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1、前言：本來想到其他的主題，沒想到太沒有發展性，於是接下老師指派的這個題目。在修了整學期的影像處理課之後，發現二元化真是很重要的步驟，舉凡 等，都是要先將影像二元化之後才能作進一步的運算及處理。而對於一個影像處理應用軟體來說，如果在使用者想執行一項功能時，還必須先調整一下二元化的閥值的話，未免也太不人性化了。所以如何自動選擇二元化閥值也就成為影像處理過程中很重要的一環，也是影像分割中最重要的方法之一。從背景中提取物體的一個明顯方法就是選擇一個能分離物體和背景模式的臨界值T，如此，對影像中每個像素而言，可視其灰度值大於或小於T，將其歸類為背景或物體。在灰度統計圖上的意義也就是，由於背景和物體會在統
2、計圖上呈現兩個高峰群落，要分離這兩個群落，很容易就想到找兩波峰之間夾的波谷為T值，分離出物體與背景。而較為一般的情況是一背景中有多種不一樣的物體，欲分割此影像就需要多個臨界值。這一類多臨界值一般較單臨界值檢測的可靠性要低。原因是由於建立能有效分離感興趣區域的多階臨界值是很困難的。故在此以討論單一可變的臨界值為主。相關的演算法已有非常多種，在如此多種的演算法中孰優孰劣又該如何選擇呢？以下將這些演算法實作出來並加以比較之。文獻探討：梯度運算子（Gradient Operator）影像f（x, y）在（x, y）處的梯度為向量由向量分析我們知道，梯度向量的方向是f在（x, y）處變化最大的方向，在邊
3、緣檢測中一個重要的量是這個向量的強度大小（magnitude），通常簡稱為梯度（gradient）：其大小等於在梯度的方向上每單位距離f（x, y）的最大增長率。實際中通常把梯度近似為絕對值的和Laplacian Operator二維函數f（x, y）的Laplacian運算子是一個二階導數，定義為和梯度的情形一樣，此方程式可以用多種數位型式的方法來實現，對於一個3*3的區域，實際應用中最常用的計算形式是其中z是已經定義過的。定義數位Laplacian運算子的基本要求是與中心像素點相對應的遮罩的係數必須為正，與外圍像素點相對應的係數必須為負。因為Laplacian運算子是一個導數，各係數之和必
4、須為零。因而響應是零，只要所求的點與其鄰點有一樣的值。方法介紹：簡單整體臨界值法（Simple Global Thresholding）起因：沒辦法從灰度統計圖直接找出兩波峰之間的波谷，然後設其為臨界值的原因是，無法得知何點為波峰，所以也無法得知何點為兩波峰之間的波谷。直接從統計圖中找最小值，找到的global minimum卻不一定是臨界值，它可能是沒有落在兩波峰之間的灰度值，只是頻率恰巧很低而已。想法：基於這個原因，於是我想到對統計圖所有灰度值的頻率排序，如果此影像為較單純的影像的話，則可得到最大的兩個頻率的灰度值分別為背景和影像的灰階值眾數。所謂單純的影像，包括了兩個條件：第一，物體和背
5、景的面積相當；第二，不論是物體或背景，其灰度值分佈變異數小，也就是灰度變化不大，集中於平均值的地方出現。在得到兩波峰的灰度值後，就可以在這兩個值中間找到一local minimum。在單純的影像中，此灰度值就會是我們所需要的波谷，便可以此分離物體與背景。缺點：如上所述，此方法只有在單純的影像中才適用，不然，取到的兩個頻率最大的灰度值，可能都是物體的或都是背景的，這時候此方法就失敗了。利用Gradient operator找出邊界的臨界值選擇：起因：由於上個方法，可能在背景上只有一個很小的物體時失敗。其直方圖由於背景像素的大量聚集將表現為一較大的峰值，由物體像素所造成的波峰無法表現出來。想法：僅
6、運用物體和背景的邊界上及其鄰域的像素，所得的直方圖將有兩個差不多高度的峰，此外，給定的像素處於物體上與處於背景上的機率幾乎是相等的。於是先利用梯度運算子找出邊界上的像素，然後只對邊界上的像素做灰度值統計的直方圖。得到一個對稱的圖後，就可以用上一個方法排序找波峰，再找波谷。缺點：因為還是利用到了排序的方法，所以還是會不可避免的產生排序法會產生的錯誤。利用Laplacian operator找出邊界的臨界值選擇：起因：會產生上述錯誤的原因就是，在統計灰度直方圖時，沒有辦法確定像素到底是屬於物體還是屬於背景。想法：Laplacian運算子的應用，還能產生出給定的像素是處於一條邊緣的暗側還是亮側的資訊
