《2019年高考数学一轮总复习专题23 三角形中的三角函数检测 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学一轮总复习专题23 三角形中的三角函数检测 文（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题23三角形中的三角函数本专题特别注意：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7三角形的综合【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代
2、数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理高考模拟：一、单选题1在三棱锥中，点在底面的正投影恰好落在等边的边上，点到底面的距离等于底面边长.设与底面所成的二面角的大小为，与底面所成的二面角的大小为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：作出两二面角的平面角，如图PDO和PEO，而在等边中，ODOE等于的高为定值，再把表示出来，求出，最后由ODOE为定值可求得最小值.详解：如图，O是P在底面ABC上的正投影，ODAC，OEBC，垂足为D，E，则PDO，PEO，设，则，又， ，当且仅当时取等号，的最小值为.故选C.点
3、睛：过等边的边AB上任一点E作另两边的垂线，垂足分别为M，N，则为定值（等于三角形的高），这可由面积法得证.2在中，的面积为2，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C点睛：本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用3已知:锐角的内角的对边分别为,三边满足关系(1)求内角的大小;(2)求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由已知根据余弦定理可得(2)ABC是锐角三角形，可知，求得，进而得到的取值范围.详解：（1）由已知得：
4、(2)ABC是锐角三角形点睛：本题考查利用余弦定理解三角形，以及三角函数的性质，属基础题.4已知函数（1）求函数的最大值和最小值；（2）为的内角平分线，已知，求角的大小【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，单调函数在在上单增，上单减，即可求解函数的最值；（2）在和，由正弦定理得，再分别在和中，利用余弦定理，即可求解角的大小详解：(1)在上单增，上单减，；（2）中，中，中，中，点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则
5、考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 5已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，角的对边为，若，求中线的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，即可利用周期的公式，得到函数的最小正周期；（2）由（1）知，在中，又，在中，由正弦定理，得，在中，由余弦定理得点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高
6、频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项（）求角；（）设，求周长的最大值【答案】(1)60；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角的大小；（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进而得周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值.详解：（1）法一：由题，由正弦定理，即，解得，所以 法二：由题，由余弦定理得： ，解得，所以 （2）法一：由余弦定理及基本不等式， ，得，当且仅当时等号成立，故周
7、长的最大值为 法三：如图，延长至使得，则，于是，在中，由正弦定理：，即，故周长，当时，周长的最大值为点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到7的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若成等差数列，且的周长为，求的面积.【答案】（1）（2） 【解析】分析：（1）由,利用正弦定理可得，再由两角和的正弦公式结合诱导公式可得,从而可得结果；（2）由成等差数列，的周长
8、为，可得，由余弦定理利用三角形面积公式可得结果.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.8在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若，的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由，根据正弦定理得，可得 所以，从而可得结果；（2）由，可得，可求得，由此以，根据周长为可求得，从而可得结果.详解：（1）因为，由正弦定理得所以 所以，且所以.（
9、2）因为，所以，所以，或 解得：或 因为，所以所以， 所以因为，所以所以.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.9在中，.（1）若，求的长及边上的高；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据，得出，结合余弦定理即可求出的长，再根据等面积法即可求得边上的高；（2）设，根据推出角必为锐角，结合为锐角三角形可得
10、，根据余弦定理即可求得的取值范围，从而可得的周长的取值范围.详解：（1）.由等面积法可得，则.点睛：本题考查余弦定理及三角形面积的应用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.10已知,分别为三个内角的对边，,.（1）求；（2）若的中点，求,.【答案】(1)；(2)或.【解析】分析：（1）把用正弦定理化边为角，再化后，变形可解得角，然后
11、由向量的数量积定义可求得，从而易得三角形面积；（2）由D为中点得，平方后结合数量积的运算可求得的一个等式，结合（1）中的可解得.详解：（1） （2） ，点睛：本题是数量积与解三角形的综合考查，解题时需掌握两方面的概念与公式，第（2）解题关键是应用结论，这样可借助数量积表示出的关系.实际上三角形的中线与三边长还有如下关系：（在和中利用可得.11在ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，且.（1）求角A的大小；（2）设函数，求函数的最大值【答案】（1）（2）2【解析】分析：（1）由余弦定理易得，由正弦定理可得，进而得，即可得A；（2）由（1）得 当，即时，.点睛：本题主要考查了三角形正余弦定理的
12、应用及三角函数的最值，属于基础题.12在中，角A、B、C所对的边分别为，已知， ，角A为锐角（1）求与的值；（2）求的值及三角形面积【答案】（1） （2） 【解析】 分析：第一问首先利用题中的条件，利用倍角公式，结合A为锐角的条件，求得的值，之后可以借助于同角三角函数关系式求得的值，在求边长的时候，就利用正弦定理可以求得结果；第二问结合题中所给的条件，利用余弦定理建立边所满足的等量关系式，求得结果，之后应用面积公式求得三角形的面积.详解：（1）由正弦定理，代入， 为，解为 角A为锐角， （2） ，代入为 ，解为点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍
13、角公式、同角三角函数关系式以及三角形的面积公式，在做题的过程中，在求的时候，也可以应用倍角公式求解.13在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c= ，角A为锐角(1)求与a的值；(2)求b的值及三角形面积【答案】(1) ,.(2) ,.【解析】分析：（1）直接利用正弦定理和已知条件求a的值，再求cosA的值，再利用平方关系求sinA的值. (2)利用余弦定理求b,再利用三角形的面积公式求面积.详解：（1）由正弦定理，代入c= ，得，解为,因为 又因为角A为锐角，所以 （2）因为 所以，解得b=5.所以 点睛：（1）本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积计算，意在
14、考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边，利用余弦定理解题效率最高.所以本题已知, c= 求b，利用余弦定理一步到位求出b. 14在中，为锐角，且.（1）求；（2）若的面积为，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式化简得，再根据为锐角得；（2）先根据面积公式得，再根据余弦定理得，最后根据等面积法求高.详解：解：（1）；（2），由余弦定理有：，由面积公式有：.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向
