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1、含有参变量的函数问题 进修实验学校 侯天新,含有参变量的函数问题一直是全国各省高考命题的热点和难点，它综合了函数方程思想、转化划归思想、分类讨论思想和数形结合思想，对学生的各方面能力要求也比较高，包括运算能力、逻辑思维能力、抽象思维能力等等，而且涵盖的知识覆盖面时间跨度大、覆盖范围大，因此成为学生的难点。同时此类题目可易可难，不好判断，很难取舍。,思考函数问题要有几个好习惯！,函数的定义域 函数是否有特殊点（原函数、导函数） 函数是否有特殊性质 函数是否可以转化 二次函数“四方面” 开口、对称轴、判别式、特殊点 借助导数，形成草图,分类讨论 分与合换位 反客为主、迁移转换,关于分类讨论的几个问
2、题：,1.为什么要分类讨论？ 2.哪些情况下要进行分类讨论？ 3.分类讨论的区间是如何产生和确定的？ 4.分类讨论的结果如何处理？,函数、方程、不等式分类讨论,对于含参变量的函数、不等式与方程求解问题,有时存在不确定因素，就需要先对参变数可能取值情况逐一讨论，然后在此制约下解决相关问题。 要注重总结哪些情况经常产生不确定因素。 分类讨论在导函数问题中经常考察。,（1）最高次项系数符号不确定 （2）根是否存在不确定 （3）根的大小不确定 （4）点是否在区间内不确定 （5）函数值大小不确定,产生分类讨论的不确定因素主要有以下五个；,（系数等于0）,（判别式等于0）,（两个根相等）,（点等于区间端点
3、）,（函数值相等）,确定分界点,不确定因素,利用数轴，根据分界点在定义域内确定分类讨论范围,讨论范围分别为：,说明：等号与不等号是否能够合并，取决于不确定因 素是否一致被确定,确定分类讨论范围之后，首先在此范围内，将所有的 不确定因素明确，然后再在此讨论范围内分析解决下面的问题,例1:设,解关于,的不等式,解析:(1)最高次项系数的符号不确定；令,确定一个讨论分界点,(2)因为,，根是存在的，不需要讨论；,(3),两个根的大小不确定,令,确定第二个讨论分界点,(4)(5)此题不涉及,因此分类讨论的分界点可以确定为,(1)当,时，,解不等式为,(2)当,时，,不等式解集为R,根据数轴，可以确定分
4、类讨论的范围,下面是具体的解题过程：,或,(3)当,时，,解不等式为,或,分类之后，先将所有不确定因素明确,分类为具体值时，将具体指代入到最原始函数式,(4)当,时，,，解不等式为,时，,，解不等式为,(5)当,综上：,(1)当,时，解集为,(2)当,时，解集为R,(3)当,时，解集为,(4)当,时，解集为,时，解集为,(5)当,的对称轴,例2:设函数,，求,上的最小值.,解析:此题不确定因素不涉及前两项，根据二次函数的性质，,是否在0，1上不确定,需要讨论，首先确定讨论的分界点，再确定分类区间,已知区间是固定的，而对称轴是不固定的,即,在0，1,对称轴相对已知区间的位置影响函数在某区间上的最
5、小值,令,，令,所以分类讨论的分界点为,分类讨论范围为,分类讨论的目的是判断对称轴是否在区间内，所以可以合并,(1)当,时，,(2)当,时，,下面是具体的解题过程：,函数,的对称轴为直线,综上：,(3)当,时，,图像开口向上,例3. 已知函数,，则函数,最小值,的最小值为_,的对称轴,解析:,上不确定,的对称轴是固定的，区间是不固定的,即,是否在,令,，令,所以分类讨论的分界点为,分类讨论范围为,下面是具体的解题过程：,(1)当,时，,的对称轴为直线,，图像开口向上,函数,综上：,当,时，,当,时，,所以,(3)当,时，,(2)当,时，,设函数,例4：山东卷2015,的取值范围.,（1）讨论函
