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1、第九届全国建筑工程计算机应用学术会议论文集 黑龙江 哈尔滨 1 9 9 8 弹性地基梁单元刚度矩阵及固端内力的求解方法 舒 宣 武 ( 华南理工大学建筑设计研究院) 【 摘要】 本文引进弹性地基梁单 元特性矩阵和积分常数矩阵的 概念，提出了一种计算 弹性地荃梁单元 刚度矩阵的 方法以及求其上作用均布荷载的固端内力的方法，并给出了 相应的F O R T R A N语言程序。 本 文给出的计算机程序，可直接用于有限元的结构分析程序中。 一、 引言 弹性地基梁的 解析解法和实 用的计算表格在很多文献中都有详细的 介绍 1 。 不过， 这 种解法只适用于手算， 且计算工 作量很大， 解题范围有限。 若
2、要对任意弹性地基梁系进行 结构分析， 特别是考虑地基基础同 上部结构 共同作用时，用查 表的方法进行计算是 根本行 不通的。 如果能象一般有限元法一样， 用简便的方法得到弹性地基梁单 元的单元刚度矩阵， 问题就迎刃而解了。 本文给出了文克尔( Wi n k l e r )弹性地基梁单元刚度矩阵以 及其上作用均布荷载的固 端 内力的实用算法，并用 F O R T R A N语言编写了程序。上机计算表明，效果很好。 二、弹性地基梁的单元刚度矩阵 图1弹性地基梁单元 弹性地基梁单元如图1 所示， 其刚度矩阵 K 定义为: 、!十!1 1，、4 厂一 leseseseslesesesllJ 14243
3、444 .尤kkk .尤kkk 气暇札札 仁气凡气 一一 llsewel、tolJ 戈从丛凡 Ilwell了1 或 A = 幻 A 文克 尔地基上的弹性地基梁挠曲 微分方 程为 【 1 第九届全国建筑工程计算机应用学术会议论文集 黑龙江 哈尔滨 1 9 9 8 d “ y ( x ) 十 dc 4 刀 4 Y ( x ) = 0 上式中 、 一 n 4 E1 一 kBa 4 E1 abC刁U 仁Jlf气J 为弹性地基梁的柔度特征值， 其中， 集中基床系数。 式 2的解可写成如 厂 形式: Y ( x ) = 艺 a , H , (ft c ) 上式中， 拭( 口= o f s in k 从(
4、动= e e c o s h 丛( 动= e s in k 风( 动= e - f c o s h 式4 中的 积分常数a , , a 2 , a s , Y ( 0 ) = ， 。 = 艺a ; H ; ( 0 ) Y ,( 0 ) 一 Y o = 艺a ; H ,( 0 ) Y ( l) = ， ， = 艺a ; H i ( Q 1 ) Y V ) = Y r = 艺a ; H ,(,6 1 ) k 为地基土的基床系数，B 为基 础底板宽，K = k B为 a , 可 利 用以 下 边界 条 件 求 得 记 玛= l y , a 二 a , a , 【 闭 拭( 0 ) H , ( 0 )
5、 H , ( /3 l ) H l ( /6 l ) Y o Y , Y W a 3 a 4 IT 从 ( 0 ) 从 ( 0 ) 姚 ( 0 ) 拭( 0 ) H _ ( 尽 ) H , ( 月 ) H , ( P I ) H s ( 尽 ) H , (0 ) ( H 4 () 一 H 4 ( /J l) H 石 ( 解) l4 则式 6可写成 玛【 川 a 上式中，令t 乃分别为: 毛 K = i0 0 0 I ! _a 一| 鱼九 局 全 国 建 筑 工 程 计 算 机 应 用 学 术 会 议 论 文 集一 , 兰1坚竺 A 1 9 9 8 Y = 0 1 0 0 T I L b 笼 兀
