《2019届高考数学二轮复习第一篇 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题限时训练 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学二轮复习第一篇 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题限时训练 理（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲圆锥曲线的综合问题 (限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号圆与圆锥曲线综合问题1定点、定值问题2,3探索性问题4取值范围问题51.(2018广西柳州市一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,F1,F2为椭圆的左右焦点,P为椭圆短轴的端点,PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解:(1)由题意,ca=22,122cb=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=c=2,所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)直线AB与圆x2
2、+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00.因为OAOB,所以OAOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.当x0=t时,y0=-t22,代入椭圆C的方程,得t=2,故直线AB的方程为x=2.圆心O到直线AB的距离d=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0t时,直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t(x-t).即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.d=|2x0-ty0|(y0-2)2+(x0-t)2,又x02+2y02=4,t=-2y0x0,故d=|2x0+2y02x0|x02+y02+4y02x02+4=4+x
3、02x0x04+8x02+162x02=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.综上,AB与圆x2+y2=2相切.2.(2018岳麓区校级二模)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线C于点A,B和点C,D,线段AB,CD的中点分别为M,N.(1)求线段AB的中点M的轨迹方程;(2)过M,N的直线l是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.解:(1)由题设条件得焦点坐标为F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1),k0,联立y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-2(2+k2)x+k2=0,=-2(2+k2)2-4k2k2=1
4、6(1+k2)0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则xM=12(x1+x2)=1+2k2,yM=k(xM-1)=2k,所以2(xM-1)=yM2,所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2=2(x-1)(x1).(2)过定点,理由:由(1)知,xM=x1+x22=2+k2k2,yM=2k,同理,设N(xN,yN),则xN=2k2+1,yN=-2k,当k1时,可知直线l的斜率为k=yM-yNxM-xN=k1-k2,所以直线l的方程为y+2k=k1-k2(x-2k2-1),即yk2+(x-3)k-y=0,当x=3,y=0时方程对任意的k(k1)均成立,即直线l过定点(3,0).当k=1时,直线l的
5、方程为x=3.综上所述,过M,N的直线l必过定点(3,0).3.(2018广东省海珠区一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为26,且过点A(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点A的直线l:y=kx+m与C交于P,Q两点,且直线AP与直线AQ的斜率之和为0,证明:直线PQ的斜率为定值.(1)解:因为椭圆C的焦距为26,且过点A(2,1),所以4a2+1b2=1,2c=26.因为a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为x28+y22=1.(2)证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m,由y=kx+m,x2
6、8+y22=1,消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0,(*)则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-84k2+1,因为kPA+kAQ=0,即y1-1x1-2=-y2-1x2-2,化简得x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0.代入得2k(4m2-8)4k2+1-8km(m-1-2k)4k2+1-4m+4=0,整理得(2k-1)(m+2k-1)=0,所以k=12或m=1-2k.若m=1-2k,可得方程(*)的一个根为2,不合题意,所以直线PQ的斜率为定值,该值为12.4.(2018临沂二
7、模)已知抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,直线y=kx+4(k0)交抛物线于A,B两点,且OAOB(O为坐标原点).(1)求抛物线方程;(2)若AF,BF的延长线与抛物线交于C,D两点,设直线CD的斜率为k,证明kk为定值,并求出该定值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=2py,y=kx+4可得x2=2p(kx+4),即x2-2pkx-8p=0,显然=4p2k2+32p0且x1+x2=2pk,x1x2=-8p,所以y1y2=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=16,因为OAOB,所以x1x2+y1y2=0,所以-8p+16=0,解得p=2,所以抛物线方程为x2=4
8、y.(2)由(1)可知F(0,1),设C(x3,y3),D(x4,y4),所以kAF=y1-1x1,kCF=y3-1x3,所以y1-1x1=y3-1x3,因为x12=4y1,x32=4y3,所以x12x3-4x3=x32x1-4x1,即(x1x3+4)(x1-x3)=0,因为x1x3,所以x1x3=-4,同理可得x2x4=-4,所以kCD=y4-y3x4-x3=x424-x324x4-x3=x4+x34=14(-4x1-4x2)=-x1+x2x1x2=-2pk-8p=k4,所以kk=kCDk=14.5.(2018南昌市一模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),连接椭圆的两个焦点和短轴的两
9、个端点得到的四边形为正方形,正方形的边长为2.(1)求椭圆的方程;(2)设C(m,0),过焦点F(c,0)(c0)且斜率为k(k0)的直线l与椭圆交于A,B两点,使得(CA+CB)BA,求实数m的取值范围.解:(1)由椭圆的定义及题意得a=2,b=c=1,所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)由(1)得F(1,0),直线l的方程为y=k(x-1),代入x22+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则x1+x2=4k22k2+1,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k2k2+1,x0=2k22k2+1,y0=-k2k2+1.因为CA+CB=2CM,所以CMBA,所以kCMk=y0x0-mk=-1,所以2k22k2+1-m+-k2k2+1k=0,m=k22k2+1=12+1k2(0,12),所以实数m的取值范围是(0,12).旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。5