6、数,极值点的个数，并说明理由；,（2）若对于任意,成立，求,解析：函数的定义域为,令,当,时，,设方程,的两个根分别为,，则,所以当,时，,单调增,当,时，,单调减,此时，,只有一个极值点.,“0”是怎么确定的,确定因素？,特殊点？,当,时，,所以,在定义域内单调增，函数没有极值点,当,时，,所以,在定义域内单调增，函数没有极值点,当,时，,所以,在定义域内单调增，函数没有极值点,当,时，,设方程,的两个根分别为,，且,所以,，即,所以当,时，,单调增,时，,单调减,当,时，,单调增,当,“这个数”是怎么确定的,是否可以合并讨论？,所以,有一个极值点,综上所述：,当,时，函数,在定义域内有两个
7、极值点,无极值点,当,时，函数,有两个极值点,当,时，函数,（2）根据（1）可得：,在定义域内单调增且,当,时，函数,所以,成立；,时，,当,时，,，则,所以,在,上单调增，又,所以,成立；,时，,“1”是怎么确定的,当,时，,，则,所以,在,上单调减，又,所以,时，,，不合题意.,当,时，先证明当,时，,恒成立.,设,所以当,时，,所以,在,单调减，且,所以当,时，,恒成立.,可得：,由此，当,时，,，不合题意.,综上所述：,的取值范围是,两个重要结论,特殊点？,例5：全国大纲卷2012,设函数,(1)讨论,的单调性；,(2)设,，求,的取值范围.,解析(1)：,当,时，,，单调增区间为,当
8、,时，令,，解得,或,令,，解得,当,时，,时，,，单调减区间为,综上：,当,时，单调增区间为,当,时，单调增区间为,当,时，单调减区间为,特殊点？,分类讨论的原则？,解析(2)：设,问题转化为当,时，,，求,的取值范围.,，则,当,时，,单调减，,成立,当,时，,单调增，,解得,，所以,不合题意,当,时，分别求,解得：,上的最大值,时，,令,当,时，,单调减,当,时，,单调增,单调增,与例4相似,与例4相似,时，,单调减,成立,时，,令,因为,，所以,且单调减，,，解得：,当,时，,单调减,当,时，,单调增,因为,，所以,综上,例6. 湖南2013已知函数,（）记,在区间,上的最大值为,，试
9、求,的表达式；,（）是否存在,，使函数,在区间,内的图像,上存在两点，在该两点的切线互相垂直？若存在，求,的,取值范围，若不存在，请说明理由.,分析：第（）问首先要讨论去掉绝对值符号，求出,的分段函数，然后对各段函数进行求导求最值.,第（）问，先假设存在，根据已知条件，建立模型求解,解析（）因为,，所以,当,时，,当,时，,，即,当,时，,所以,在区间,上单调减，,当,时，,所以,在区间,上单调增，,当,时，,在,上单调减，在,上单调增,且,所以,当,时，,在,上单调减，在,上单调增,且,所以,当,时，,在,上单调减，,综上：,解析（）假设存在满足条件的,值，当,时，,在,上单调减，不合题意，
10、所以,设符合条件的两个切点分别为,在,上单调减，在,上单调增,由（）知：,则,令,由假设知,，即,整理得：,因为,，所以,因为,，所以,所以,因为,所以,或,解,得：,解,得：,综上：,即存在,，使函数,在区间,内的图像,上存在两点，在该两点的切线互相垂直.,例7：江苏2014,，其中,（1）证明：,是自然对数的底数.,已知函数,是,上的偶函数；,（2）若关于,的不等式,在,上恒成立，求实数,的取值范围；,（3）已知正数,满足：存在,，使得,成立，试比较,和,的大小，并证明你的结论.,解析:(1)略,(2)因为,，设,不等式,在,上恒成立，即,在,上恒成立，设,当,时，,，则,在,单调增,所以
11、,，不合题意；,当,时，令,，则,，同，不合题意；,，设,所以当,时，,当,时，令,，则,所以当,时，,单调增,当,时，,单调减,所以,由题意可知：,，解得：,综上：,因为,，设,不等式,在,上恒成立，即,在,上恒成立，即,(2)另解,上恒成立，因为,，即,上恒成立，,因为,，当且仅当,时等号成立，,所以,(3)略,设函数,北京卷2015,若,恰有两个零点，则实数,，则,分段函数综合零点问题,的最小值为_.,若,的取值范围是_.,解析：略,分讨论，分界点为,当,时，,，无零点；,，无零点；,当,时，,当,时，,，有一个零点；,，无零点，不符合题意；,当,时，,，有一个零点；,，有一个零点，符合
