线性代数讲义(二版)0-1章

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1、线性代数 第章 概述第 0 章 概述(一) 数学与其它领域的关系l 数学与生活l 数学与科研l 数学与工程l 数学与社会(二) 数学的分类l 数学分析：初等数学高等数学实变函数l 代数：初等代数高等代数（线性代数）抽象代数（近世代数）l 几何：初等几何l 离散数学l 数值分析l 组合数学l (三) 代数学的研究对象l 初等代数l 高等代数（线性代数）l 抽象代数（近世代数）(四) 线性代数的应用l 基础学科：数学、物理l 工业：钢铁、化工、机械l 信息：通信、电子、计算机、密码学l 经济：l 社会科学：(五) 课程内容序号内 容详 细 内 容备注1行列式定义、性质、计算、应用（解方程组）第2章

2、2线性（代数）方程组定义、求解（消元法）、有解的判断第3章解的结构第4章3矩阵概念、秩第1章运算、逆矩阵、分块、特殊矩阵第1章特征值与特征向量、相似矩阵、标准形第5章4向量空间向量、相关性、秩、向量空间、欧氏空间第4章5二次型表示方式、标准形、正定二次型第6章6MATLAB语言，应用第8章7线性空间线性空间概念、性质、基、维数、坐标、子空间第7章8线性变换概念、表示方式、特征值、特征向量第7章(六) 与其它课程的联系与分工l 是“离散数学”、“数值分析”、“信号与系统”等专业课的基础。(七) 教材与参考资料教材：参考：(八) 要求l 学习方法：不同课程的方法有异l 纪律：85/86线性代数 第

3、一章 矩阵第 1 章 矩阵（一） 问题l 自然科学中的问题可用矩阵描述；l 用矩阵表示的问题可直接用矩阵求解。（二） 内容l 内容：矩阵及矩阵的运算；l 逆矩阵；l 矩阵分块法。（三） 基本要求l 理解矩阵概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵的性质；l 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；l 理解逆矩阵的概念，熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法；l 会分块矩阵及其运算。l 熟练掌握矩阵的初等变换。l 了解初等矩阵的概念及初等矩阵与初等变换的关系。l 熟练掌握用矩阵的初等行变换化矩阵为行最简形。（四） 重点和难点l 重点：矩阵与矩阵的乘法、逆矩阵存在的条件及其求法；，用矩阵的

4、初等行变换化矩阵为行最简形求解方程组的方法l 难点：逆矩阵的求法。1.1 矩阵的概念1. 1. 1 矩阵的概念(一) 实例【例1.1.1】三个人A、B、C，三项工作、，第i人从事第j项工作，产生价值A251522B312019C352417或描述三人从事各项工作所产生的价值，也揭示了价值随个人变化的情况【例1.1.2】线性方程组，未知数的系数按原顺序构成矩形表格（3行4列）未知数系数和常数项也可构成一个矩形表格（3行5列）该表格决定着给定的方程组是否有解、有多少解、解是什么【例3】通信网络联系信息：1点与有通信联系；0无通信联系 其它应用：学生成绩登记表、产量统计表等.【例】（补）平面上的点可

5、表为行向量或列向量。(二) 定义【定义1】由mn个数排成一个m行n列的矩形数表，称为mn矩阵或m行n列矩阵，简称矩阵。横排称为矩阵的行，纵排称为矩阵的列。称为矩阵的第i行第j列元（或元素），或(i, j)元。记为A, B, 等（或，或A或）。矩阵的行、列矩阵的元（或称元素）(三) 特殊矩阵实矩阵元素都为实数的矩阵。复矩阵元素都为复数的矩阵。零矩阵元素全为零的矩阵，记为或0。列矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵（或列向量）。行矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵（或行向量）。也记作A。向量的其它表示：向量可用小写字母a，b，表示（用粗体）。一阶矩阵即mn1，记为（a）或a，后边一阶矩阵和一个数不加区别。(四)

6、 其它概念方阵当行数等于列数（mn）时，称为n阶矩阵或n阶方阵。对角线设A为方阵，则从左上角到右下角的对角线称为A的主对角线；从右上角到左下角的对角线称为A的次对角线（或副对角线）。主对角线元主对角线相应的元素称为主对角线元。1. 1. 2 几种特殊矩阵(一) 三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵：称主对角线以下的元素全为零的方阵为上三角矩阵，主对角线以上的元素全为零的方阵为下三角矩阵。二者统称三角矩阵。(二) 对角矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，记为或。对角矩阵中未写出的元素表示零元素。对角阵也可表示为或。(三) 单位矩阵单位阵：主对角线上全为1的n阶对角矩阵称为n阶单位阵，记作、

7、或E、I。(四) 矩阵的关系同型矩阵：指行数与列数分别相等的两个矩阵。矩阵的相等：设矩阵A与B同型且对应元素相等，则称A与B相等，记作AB。即AB，i1, 2, , m；j1 ,2, , n说明：矩阵相等的要素：二者同型；对应元素相等。(五) 线性变换实际问题要求将一些变量用另外一些变量线性表示，如 （1.1）称此关系式为从变量到变量的线性变换。式（1.1）的系数按其原来的相对位置确定一个矩阵，称为线性变换的系数矩阵。线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系。可用矩阵研究线性变换，也可以用线性变换研究矩阵。1.2 矩阵的运算1. 2. 1 矩阵的加法与数乘(一) 运算【定义1.2】两个同型矩阵与

