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1、2019/11/1,第2篇 机械振动 机械波,机械振动 机械波,2019/11/1,第5章 机械振动,5.1 简谐运动 5.2 简谐运动的旋转矢量表示法 5.3 单摆和复摆 5.4 振动的能量 5.5 简谐运动的合成 5.6 阻尼振动 受迫振动 共振,内容提要,2019/11/1,振动:,任何一个物理量(物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化.,机械振动:,物体在一定位置(中心)附近作的周期性往复运动.,简谐运动:,是最基本、最简单的振动.,振动的分类:,受迫振动,自由振动,阻尼自由振动,无阻尼自由振动,无阻尼自由非谐振动,(简谐运动),无阻尼自由谐振动,2019
2、/11/1,5.1 简谐运动,5.1.1 简谐运动的特征及其运动方程,弹簧振子理想模型,令:,2. 简谐运动的动力学特征:,1. 简谐运动的基本依据:,由牛顿第二定律:,2019/11/1,3. 简谐运动的动力学微分方程,微分方程的解：,振动表达式(简谐运动位移),任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足简谐运动的微分方程，或遵从余弦(或正弦) 规律，则广义地说，这一物理量在作简谐运动.,4. 简谐运动的运动学方程,2019/11/1,5. 简谐运动的速度与加速度,2019/11/1,5.1.2 简谐运动方程中的三个基本物理量,1. 角频率 :,2秒内往复振动的次数.,单位：弧度/秒 (ra
3、ds-1),完成一次完整的振动所需要的时间.,周期T:,单位时间内所完成的振动次数.,频率：,单位：赫兹(Hz) (s-1),2019/11/1,2. 振幅A:,描述物体振动强弱的物理量(离开平衡位 置的最大位移，取绝对值).,单位：m、cm、mm、nm,t=0时的相位，与初始条件有关；,3. 初相位、相位和相位差,初相 ：,描述质点在t 时刻振动状态的物理量.,相位t+ ：,相位差 ：,则相位差:,设有同频率两振子的振动方程分别为:,单位：弧度（rad）,2019/11/1,同相和反相,当= 2k, ( k =0,1,2,),两振动步调相同,称同相.,当= (2k+1), ( k =0,1,
4、2,),两振动步调相反, 称反相.,超前和落后,若 = 2- 10, 则称 x2 比 x1 超前(或 x1 比 x2 落后) .,超前、落后以- 的相位角来判断.,2019/11/1,振幅：,初相位：,4. 振幅和初相位的求法,设 t =0 时:,说明,(2) 振幅和初相位由初始条件决定.,(1) 不是唯一的, 与坐标正向有关, 需要具体分析.,2019/11/1,例:,一轻弹簧, 一端固定, 另一端连接一定质量的物体.整个系统位于水平面内, 系统的角频率为6.0s-1. 今将物体沿平面向右拉长到 x0=0.04m处释放.,(1)简谐运动表达式； (2)物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的
5、速度.,求：,解：,(1),(为什么不取),初相位：,2019/11/1,(2),由(1)中结果,依题意，v0,则,2019/11/1,5.2 简谐运动的旋转矢量表示法,5.2.1 旋转矢量表示法,P,M,投影点P的坐标为：,结论：,投影点的运动为简谐运动.,模为简谐运动的振幅.,旋转矢量,角速度 为简谐运动的角频率.,与x轴的夹角(t+)为简谐运动的相位.,t=0时，与x轴的夹角 为初相位.,旋转矢量 旋转一周，P点完成一次全振动.,周期：,2019/11/1,5.2.2 旋转矢量图的应用,1. 求初相位,t=0时刻，质点位于x=A/2处，且向x 轴正向运动.,t=0时刻，质点位于x= -
6、A/2处，且向x 轴负向运动.,2019/11/1,2. 用旋转矢量图画简谐运动的 图,2019/11/1,例:,一质点沿x轴作简谐运动, 振幅为12cm, 周期为2s.当t = 0时, 位移为6cm, 且向x轴正方向运动.,求:,(1) 振动表达式； (2) t = 0.5s时, 质点的位置、速度和加速度； (3)若某时刻质点位于 x = -6cm, 且向x轴负方向运 动, 求从该位置回到平衡位置所需的最短时间.,解：,A=12cm, T=2s, x0=6cm.,且 v00,(1),t = 0 时，x0 = 0.06m ,6cm,v0 0,2019/11/1,(2),(3),2019/11/
7、1,5.3 单摆和复摆,5.3.1 单摆,小球受力矩：,根据转动定律:,化简得:,为振动角位移 振幅为0,单摆的振动是简谐运动.,结论：,2019/11/1,5.3.1 复摆,刚体受力矩：,根据转动定律:,化简得:,复摆的振动是简谐运动.,结论：,为振动角位移 振幅为0,2019/11/1,5.4 简谐运动的能量,振子势能：,振子动能：,系统的总能量：,取振子在平衡位置时的势能为零, 则：,2019/11/1,讨论：,(1) 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化， 但任一时刻总机械能保持不变.,(2) 位移最大, 势能最大, 但动能最小, 在振动曲线的峰 值; 位移为0, 势能为0, 但
8、动能最大, 在振动曲线的 平衡位置.,2019/11/1,5.5 简谐运动的合成,5.5.1 同方向、同频率的两个简谐运动的合成,1. 分振动 :,2. 合振动 :,2019/11/1,讨论:,(1) 若两分振动同相, 即 21=2k (k=0,1,2,),(2) 若两分振动反相, 即 21=(2k+1) (k=0,1,2,),当 A1=A2 时, A=0.,则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强;,则 A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱;,当 A1=A2 时, A=2A1.,结论：,合振动 x 仍是简谐运动.,合振动振幅不仅与两分振动的振幅有关, 与相位差也有关.,2019/11/1,
