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1、第四单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示名称定义表示向量在平面中,既有又有的量用a,b,c,或AB,BC,表示向量的模向量a的,也就是表示向量a的有向线段AB的(或称模)或零向量长度为的向量用表示单位向量长度等于个单位的向量用e表示,|e|=平行向量方向或相反的非零向量(或称共线向量)ab相等向量相等且方向的向量a=b相反向量相等,方向的向量向量a的相反向量是说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的运算法则法则(1)加法交换律:a+b=;(2)加
2、法结合律:(a+b)+c= 减法减去一个向量相当于加上这个向量的 法则a-b=数乘实数与向量a的积是一个,这种运算叫作向量的,记作(1)|a|=.(2)当0时,a与a的方向;当|b|0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形ABCD满足AD=12BC且|AB|=|DC|,则四边形ABCD的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使a|a|+b|b|=0成立的是()A.a=2b B.abC.a
3、=-13bD.ab(2)给出下列说法:若|a|=|b|,则a=b;若ab,bc,则ac;a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;若AB与BC共线,则A,B,C三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是. 总结反思 对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4
4、)非零向量a与a|a|的关系:a|a|是与a同方向的单位向量.式题 (1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC上,EF过点P,且EFAB,则下列等式中成立的是()A.AD=BCB.AC=BDC.PE=PFD.EP=PF图4-24-3 (2)给出下列说法:若A,B,C,D是不共线的四个点,则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;若a,b都是单位向量,则a=b;向量AB与BA相等;若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()A.B.C.D.探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)2017南昌重点学校模
5、拟 已知O为ABC内一点,满足4AO=AB+2AC,则AOB与AOC的面积之比为()A.11B.12C.13D.21(2)已知ABC,若|AB+AC|=|AB-AC|,则ABC的形状为. 总结反思 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)2017西宁一模 如图4-24-4所示,图4-24-4在ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则CE=()A.29AB
6、+89ACB.29AB-89ACC.29AB+79ACD.29AB-79AC(2)2017长春二模 在ABC中,D为ABC所在平面内一点,且AD=13AB+12AC,则SBCDSABD=()A.16B.13C.12D.23 总结反思 向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化
7、简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4 2017运城三模 在ABC中,AN=13NC,P是直线BN上一点,且AP=mAB+34AC,则实数m的值为()A.-2B.-4C.1D.4 总结反思 与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.ADB.BCC.12ADD.12BC2.【考向1】2017长沙长郡中学三模 已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA+OB+OC=0,则()A.AO=ODB.AO
8、=2ODC.AO=3ODD.2AO=OD3.【考向2】在ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设AB=a,BC=b,则EF=()A.23a-16bB.23a-12bC.16a-13bD.16a-16b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=2,则|a+b|=.5.【考向3】2017山东滨州二模 如图4-24-5所示,在ABC中,O为BC的中点,过点O的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若AB=mAM,AC=nAN,则m+n=.图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量
9、,若a=2e1-e2与b=e1+e2共线,则=()A.-12B.-2C.12D.2 总结反思 两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=b(a0),则a与b共线:(1)当0时,a与b同向; (2)当0时,a与b反向. 考向2三点共线的问题 6 (1)已知a,b是不共线的向量,AB=a+5b,BC=-3a+6b,CD=4a-b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线(2)已知a,b是不共线的向量,AB=a+2b,AC=a+(-1)b,且A,B,C三点共线,则=()A.-1B.2C.-2
10、或1D.-1或2 总结反思 (1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为AC=AB,再利用对应系数相等列出方程组,进而解出系数.(2)三点共线的一个常用结论:A,B,C三点共线存在实数,对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足OA=OB+OC(+=1).强化演练1.【考向1】已知e1,e2是不共线的向量,则下列各组向量中是共线向量的有()a=5e1,b=3e1;a=3e1-2e2,b=-12e1+13e2;a=e1+e2,b=-2e1+2e2.A.B.C.D
11、.2.【考向1】2017景德镇模拟 已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且OP=OA+AB|AB|,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上3.【考向1】2017哈尔滨三中四模 设e1,e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a与b共线,则实数k=()A.0B.-1C.-2D.14.【考向2】已知O为ABC内一点,且AO=12(OB+OC),AD=tAC,若B,O,D三点共线,则t=()A.14B.13C.12D.23第25讲平面向量基本定理及坐标表示课前双击巩固1.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数1,2使.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算向量a