7、，也就是此邊緣像素是屬於物體抑或是屬於背景。所以便可計算出物體和背景像素的平均灰度值，再以這兩個灰度值當作波峰的灰度值，找到之間的波谷。即為所要的臨界值，而不會有此臨界值會偏向物體或背景的問題了。缺點：到目前為止，無論是找出像素之間的眾數或平均數，這些方法都沒有考慮到像素的分佈的問題。像素的分佈足以影像平均數或眾數具不具代表性。最佳臨界值法（Optimal Thresholding）起因：如上所述，像素間的分配影響甚鉅。在各式各樣的影像中，也會有各式各樣的分佈。我們無法預先得知一個影像，其像素分佈是否為常態分佈或是任何其他的分佈。當然最好的分佈情況是，物體和背景像素都是很集中的，集中出現在其平
8、均值附近，這樣就會有較多的像素可以被正確歸類，而減少歸類錯誤的機會，也就增加了二元化的正確性。想法：利用Laplacian遮罩運算得到背景和物體的灰度平均值以及初步臨界值。用此臨界值對整個影像，而非原影像，找出物體和背景像素灰度的標準差以及先驗機率。把這些求得的參數帶進最佳臨界值法的公式，得到一個使誤差最小的臨界值。此法在物體和背景像素的標準差不相等時，計算會變得很複雜。所以在一般情形中，皆預先假設其兩標準差是相當的。但是這個假設想必在物體和背景的標準差並不相等時，會造成誤差。程式流程：開始載入bmp圖檔影像灰階化手動二元化利用Gradient operator利用Laplacian oper
9、ator最佳臨界值法結束簡單整體臨界值法結果與討論：範例一：單純的影像(logo2.bmp) 結果threshold: 86threshold: 86threshold: 12threshold:155臨界值稍有不同，但結果大致上都很正確，就是良好影像的典型。物體和影像的像素數目也蠻平均的，也恰好各分佔一個高峰值。由它的直方圖可知，因為物體和影像的像素灰度分布都非常集中，所以不論用哪一個方法都沒有錯誤！範例二：(icon.bmp) threshold:99threshold:70threshold:126threshold:106邊界模糊的物體。方法二的失敗是因為它把物體錯當成影像中的陰影部分
10、，因為陰影的黑色跟背景的綠色差異較物體的藍色和背景的綠色差異大。不過大致上這個影像的直方圖分布也還算不錯。範例三：(fruit01.bmp)結果threshold:163threshold:141上面是方法一和方法三的結果，其他的方法二和方法四都失敗了。其中方法三的結果精確度相當令人振奮。範例三：(washer01.bmp)結果threshold:81threshold:127這也是方法一和三的結果。方法二和四又失敗了。範例四：(test.bmp)結果每個方法的結果影像都差不多，這個範例主要是要和下面一個範例做比較。範例五：(test1.bmp)結果threshold:43threshold:
11、43threshold:61threshold:129可以看到在結果中除了方法四以外，都不能正確找出物體，就像前言中說到的，因為multilevel thresholding太困難，所以本報告中的方法都是針對單一臨界值，用在多模式影像並不恰當。結論：在這些結果中，最出乎意料的就是方法四(Optimal thresholding)，雖然理論上好像應該使結果的誤差最小，但是卻不然。原因是，因為在一般情形下，假設物體和背景的像素方差異不大，但現實情況中，兩者的方差卻常常差很多，這是最佳臨界值法在這裡失敗的原因。在本報告中，方法三(based on Laplacian operator)表現的最好。而
12、方法二(based on gradient operator)理應表現的比方法一(simple global thresholding)好，但卻沒有，因為它常常判斷出不正確的物體。參考文獻：1. Davies, E.R. 1997. Machine Vision: Theory, Algorithms, Practicalities.2. Rafael C.Gonzalez/Richard E. woods, 1992, Digital Image Processing.3.Carrano.Helman.Veroff, 1998, Data Abstraction and Problem Solving