8、的和记作AB，定义为【定义1.3】数k与矩阵的乘积，简称数乘，记作kA或Ak，定义为矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算。线性运算的优先级：先数乘，后加减，矩阵的负矩阵记作A，定义为矩阵与的减法记为AB，定义为ABA(B)即AB(二) 运算定律矩阵的线性运算满足下列运算规律：（1） 交换律：ABBA（2） 结合律：(AB)CA(BC)（3） A0A（4） A(A)0（5） 1AA（6）（7） 分配律：（8） 分配律：(三) 例【例1】设矩阵，求2A3B。（解）2A3B231. 2. 2 矩阵的乘法(一) 背景矩阵乘法是出于研究线性方程组和线性变换的乘法的需要建立起来的。设有两个线性变换：从到的

9、变换 （1.2）和从到的变换 （1.3）欲求由到的线性变换，将式（1.3）代入式（1.2），得 （1.4）称为线性变换（1.2）与（1.3）的乘积。(二) 线性变换的矩阵表示将线性变换（1.2）、（1.3）和（1.4）右端系数分别用矩阵表示A，B，C由此得A、B 、C的元素之间的关系：，即C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。(三) 矩阵乘法定义【定义3】设矩阵是一个矩阵，是一个矩阵，定义A与B的乘积是一个矩阵，记为CAB。其中 说明：（1） 由定义知，两个矩阵之积也是一个矩阵，其行数等于左边矩阵之行数，列数等于右边矩阵之列数。（2） 乘积的第i行第j列处元素等于乘积

10、中左（边）矩阵第i行元素与右（边）矩阵第j列对应元素乘积之和。（3） 两个矩阵可以相乘的必要条件是左矩阵的列数等于右矩阵的行数。优先级：先数乘或乘，后加减。(四) 例【例2】求矩阵A与B的乘积AB。（解）判断可乘性：A的行数等于B的列数，可以相乘。其乘积为32矩阵。由定义AB【例3】已知矩阵A与B，求AB与BA。（解）由定义ABBA【例4】设矩阵A与B，求AB与BA。（解）由定义AB()BA【例】（补）求矩阵A与B的乘积AB。（解）判断可乘性：A的行数等于B的列数，可以相乘。其乘积为22矩阵。由定义AB【例】（补）求上例中矩阵A与B的乘积BA。（解）判断可乘性：B的行数等于A的列数，可以相乘。

11、其乘积为33矩阵。由定义AB注意：（1） 矩阵乘法一般不满足交换律。即在一般情况下，ABBA。原因：AB有意义，BA未必有意义（如例2）；AB与BA都有意义，但二者的行列数未必相同（如例4）；二者的行列数相同，但未必有ABBA（如例3）。例如，矩阵乘法有意义，没有意义。（2） 两个非零矩阵之积可能是零矩阵（如例3）。即在一般情况下，由AB0不能得到A0或B0的结论。（3） 当A0时，由ABAC不能推出BC。例如若ABBA，则称A、B可交换。阶单位阵E与任何n阶矩阵乘法可交换。【例】（补）求与矩阵A可交换的矩阵。（解）设与A可交换的矩阵为X，计算AXXA由AX XA知，由此得方程组 即 解之得

12、，其中、为任意常数即所求矩阵为 乘法运算规律：（1） 结合律： (AB)CA(BC)（2） 分配律：A(BC)ABAC，(BC)ABACA（3） (AB)(A)BA(B)，其中为常数（4）（证）分配律：设，则由定义故A(BC)ABAC。(五) 线性方程组的矩阵表示线性方程组 （*）的矩阵表示方式为AxB （*）其中注意：式（*）与（*）表示的内容或含义相同，但严格讲二者的形式和表面意义并不相同。因为（*）式表示的是两个相等的矩阵：【例】线性方程组可表为矩阵形式AxB其中A，x，B1. 2. 3 方阵的幂与多项式(一) 方阵的幂定义：A为n阶方阵，k为正整数，A的k次幂定义为 约定：E运算规律：

13、（1）（2）（3）若矩阵A与B可交换，则有；一般情形下，【例5】。（解） 所以(二) 方阵的多项式为x的m次多项式，称为n阶方阵A的m次多项式，记为f(A)。【例6】。（解）0说明：（1） 同一矩阵A的两个多项式f(A)与g(A)的乘法是可交换的。（2） 矩阵A的任意两个多项式可以像x的多项式一样相乘。（3） 方阵A的多项式f(A)也可像x的多项式f(x)一样分解因式。【例】f(x) x2，g(x)x3。则f(A) g(A)(A2E)(A3E)A6E【例】设f(A)E，则f(A)可分解为f(A)(AE)(AE)(三) 矩阵的多项式展开若ABBA，则可按二项式展开，即特别 1. 2. 4 矩阵的转置(一) 定义【定义4】把