9、旋转矢量法处理简谐运动的合成,2019/11/1,两个同方向同频率简谐运动的合成演示,2019/11/1,5.5.2 同方向、不同频率两个简谐运动的合成 拍,1. 分振动 :,2. 合振动 :,当 时,当 时，,A 有最大值,A有最小值,结论：,合振动 x 不再是简谐运动.,2019/11/1,当 2 1 时, 2 -12 +1 , 令,其中,随 t 缓变,随 t 快变,振幅相同、同方向不同频率的简谐运动的合成,2. 合振动 :,1. 分振动 :,合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐运动.,结论：,2019/11/1,x,x2,x1,t,t,t,3. 拍的现象,: 振动出现时强时弱的现象.,20
10、19/11/1,由于振幅总是正值，余弦函数的绝对值以为周期,即合振动振幅变化的周期：,拍频 : 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即,2019/11/1,2019/11/1,*5.5.3 相互垂直的简谐运动的合成,1. 相互垂直的同频率简谐运动的合成,1) 分振动:,2) 合运动:,讨论,当 = 2- 1=k (k为整数)时:,当 =( 2k +1 ) /2 (k为整数)时：,2019/11/1, = 0,(第一象限), = /2, = , = 3/2,(第二象限),(第三象限),（第四象限）,2019/11/1,两个相互垂直的同频率简谐运动的合成演示,2019/11/1,2. 相互垂直的不
11、同频率简谐运动的合成,两个互相垂直、不同频率的简谐运动的合成时，如果它们的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做李萨如图.,两个相互垂直的不同频率简谐运动的合成演示,2019/11/1,5.6 阻尼振动 受迫振动 共振,5.6.1 阻尼振动,为阻尼系数,由牛顿第二定律:, 称为阻尼因子,动力学方程：,微分方程的特征方程为：,2019/11/1,1. 小阻尼情况: 阻力很小,方程解：,周期:,(2) 阻尼越大，减幅越迅速;,(1) 阻尼较小时，振动为减幅 振动，振幅随时间按指数 规律 迅速减少;,结论：,(3) 振动周期大于自由振动周期.,2019/1
12、1/1,2. 过阻尼情况：阻力很大,阻尼较大时，振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动.,结论：,2019/11/1,此时为“临界阻尼”的情况，是质点不作往复运动的一个极限.,3. 临界阻尼情况:,结论：,2019/11/1,5.6.2 受迫振动 共振,1.受迫振动,系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动.,(1) 策动力:,周期性的外力.,(2) 振动规律:,物体受力：,恢复力,+阻力,+策动力,由牛顿第二定律：,令：,2019/11/1,在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，为:,其中:,第一项为暂态项，经过一段时间以后趋向于零，,为积分常数，由初始条件确定；,第二
13、项为稳定项，,即:,代入原方程求得:,2019/11/1,(1) 受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成;,(2) 经一段相当的时间后，阻尼振动为零;,(3) 其周期为策动力的周期，振幅、初相位不仅与初 条件有关，而且与策动力的频率和力幅有关.,结论：,2019/11/1,2. 共振：,当策动力的频率接近于固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值的现象.,共振频率：,共振振幅：,阻尼系数 越小，共振角频率越接近于系统的固有频率，同时共振振幅也越大.,结论：,2019/11/1,2019/11/1,情景再现,1940年7月1日，桥龄仅4个月的美国Tocama大桥在一场不算太强的大风中坍塌。风产生的周期性
14、效果导致大桥共振，大桥在风中坚强的摇曳了近一天，最终轰然坠下,2019/11/1,第五章 机械振动 小结,5.1 简谐运动 5.2 简谐运动的旋转矢量表示法 5.3 单摆和复摆 5.4 振动的能量 5.5 简谐运动的合成 5.6 阻尼振动 受迫振动 共振,内容提要,2019/11/1,1. 振动表达式,2. 简谐运动的速度与加速度,3. 简谐运动方程中的三个基本物理量,振幅：,初相位：,4. 振幅和初相位的求法,2019/11/1,5. 旋转矢量表示法,模为简谐运动的振幅.,旋转矢量,角速度 为简谐运动的角频率.,与x轴的夹角(t+)为简谐运动的相位.,t=0时，与x轴的夹角 为初相位.,6.
15、 单摆,7. 复摆,7. 简谐运动的能量,2019/11/1,8. 同方向、同频率的两个简谐运动的合成,9. 同方向、不同频率两个简谐运动的合成 拍,拍频 :,(1) 若两分振动同相, 即 21=2k (k=0,1,2,),(2) 若两分振动反相, 即 21=(2k+1) k=0,1,2,),则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强;,则 A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱;,2019/11/1,例:,两个同方向的简谐运动曲线 (如图所示),(1) 合振动的振幅; (2) 合振动的振动方程.,求:,解: (1),t=0时，,故:,互为反相,合振幅最小,(2),t=0时的旋转矢量图：,2019/11/1,例:,两个同方向同频率的简谐运动, 其合振动的振幅为20cm, 与第一个振动的相位差为 , 若第一 个振动的振幅为 .,(1) 第二个振动的振幅为多少？ (2) 两简谐运动的相位差为多少？,求:,解: (1) 依题意,根据余弦定理:,(2),根据正弦定理:,
