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1、 北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组郝永军第 1 页 共 9 页课题 2.1.1 数列 教案编号课型 新授 授课班级课时 授课时间 2010-12 授课人 郝永军教材分析学情分析学法指导知识与技能了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数.能根据数列前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式）;能根据数列项数多少,数列的性质对数列进行分类; 过程与方法经历类比函数研究数列过程,会运用函数思想解决数列问题. 认识数列是反映自然规律的基本模型.体会从特殊到一般认识事物的方法. 教学目标情感态度与价值观养成在探索未知事物时大胆猜想严格论证的科学精神.教学重点 使
2、学生理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，掌握数列的几种简单表示(列举、图象、列表、通项公式、递推公式).教学难点 是认识数列是一类特殊的函数;及根据数列前几项的特点，探索规律，写出数列可能的一个通项公式.教学资源教学方法 留给学生思考、回味空间.控制难度.知识结构板书计划 北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组郝永军第 2 页 共 9 页教学过程教学内容教学环节所需时间 教师活动 学生活动设计意图教学反馈一、引入 迪留斯 1766 年研究太阳系星球到太阳的距离数列导引整章：观察数列：0, 0.3, 0.6, 1.2, 观察得到规律：0.3, 0.6, 1.2；后一项是前一项的
3、2 倍，4.8, 9.6,也满足后一项是前一项的 2 倍.提出猜想：是否存在一个星球到太阳的距离为 2.4？太阳系除上述星球之外是否还有新的星球？2）某种放射性物质最初的质量为 1，每经过一年剩留这种物资的84，则这种物资各年开始时的剩留量排成一列数：1， ， ， ，84.02.384.03）1 的 1 次幂，2 次幂， ，排成一列数：1，1，1，1，4）无穷多个 1 排成一列数：1，1，1，1，1，5）4，5，6，7，8，9，106）1， ， ， ， ，.23457）1，1.4，1.41，1.414，. 8）1，0，1，0，1，0，观察这几列数，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）共
4、同特点是：均是一列数；有一定次序. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.如何来理解“次序”（1）把位置编上号码，这些号码是所有的非零自然数按从小到大顺序排列，每一个有序号的位置都有一个确定的值，由所有这样的数值组成一个数列；数列的一般形式可以写成 a1， a2， a3， an，数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项） ，第 2 项，第 n 项，.这种有序性是对数列本质的刻画（2） “次序”用数学语言来表示的话，就是一种特殊的对应，即映射：水星 金星 地球 火星 木星 土星距离 0.39 0.72 1 1.52 5.2 9.6优化 0.4 0.7
5、1 1.6 5.2 10变形 0.4+0 0.4+0.30.4+0.60.4+1.20.4+4.80.4+9.6 北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组郝永军第 3 页 共 9 页:1,23.fAB数 值通过映射的角度不难理解：数列的可重复性，即数列中的值可以重复出现（3）上升到函数的高度数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集1，2，n）为定义域的函数 an = f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于任意的函数 y = f(x)（ x0） ，我们可以得到一个数列f(1)， f(2)， f(3)， f(n)，数列与函数一样，可以用解析式、图象、列表等
6、方法来表示。数列的图象是一系列孤立的点。2数列的一般形式： ，或简记为 ，读作： ,321nana数列 ，其中 是数列的第 n 项nan注意：数列与集合的区别数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；区别于集合的无序性定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.区别于集合的互异性下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列 6） ，每一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 151432 序
7、号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式： 来表示na1其对应关系即：只要依次用 1，2，3代替公式中的 n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系 数列的通项公式：如果数列 的第 n 项 与 n 之间的关系可以用一个公式来表a示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组郝永军第 4 页 共 9 页注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列（7） ；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如上述数列（8） ；数列的通项公式可以是分段函数数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.（4）从映
