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1、专训2证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换 构造平行线法1如图，在ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：AECFBFEC.(第1题)2如图，已知ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且ADCE，DE交AC于点F.求证：ABDFBCEF.(第2题) 三点定型法来源:学&科&
2、网Z&X&X&K3如图，在ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：.(第3题)来源:学科网ZXXK4如图，在ABC中，BAC90，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2MDME.(第4题) 构造相似三角形法5如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BPCPBMCN.(第5题) 等比过渡法6如图，在ABC中，ABAC，DEBC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDFABE.求证：(1)DEFBDE；(2)DGDFDBEF.(第6题)7如图，CE是RtABC斜边上的高，在EC的延长
3、线上任取一点P，连接AP，作BGAP于点G，交CE于点D.求证：CE2DEPE.(第7题). 两次相似法8如图，在RtABC中，AD是斜边BC上的高，ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：.(第8题)9如图，在ABCD中，AMBC，ANCD，垂足分别为M，N.求证：(1)AMBAND；(2).(第9题) 等积代换法10如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求证：.(第10题) 等线段代换法11如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，ADBC于点D，点P是AD上一点，CFAB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.求证：BP2PEPF.(第11题)12如图，已知AD平
4、分BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2PBPC.(第12题)答案1证明：如图，过点C作CMAB交DF于点M.CMAB，CMFBDF.又CMAD，ADECME.D为AB的中点，BDAD.来源:Zxxk.Com.，即AECFBFEC.(第1题)(第2题)2证明：如图，过点D作DGBC，交AC于点G，易知DGFECF，ADGABC.，.ADCE，.，即ABDFBCEF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题3证明：四边形ABCD是平行四边形，AC，AEDC.CDFE.FCDDAE.4证明：DMBC，BAC90，B
5、BEM90，DDEA90.BEMDEA，BD.又M为BC的中点，BAC90，BMAM.BBAM.BAMD，即EAMD.又AMEDMA.AMEDMA.，即AM2MDME.(第5题)5证明：如图，连接PM，PN.MN是AP的垂直平分线，MAMP，NANP.12，34.又ABC是等边三角形，BC1360.2460.56120.又67180C120，57.BPMCNP.，即BPCPBMCN.6证明：(1)ABAC，ABCACB.DEBC，ACBFED180，ABCEDB180.FEDEDB.又EDFDBE，DEFBDE.(2)由DEFBDE得，即DE2DBEF.又由DEFBDE，得GEDEFD.GDE
6、EDF，GDEEDF.，即DE2DGDF.DGDFDBEF.7证明：BGAP，PEAB，AEPDEBAGB90.PPAB90，PABABG90.PABG.AEPDEB.即AEBEPEDE.又CEABEC90，CABACE90.又ACB90，来源:学。科。网Z。X。X。KCABCBE90.ACECBE.AECCEB.，即CE2AEBE.CE2DEPE.8证明：由题意得BDFBAE90.BE平分ABC，DBFABE.BDFBAE.BACBDA90，ABCDBA.ABCDBA.9证明：(1)四边形ABCD为平行四边形，BD.AMBC，ANCD，AMBAND90.AMBAND.(2)由AMBAND得，
7、BAMDAN.又ADBC，.AMBC，ADBC，MADAMB90.BBAMMANNAD90.BMAN.AMNBAC.10证明：ADBC，DEAB，ADBAED90.又BADDAE，ABDADE.来源:Zxxk.Com，即AD2AEAB.同理可得AD2AFAC.AEABAFAC.11证明：连接PC，如图所示(第11题)ABAC，ADBC，AD垂直平分BC，ABCACB.BPCP.12.ABC1ACB2，即34.CFAB，3F.4F.又CPFCPE，CPFEPC.，即CP2PFPE.BPCP，BP2PEPF.12证明：如图，连接PA，(第12题)EP是AD的垂直平分线，PAPD.PDAPAD.BBADDACCAP.又AD平分BAC，BADDAC.BCAP.又APCBPA，PACPBA.即PA2PBPC.PAPD，PD2PBPC.12
