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1、1,第三章 点、直线、平面的投影,3.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置,3.2 点的投影,3.1 投影法,3.4 平面的投影,3.3 直线的投影,2,3.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置,3.5.2 相交问题,3.5.1 平行问题,3.5.3 垂直问题,3,一直线与平面平行 几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。 例题1 例题2 二平面与平面平行 几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相
2、交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。 两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。 例题3 例题4,2.5.1 平行问题,4,一、直线与平面平行,若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行。,5,例题1 试判断直线AB是否平行于定平面,因为：ab不平行于fg 所以：直线AB不平行于定平面,6,例题2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面,7,二、两平面平行,若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行。,8,例题3 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,9
3、,例题4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。,10,2.5.2 相交问题,特殊位置平面,一般位置平面,特殊位置平面,一般位置平面,求交点/交线,判断可见性,11,求交点,直线与特殊位置平面求交点,可见性？,12,判断直线的可见性（一）,例题,13,求交线,平面与特殊位置平面求交线,可见性？,14,b,b,a,c,n,l,m,c,m,a,l,n,f,k,判断平面的可见性（一）,1（2）,1,2,1（2）,例题,15,过MN作平面Q垂直于V投影面,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图,求交点,16,1,2,QV,步骤： 1、 过EF作正垂平面Q。,2、求Q平面
4、与ABC的交线。,3、求交线与EF的交点K。,直线,一般位置平面,求交点,直线与一般位置平面求交点（二）,17,求交线,平面与一般位置平面求交点（一）,18,两一般位置平面相交，求交线步骤： 1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、E。,2、连接两个共有点，画出交线KE。,平面与一般位置平面求交点（二）,19,e,A,B,C,F,E,f,f,k,K,k,e,判断直线的可见性（二）,直线EF与一般位置平面 ABC相交，判别可见性示意图,1,（2）,3,（4）,20,判断直线的可见性（三）,利用重影点 判别可见性。,21,判断平面的可见性（一）,22,( ),( ),判断平面的可见性
5、（二）,23,例题5 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。,24,分析,解题思路： 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。,解题步骤： 1、 过空间点K作平面平行于已知平面； 2、求直线与一般位置平面的交点。 3、连接空间两点。,25,作图步骤,PV,1,2,1、过点K作平面KMN/ ABC平面。 km/ab, km/ab;,2、过直线EF作正垂平面P。,3、求平面P与平面KMN的交线。,4、求交线 与EF的交点H。,5、连接KH，KH即为所求。,kn/bc, kn/bc;,26,2.5.3 垂直问题,一、直线与平面垂直 几何条
6、件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12 例题13,27,直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。,28,定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,29,定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。,30,例题7：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。,a,31,例题8：试过定点K作特殊位置平面的法线。,h,32,例题9：平
7、面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。,因此， MN不垂直于定平面,33,二、两平面垂直,几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。,34,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,两平面垂直,两平面不垂直,35,例题11 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面,36,例题12 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。,结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。,37,例题13 试过定点A作直线与已知直线EF正交。,38,分析 过已知点A作平面与已知直线
8、EF垂直交于点K，连接AK，AK即为所求。,39,作图过程,40,例题1. 作直线CD与三角形LMN的交点，并表明可见性。,X,H,V,O,d,m,n,c,l,n,m,d,c,l,k,k,41,例题2. 求特殊位置平面CDEF与直线AB的交点，并判断可见性。(保留作图图线),42,43,e,f,c,d,44,e,f,c,d,a,b,k,45,e,f,c,d,a,b,k,h,46,例题3：求EF与三角形ABC的交点，并判别其可见性。,e,1,1(2),2,47,例题4. 作三角形EFG与平行四边形PQRS的交线，并 表明可见性。,X,H,V,O,e,s,f,p,pq,g,sr,f,e,q,a,r,g,b,a,b,