8、射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集1，2，3，n）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.5.数列的表示形式：列举法：a 1，a 2，a 3，a n， 突出个性通项公式法： 突出共性)(fn递推公式法：给出首项和相邻项之间的关系 突出相邻两项的关系图象法： 直观形象对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式画出其对应图象，下面同学们练习画数列（5） 、 （6）的图象，并总结其特点.注：数列的图像都是一群孤立的点.（在画图时，为方便起见，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度
9、可以不同. 数列（4） 、 （5）的图象分别如图 1，图 2 所示.）6数列的分类：（1）按项数多少分类： 无 穷 数 列有 穷 数 列（2）按项的变化趋势分类： 摆 动 数 列常 数 列递 减 数 列递 增 数 列 北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组郝永军第 5 页 共 9 页（3）按项的取值范围分类： 无 穷 数 列有 穷 数 列例 1、 根据下面数列 的通项公式，写出前 5 项：na（1） an)1()2;分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中 n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前 5 项 奎 屯王 新 敞新 疆解：（1） ;65;4;3;2;.5,4311 aaa(2)
10、 , 5432 n例 2、根据下面各数列前几项，写出一个通项（1）-1,7,-13,19,; (2)7,77,777,777,; (3),.;910638,54,(4)5,0,-5,0, 5,0,-5,0,; (5)1,0,1,0,1,0,;解：（1）a n=(-1)n(6n-5); (2) 1097nna(3) (4) ;)12(n 2si5n(5) ;Nann Nani点评根据数列前几项的规律，会写出数列的一个通项公式。练习: 3,5,9,17,33, 1,2,2,4,3,8,4,16,5,.,.5421,7解：131nnaa3） 22cos1sinna或例 2、已知数列 92（1）求这个
11、数列的第 10 项；（2） 是不是该数列中的项，为什么？098（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内； 北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组郝永军第 6 页 共 9 页（4）在区间 内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说32,1明理由。解：设 1329)(2nnf（1）令 n=10,得第 10 项； 810a（2）令 ，此方程无自然数解，所以不是,83n得其中的项（3）证明： 10,130,131 nn anNna（4）令 3867269,231 nnn867在 区 间 内当 且 仅 当 ,点评数列问题转化为解方程和不等式问题，注意正整数解例 3.已知函数 设1(),xf()nafN(
12、1) 求证: ;(2)数列 是递增数列还是递减数列?为什na么?拓展 1. P28 练习 B2 数列 的通项公式为 ,它na978na的前 30 项中最大项是第几项?最小项是第几项?分析：考察函数 的单调性。97()8xf98()19xf x函数的图象如图：由反比例函数性质可知，函数 在（0， ）上单调递减，()fx98且 ，在 也是单调1(,)递减，且 。由于 9 是（0， ）内的最大的整数，)fx810 是 内的最小的整数(98, 北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组郝永军第 7 页 共 9 页当 x 只取不超过 30 的自然数时，max1097()8nin9()拓展 2. 已知数列 的通
13、项公式是 ,则 (1)数na254na列中有多少项是负数?(2)n 为何值时, 有最小值?并求出最小值.变式 1:已知数列 的通项公式是 ,则(1)当 ana24na为何值时?数列中有负数项?(2) 当 a 为何值时?数列是递增数列?变式 2:在数列 中, ,(1)判断数列 的单调na179nnna性,并说明理由;(2)求数列 的最大项的项数.n例 4、有一数列a n，a 1=a，由递推公式 an+1= ，写出这个数列n12的前 4 项，并根据前 4 项观察规律，写该数列的一个通项公式。详见优化设计 P37 典例剖析之例 2，解答过程略。（理科班学生可要求通项公式的推导：倒数法）变式：在数列a
14、 n，a 1=1，a n+1= ，求 an。n1详见优化设计 P37 典例剖析之例 1，解答过程略。点评对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如：迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差（比）数列公式，也很必要。例 5、已知数列a n的通项公式 试问,10Nnna数列a n有没有最大项 ?若有,求最大项和最大项的项数;若无 ,说明理由.解: 19011021 nnann 当 n9, nnaa11,0当 n=9, 故 .109321 所以, 数列a n有最大项, 为第 9,10 项点评 求数列 an的最大项,最小项,考虑数列的单调性,即通过对 an的单调性进行讨论练习:已知 则在数列a n中的前 30 项中,最大,98Nan项和最小项分别为什么
