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1、2008年全国高考数学试题分类汇编（数列）2008年全国高考数学试题分类汇编（数列）1（08上海）若数列an是首项为1，公比为a的无穷等比数列，且an各项的和为a，则a的值是（ B ）A1 B2 C D.2（08上海）(3+7+8)已知以a1为首项的数列an满足：an1当a11，c1，d3时，求数列an的通项公式当0a11，c1，d3时，试用a1表示数列an的前100项的和S100当0a1（m是正整数），c，d3m时，求证：数列a2，a3m+2，a6m+2，a9m+2成等比数列当且仅当d3man （kN） (9)1993.（08江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7
2、 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为 4（16分）（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当时，求的数值；求的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。（1）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现
3、连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就
4、是满足题意要求的数列。例如n项数列1，满足要求。5.（08浙江）已知是等比数列，则（ C ）ABCD6（本题14分）已知数列，记：，求证：当时，（）；（）；（）本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力满分14分（）证明：用数学归纳法证明当时，因为是方程的正根，所以假设当时，因为 ，所以即当时，也成立根据和，可知对任何都成立（）证明：由，（），得因为，所以由及得，所以（）证明：由，得所以，于是，故当时，又因为，所以7（08陕西）各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于（C）ZXXK.COM（A）80（B）3
5、0 (C)26 (D)16ZXXK.CO8（08陕西）(本小题满分12分)Z已知各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk,且SkN*),其中a1=1.ZXXK.COM()求数列ak的通项公式;ZXXK.COM()对任意给定的正整数n(n2),数列bk满足（k=1,2,，n-1）,b1=1.ZX求b1+b2+bn.ZXXK.COMZXXK.COM解：（）当，由及，得当时，由，得因为，所以从而，故（）因为，所以所以故9（08全国卷）设函数数列满足。（1）证明：函数在区间（0，1）上是增函数；（2）证明：（3）设b，整数k，证明：。10.（08重庆）设Sn=是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9
6、=-9,则S16= .11（08重庆）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分.）设各项均为正数的数列an满足.（）若，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；（）记对n2恒成立，求a2的值及数列bn的通项公式.解：()因 由此有，故猜想的通项为 （）令 由题设知x1=1且 因式对n=2成立，有 下用反证法证明： 由得 因此数列是首项为，公比为的等比数列.故 又由知 因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以 由-得 对n求和得 由题设知 即不等式22k+1对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.因此x2,结合式知x2=,因此a2=2*2=将x2=代入式得Sn=2(nN*),所以b
7、n=2Sn=22(nN*)12（08海南宁夏卷）设等比数列的公比，前n项和为，则（ C ）A. 2B. 4C. D. 13（08海南宁夏卷）（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，。（1）求的通项；（2）求前n项和的最大值。解：（）设的公差为，由已知条件，解出，所以（）所以时，取到最大值14（08福建）设an是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列an前7项的和为（C）A.63B.64C.127D.12815（08福建）已知函数f(x)=ln(1+x)-x1（）求f(x)的单调区间；（）记f(x)在区间（nN*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx. （）如果对一
8、切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；（）求证： 小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分.解法一：（I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且f(x)=-1=.由f(x)0得-1x0，f(x)的单调递增区间为（-1，0）；由f(x)0，f(x)的单调递增区间为（0，+）.(II)因为f(x)在0,n上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(i) 又lim,因此c1，即实数c的取值范围是（-，1）
9、.（II）由（i）知因为2=所以(nN*),则N*）16（08湖南）数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当 解 ()因为一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n=6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，17（08广东）记等差数列的前项和为，若，则（ D ）A16B24C36D48
10、18（08广东）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和【解析】（1）由求根公式，不妨设，得，（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,两式相减，得，即，当时，即方程有重根，即，得，不妨设，由可知，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，,综上所述，（3）把，代入，得，解得.19（08湖北）已知函数f(x)=2x,等差数列an的公差为2.若f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则 log2f(a1)f(a2)f(a3)f(a10
11、)= 6 .20. （08湖北）观察下列等式：可以推测，当x2（kN*）时， ak-2= . 21（08湖北）已知数列an和bn满足：a1=,an+1=其中为实数，n为正整数.（）对任意实数，证明数列an不是等比数列；（）试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（）设0ab,Sn为数列bn的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都有aSnb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解：（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn
