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1、【函数的概念与基本初等函数】【考纲要求】1.函数 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。 了解简单的分段函数，并能简单应用。 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。 会运用函数图像理解和研究函数的性质。2.指数函数 了解指数函数模型的实际背景。 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点。 知道指数函数是一类重要的函数模型。3.对数函数 理解对数的概
2、念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。 知道对数函数是一类重要的函数模型； 了解指数函数y ax 与对数函数y log a x 互为反函数（a0，且 a1）。4.幂函数 了解幂函数的概念。 结合函数 y x , y x 2 , y x 3 , y 1 , y x1 的图像，了解它们的2x变化情况。5.函数与方程 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数。 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。6.函
3、数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应【基础知识】2.1 函数及其表示【考纲要求】 1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。 3、了解简单的分段函数，并能简单应用。【基础知识】 1、映射的定义设 A, B 是两个非空的集合，如果按照对应法则 f ，对于集合 A 中的任意一个元素，在集合 B 中都有唯一的
4、元素和它对应，那么这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的映射， 记作f : A B 。映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合 B 中的元素在集合A 中没有元素和它对应。 2、函数的概念设 A、 B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个 x ，在集合 B 中都有唯一的值与它对应，那么称 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数。记作： y f (x) .其中 x 叫做自变量， y 叫做函数，自变量 x 的取值范围（数集 A ）叫做函数的定义域， 与 x 的值对应的 y 值叫做函数值，所有函数值构成的集合 C y y f ( x )
5、, x A叫做这个函数的值域。 3、函数的三要素函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对 应法则唯一确定，故也可说函数只有两个要素。4、两个函数能成为同一函数的条件 当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。 5、区间的概念和记号设a , b R ，且a b ，我们规定：（1）满足不等式a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为a, b 。（2）满足不等式a x b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为(a, b) 。（3）满足不等式a x b 或 a x b 的实数 x 的集合叫做半闭半开区间，分别表示为a,b) 和(a,b
6、 。这里的实数 a 和b 叫做相应区间的端点。（4）实数 R 可以用区间表示为(, ), “ ”读作“无穷大”，“ ”读作“负无穷大”，“ ”读作“正无穷大 ”。我们可以把满足 x a 的实数 x 表示为a, )6、函数的表示方法 函数的表示方法有三种。（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。（2）列表法：就是列出自变量与对应的函 数值的表来表达函数关系的方法。（3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。7、分段函数 在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个
7、函数。分段函数书写时，注意格式规范， 一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空 集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。8、求函数的定义域的主要依据是：（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数 y log a x 的真数 x 0 ；（4）指数函数 y a x 和对数函数 y log a x 的底数a 0 且a 1 ；（5）零次幂 x 0 的底数 x 0 ；（6）函数 y tan x的定义域是x | x k k z；（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解2析式有意义，还要有实际意义。 9、温馨提示（
8、1+映射是一种特殊的函数，映射中的集合 A,B 可以是数集，也可以是点集或其他集 合，这两个集合有先后顺序。A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是不同的。而函数是数集到数 集的映射，所以函数是特殊的映射，但是映射不一定是函数。（2）求函数的定义域的主要依据是：（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数 y log a x 的真数 x 0 ；（4）指数函数 y a x 和对数函数 y log a x 的底数a 0 且a 1 ；（5）零次幂 x 0 的底数 x 0 ；（6）函数 y tan x的定义域是 x | x k 2 k z；（ 7）由实际问题确定
9、函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。(3)函数的问题，要遵循“定义域优先”的原则。无论是简单的函数，还是复杂的函数， 无论是具体的函数，还是抽象的函数，必须优先考虑函数的定义域。之所以要做到这一点， 不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便。(4)函数的定义域和值域必须用集合表示，也可以用区间表示，但是不能用不等式表示。(5)判断两个函数是否相等，或者是否是同一函数，关键是看两个函数的定义域与对应 法则是否一致。(6)求函数的解析式的主要方法有以下四种：待定系数法：如果知道函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数 等）时，可以用待定系数法；代入法：如果已知原
10、函数 f (x) 的解析式，求复合函数 f g(x) 的解析式时，可以用代入法；换元法：如果已知复合函数 f g( x) 的解析式，求原函数 f ( x) 的解析式时，可以用换元法。换元时，注意新“元”的范围； 解方程组法：如果已知抽象函数的解析式，可以用解方程组的方法。(7)不等式a x b 中，a 可以小于等于b ，也可以大于b ，当 a b 时，不等式表示的是空集；但是区间a,b 中，一定是a b ，它不可能是空集。(8)分段函数的首先分段处理，最后综合。【例题精讲】例 1 求函数 y 25 x2 + log 3 cos x 的定义域。2 5 x 525 x 0解析：由题得 cos x 0 2k x 2k k z 2 23 3 x | 5 x 或 x 或 x 52 2 2 23 3所以函数的定义域为 x | 5 x 或 x 或 x 52 2 2 2例 2 已知 f ( x ) 是一次函数，且满足 3 f ( x 1) 2 f ( x 1) 2 x 17 ，求 f ( x )解析：由题可设 f ( x ) ax b ( a 0) ，所以3 a( x 1) b 2a(x 1) b 2x 17a 2 0化简得(a 2)x 5a b 17 0 5a b 17 0所以a 2 b 7 所以 f (x) 2x 72.1 函数强化训练【基础精练】 1.下列是映射的是（ ）
