《高中数学解题思想方法+语文备考精品+2009年高考作文写作素材200例+物理所有基础知识+》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学解题思想方法+语文备考精品+2009年高考作文写作素材200例+物理所有基础知识+（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若kk ， 求证：|OP|OQ|等于定值； .求线段PQ中点M的轨迹方程。 【分析】 由换元法引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数、为P、Q两点，先计算kk得出一个结论，再计算|OP|OQ|，并运用参数法求中点M的坐标，消参而得。 【解】由1，设，P(4cos,2sin)，Q(4cos,2sin), 则kk，整理得到： cos cossin sin0,即cos（）0。 |OP|OQ|16cos4sin16cos4sin812(coscos)206（cos2cos2)2012cos（）cos（）20， 即|OP|OQ|等于定值20。 由中点坐标公式得
2、到线段PQ的中点M的坐标为， 所以有()y22(cos cossin sin)2, 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为1。 【注】由椭圆方程，联想到ab1,于是进行三角换元，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和平方法，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cos cos）（sinsin），这是求点M轨迹方程消参法的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用参数法时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用消去法消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。 本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P
3、、Q两点坐标再求： 设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有： ，消y得(14k)x16,即|x|； ，消y得(1)x16，即|x|； 所以|OP|OQ|()（） 20。即|OP|OQ|等于定值20。 在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|xx|求|OP|和|OQ|的长。 S E D C O F A B 例3.已知正四棱锥S-ABCD的侧面与底面的夹角为，相邻两侧面的夹角为,求证：cos=-cos。 【分析】要证明cos=-cos，考虑求出、的余弦，则在和所在的三角形中利用有关定理求解。 【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF
4、；作BESC于E，连DE。则SFO，DEB。 设BCa (为参数)， 则SF, SC 又 BE 在DEB中，由余弦定理有：coscos。 所以coscos。 【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。 、巩固性题组：1. 已知复数z满足|z|1，则复数z2在复平面上表示的点的轨迹是_。2. 函数yx2的值域是_。3. 抛物线yx10xcos253sin25sin与x轴两个交点距离的最大值为_A. 5 B. 10 C. 2 D. 34. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L：x3y100及L：2xy80所
5、截得的线段被点P平分，求直线L方程。5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。6. f(x)(1cosx)sinx，x0,2)，求使f(x)1的实数a的取值范围。 7. 若关于x的方程2xxlglg()lg0有模为1的虚根，求实数a的值及方程的根。 8. 给定的抛物线y2px (p0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有为定值。七、反证法 与前面所讲的方法不同，反证法是属于间接证明法一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：若肯定定理的假设而否定其
6、结论，就会导致矛盾。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的矛盾律和排中律。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的矛盾律；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说A或者非A，这就是逻辑思维中的排中律。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据矛盾律，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理
7、、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以否定的结论必为假。再根据排中律，结论与否定的结论这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是否定之否定。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成
8、立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到反设进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫归谬法；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法。 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：反证法是数学家最精当的武器之一。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以否定形式、至少或至多、唯一、无限形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 、
9、再现性题组：1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)0 _。A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根2. 已知a0,1bab ab B. ababa C. aba ab D. ab aba3. 已知l，a ，b ，若a、b为异面直线，则_。A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交 4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_。(97年全国理)A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，
10、导出其中三个与特例矛盾，选A； 2小题：采用特殊值法，取a1、b0.5，选D； 3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B； 4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：CC436,选D。 S C A O B 、示范性题组： 例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。 【分析】结论是不垂直，呈否定性，考虑使用反证法，即假设垂直后再导出矛盾后，再肯定不垂直。 【证明】 假设AC平面SOB， 直线SO在平面SOB内， ACSO， SO底面圆O， SOAB， SO平面SAB， 平面SAB底面圆O， 这显然出现矛盾，所以假设不成立。 即AC
11、与平面SOB不垂直。 【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。 例2. 若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。 【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。 【解】 设三个方程均无实根，则有： ,解得,即a1。 所以当a1或a时，三个方程至少有一个方程有实根。 【注】至少、至多问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了判别式法、补集法（全集R），也可以从正面直接求
12、解，即分别求出三个方程有实根时（0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。 例3. 给定实数a，a0且a1，设函数y (其中xR且x)，证明：.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； .这个函数的图像关于直线yx成轴对称图像。(88年全国理)。 【分析】不平行的否定是平行，假设平行后得出矛盾从而推翻假设。 【证明】 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则xx, 假设直线MM平行于x轴，则必有yy，即，整理得a(xx)xx xx a1， 这与已知a1矛盾， 因此假设不对，即直线MM不平行于x
13、轴。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x， 即原函数y的反函数为y，图像一致。 由互为反函数的两个图像关于直线yx对称可以得到，函数y的图像关于直线yx成轴对称图像。 【注】对于不平行的否定性结论使用反证法，在假设平行的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a1互相矛盾。第问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。 、巩固性题组：1. 已知f(x)，求证：当xx时，f(x)f(x)。2. 已知非零实数a、b、c成等差数列，ac，求证：、不可能成等差数列。3. 已知f(x)xpxq，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 。4. 求证：抛物线y1上不存在关于直线x