12、题意；,当,时，,，有一个零点；,，有两个零点，不符合题意；,当,时，,，无零点；,，有两个零点，符合题意；,综上：,已知函数,江苏卷2015,则方程,实数根的个数为_.,解析：分类讨论，分界点为,当,时，,有一个实数根；,当,时，,因为,，无实数根；,或者,由图像可知，有一个实数根；,缺一个图,当,时，,或者,由图像可知，有一个实数根；,由图像可知，有一个实数根；,缺一个图,缺一个图,综上：共有四个实数根,已知函数,天津卷2015,恰有4个零点，则,函数,其中,.若函数,的取范围是（ ）,解析：分类讨论，分界点为,当,时，,当,时，,当,时，,，最多有两个零点；,，最多有两个零点；,，无零点
13、或无数个零点；,函数,由题意，问题转化为：,的两个不等实根,且函数,的两个不等实根,第一个问题等价于：,，解得：,第二个问题等价于：因为对称轴直线,，解得：,，所以：,综上：,已知函数,湖南卷2015,的取范围是_.,若存在实数,，使函数,有两个零点，则实数,解析：分类讨论，分界点为,当,时，由图像可知，符合题意；,当,时，,单调增，且,单调增，且,所以函数,在定义域内单调增，不符合题意；,当,时，,单调增，且,单调增，且,恒成立，符合题意；,综上：,“1”是怎么确定的,分与合换位方法,函数、方程问题经常出现参变量，在自变量或参变量满足某种条件的情况下设置问题，这时可以采用分离变量方法，将参变
14、量和自变量分立与不等号或等号两侧，转化为只含有一个变量的问题。需要注意的是转化过程中不等号方向的变化是否固定，尽量不要出现分类讨论情况,例1：若,恒成立，则,范围为_,的取值,解析一：设,，问题转化为：,当,时，,恒成立，,当,时，二次函数开口向下，只需,解得,当,时，,恒成立，,当,时，二次函数开口向上，对称轴直线,只需,，显然恒成立,综上：,所以：,，解得,解析二：因为,，所以原不等式恒成立等价为,恒成立,当,时，,所以,，解得,，又因为,解析三：关于,即,当,时，,即,的不等式,因式分解为,整理成关于,的不等式,恒成立,恒成立,所以,所以,例4：已知函数,()讨论函数,的单调性;,()对
15、于任意正实数,恒成立，求实数,，不等式,的取值范围.,解析()：函数,的定义域为,令,，解得：,，令,，解得：,所以：,在区间,上单调减，在区间,上单调增.,解析()： 设函数,，令,，列表：,对于任意正实数,恒成立，等价于：,，不等式,对于任意正实数,恒成立,，,所以,，解得：,解析()：,对于任意正实数,恒成立，,，不等式,等价于:对于任意正实数,恒成立，,不等式,设,，,令,，解得：,，令,，解得：,所以,，所以,所以,例5：已知函数,()设函数,()设函数,，若,，函数,不存在极值，,求实数,的取值范围；,，如果对于任意实数,都有不等式,成立，求实数,的最大值.,解析()：由,，得,当
16、,时，,在,单调增，不存在极值点；,当,时，令,，解得：,令,，解得：,在,单调增；,在,单调减.,时，函数,不存在极值，只需,，即,综上：,解析()：对于任意实数,不等式,恒成立，,恒成立，因为,，所以原命题等价于,恒成立.,设,，原问题等价于当,时，,恒成立，即,为,最大值.,令,，当,时，,单调增，,当,时，,单调减，所以,所以,，即,的最大值为,等价于,因为,例6.,已知曲线,和点,线段,总与曲线,有公共点，则,的取值范围是（ ）,解析：将已知曲线,与线段,两个方程联立，然后分离,再求出另一部分的值域即可,由已知，线段,的方程为,则,，整理得：,分离参数得：,函数图像开口向上，对称轴为直线,所以,即,又因为,，所以,设,故选,例7.（四川2013）设函数,，若自变量,为任意正实数时，,恒成立，则,的取值范围是_
