简函数f(x)，可得f(x)，由y1x是奇函数，y2是偶函数，可得f(x)为奇函数方法技巧判断函数奇偶性的方法1定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：1(f(x)0)判断函数的奇偶性2图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性3验证法：即判断f(x)f(x)是否为0.4性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：冲关针对训练1(2018广东模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ay ByxCy2x Dyxex答案D解析易知y与y2x是偶函数，yx是奇函数故选D.2判断下列各函数的奇
9、偶性：(1)f(x)；(2)f(x)解(1)由得函数的定义域为(1,0)(0,1)，所以f(x).因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数(2)当x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)又f(0)0，故对任意的x(，)，都有f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数.题型2函数奇偶性的应用角度1已知函数奇偶性求值(2018湖南质检)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3 B1 C1 D3本题用转化法，将f(x)g(x)转化为f(x)g(x)答案C解析f(x)g(x
10、)x3x21，f(x)g(x)x3x21，又由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)1.故选C.角度2已知函数奇偶性求解析式设函数yf(x)(xR)为偶函数，且xR，满足ff，当x2,3时，f(x)x，则当x2,0时，f(x)()A|x4| B|2x|C2|x1| D3|x1|利用函数的周期性结合奇偶性转化求解答案D解析xR，满足ff，f(x2)f(x)，故yf(x)(xR)是周期为2的函数当x2，1时，x42,3，f(x)f(x4)x4；当x(1,0时，x0,1)，x22,3)，又函数yf(x)(xR)为偶函数，f(x)f(x)f(x2)x
11、2，综合可知，f(x)3|x1|.故选D.角度3已知函数奇偶性求参数(2017安徽蚌埠二模)函数f(x)是奇函数，则实数a_.根据f(x)f(x)0，利用待定系数法求解，本题还可用赋值法答案2解析解法一：函数的定义域为x|x0，f(x)xa2.因函数f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，即xa2x(a2)，则a2(a2)，即a20，则a2.解法二：由题意知f(1)f(1)，即3(a1)a1，得a2，将a2代入f(x)的解析式，得f(x)，经检验，对任意x(，0)(0，)，都满足f(x)f(x)，故a2.角度4函数性质的综合应用(2017合肥三模)定义在R上的函数yf(x)在(，a)上是增函数，
12、且函数yf(xa)是偶函数，当x1a，且|x1a|f(x2) Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) Df(x1)f(x2)本题用平移法，利用图象的对称性，结合函数的单调性进行判断答案A解析因为函数yf(xa)是偶函数，其图象关于y轴对称，把这个函数图象平移|a|个单位(a0右移)可得函数yf(x)的图象，因此函数yf(x)的图象关于直线xa对称，此时函数yf(x)在(a，)上是减函数由于x1a且|x1a|f(x2)故选A.方法技巧1利用函数奇偶性转移函数值的策略将待求的函数值利用f(x)f(x)或f(x)f(x)转化为已知区间上的函数值求解见角度1典例2利用函数奇偶性求解析式的策略将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式见角度2典例3利用函数的奇偶性求解析式中参数值的策略利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到含有待求参数的关于x的恒等式，由恒等性得到关于待求参数满足的方程(组)并求解见角度3典例4函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函
