2019年高考数学一轮复习第8章 平面解析几何 第5节 椭圆学案 文 北师大版

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1、第五节椭圆考纲传真1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用(对应学生用书第120页) 基础知识填充1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0.若ac,则集合P为椭圆;若ac,则集合P为线段;若ac,则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(

2、ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a,b,c的关系a2b2c2知识拓展1点P(x0,y0)和椭圆的关系(1)点P(x0,y0)在椭圆内1.(2)点P(x0,y0)在椭圆上1.(3)点P(x0,y0)在椭圆外1.2焦点三角形椭圆1(ab0)上一点P(x0,y0)与两焦点构成的焦点三角形F1PF2中,若F1PF2,则SF1PF2|

3、PF1|PF2|sin b2b2tan 3过焦点垂直于长轴的弦长椭圆过焦点垂直于长轴的半弦长为.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是()A1B1C1D1D椭圆的焦点在x轴上,c1.

4、又离心率为,故a2,b2a2c2413,故椭圆的方程为1.3(2015广东高考)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0),则m()A2B3 C4D9B由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5,25m216,解得m3或3.又m0,故m3.4(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()AB CDB如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|AF|OB|,即bca,所以e.5椭圆1的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点A,B,当FAB的周长最大时,FAB的面积是_3直线xm过右焦点(1,0)时,FAB的周长最大,由椭圆定义知,其

5、周长为4a8,即a2,此时,|AB|23,SFAB233.(对应学生用书第121页)椭圆的定义与标准方程 (1)如图851所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()图851A椭圆B双曲线C抛物线D圆(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(,),则椭圆的方程为_. 【导学号:00090290】(3)设F1,F2分别是椭圆E:x21(0b|OF|.P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆(2)设椭圆方程为mx2ny21(m0,n0且mn)椭圆经过点P1,P2,点

6、P1,P2的坐标适合椭圆方程则两式联立,解得所求椭圆方程为1.(3)不妨设点A在第一象限,设半焦距为c,则F1(c,0),F2(c,0)AF2x轴,则A(c,b2)(其中c21b2,0b|F1F2|这一条件(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时,常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义,但一定要注意|PF1|PF2|与|PF1|PF2|的整体代换2求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定位,再定量,即首先确定焦点所在的位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组,若焦点位置不确定,可把椭圆方程设为Ax2By21(A0,B0,AB)的形式变式训练1(1)与圆C1:(x3)2y21外

7、切,且与圆C2:(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_(2)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且F1PF260,SPF1F23,则b_.(3)已知F1(1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|3,则C的方程为_. 【导学号:00090291】(1)1(2)3(3)1(1)设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|r1,|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|,即P在以C1(3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹方程为1.(2)由题意得|PF1|

8、PF2|2a,又F1PF260,所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2,所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2,所以3|PF1|PF2|4a24c24b2,所以|PF1|PF2|b2,所以SPF1F2|PF1|PF2|sin 60b2b23,所以b3.(3)依题意,设椭圆C:1(ab0)过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3,点A必在椭圆上,1.又由c1,得1b2a2.由联立,得b23,a24.故所求椭圆C的方程为1.椭圆的几何性质(1)(2018泉州质检)已知椭圆1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于()A8B7C6D

9、5(2)(2016江苏高考)如图852,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆1(ab0)的右焦点,直线y与椭圆交于B,C两点,且BFC90,则该椭圆的离心率是 _.图852(1)A(2)(1)椭圆1的长轴在x轴上,解得6m10.焦距为4,c2m210m4,解得m8.(2)将y代入椭圆的标准方程,得1,所以xa,故B,C.又因为F(c,0),所以,.因为BFC90,所以0,所以20,即c2a2b20,将b2a2c2代入并化简,得a2c2,所以e2,所以e(负值舍去)规律方法1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析2求椭圆离心率的主要方法有:(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解(2

10、)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2a2c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解 变式训练2(1)已知椭圆1的离心率为,则k的值为()A21B21C或21D或21(2)过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为椭圆的右焦点,若F1PF260,则椭圆的离心率为()【导学号:00090292】A BCD(3)(2017全国卷)已知椭圆C:1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切,则C的离心率为()A BCD (1)D(2)B(3)A(1)当94k0,即5k4时,a3,c29(4k)5k,解得k.当94

11、k,即k5时,a,c2k5,解得k21,所以k的值为或21.(2)由题意,可设P.因为在RtPF1F2中,|PF1|,|F1F2|2c,F1PF260,所以.又因为b2a2c2,所以c22aca20,即e22e0,解得e或e,又因为e(0,1),所以e.(3)由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为A又直线bxay2ab0与圆相切,圆心到直线的距离da,解得ab,e.故选A直线与椭圆的位置关系角度1由位置关系研究椭圆的方程与性质已知椭圆E:1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为.图853(1)求椭圆E的离心率;(2)如图853,AB是圆M:(x2)2(y1)2的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bxcybc0,则原点O到该直线的距离d,3分由dc,得a2b2 ,解得离心率.5分(2)由(1)知,椭圆E的方程为x24y24b2.依题意,圆心M(2,1)是线段AB的中点,且|AB|.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为yk(x2)1,代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.8分设A(x1,y1),B(x2,

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