6、 = 0 0 1 0 T I l.c Y = 0 0 0 1 T I l .d 相应的积分常数及挠曲线分别为: ( a ; = a le a 2 ; a 3i a 4j 7 j = 1 ,2 ,3 ,4 1 2 Y j ( x ) = 艺 a H ,. ( # z ) j = 1 ,2 ,3 , 4 Y ,( Y ) 为 单 位 移 ( ， = 1 )作 用 下 的 挠 曲 线 。 记 刁.leseseseseseseses.esesesJ 14243444 aaaa 干。 a LA ， 一 ta ll a 2 1 “ “ ta a11 = 1 L a I I a 1 2 a 1 3 1刁内j
7、，刁 ，、4 aaa ，户，乙气 、适气、孟马 aaa 21 3 1 d基 则由式 1 0, 1 1 及 1 4 可得: Y Y 2 Y 3 Y 4 = I = 川 A 1 5 由式 3 、4 , 5 、9 可以 看出，1 闭仅与梁的刚度E l ,梁长1 及集中 基床系数x ( 或 k B) 有关， 称为弹性地基梁单元的单元 特征矩阵，简称特性矩阵。州 伪 弹性地基梁在四 个独立单位位移作用下的积分常数矩阵，简称积分常数矩阵。 从式 巧可以 看出， 特性矩阵 闭与积分常数矩阵A 互为逆矩阵。 对于 弹性地基梁， 特 性矩阵 H 的逆矩阵 积分常数矩阵 A 总是存在的。 积 分 常 数 矩 阵
8、A 求 出 后 ， 四 个 独 立 单 位 位 移 作 用 下 的 挠 曲 线 Y , ( x ) 即 为 己 知 ， 因 而 可 利用 公式 Icl，一 : (0) = E I d 3 3x)一二 一 。， k2， 一 M ; (0， = - E l d 2Y i(x)dx2 一二 = 。 kji一 : (1) = 一 EI 3Y (x)dx3 一二 二 ， ki 一 、 (1)= E I d y, (x)dX 2 二 一 ， i =1 ,2 马， 4 i =1 ,2 , 3 , 4 1 6 a 1 6 b i =1 ,2 , 3 , 4 1 6 c i =1 ,2 , 3 , 41 6 d
9、 求 出 式1 中 刚 度 矩 阵 的 各 元 素 k u a 三、弹性地基梁上作用均布荷载的固端内力 所谓固端内力是指在外荷载作用下，杆端位移为零时的杆件内力。 梁上作用均布荷载的弹性地基梁单元如图 2 所示，其挠曲微分方程为: 第九届全国建筑工程计算机应用学术会议论文集 黑龙江 哈尔滨 1 9 9 8 d a y ( x ) d x 十 4 尸 y ( x ) = 一 各 已1 I 图2作用均布荷载的弹性地基梁单元 式 1 7的解为: y ( x ) = 艺a ;H ( f x ) - 9 4 E 岁 根据边界条件y ( 0 ) 二Y ( 0 ) 二 Y ( 1 ) =Y ( 1 ) =0
10、 ，可得: Y-a ;H , ( 0 ) = 9 4 E I f 0 1 9 a gbgcgd 一刀 卫E1 i =t 写成矩阵的形式，有: 【 川 ( a ) = Q 因而有: a ) = 式中， Q 二 H - ( Q 二 A l Q ) 9 4 E I f 1 0 1 O l 求出 时后;Y ( X ) 为已知，则 有: M( x ) =E I d y ( x ) d x , d y ( x ) Vt x1 = 乙1 一 一 宁了一 dx 2 3 a 2 3 b 四、计算机程序 产生弹性地基梁单元刚 度矩阵以 及求均布荷载作用下固端内力 的 F O R T R A N源程序 如下: 第
11、九届全国 建筑工程计算机应用学术会议论文 集 黑龙江哈尔4 1 9 9 8 F UN C T I O N HI ( X) H1 = E X P ( X) * S I N ( X) END F U N C T I O N H 2 ( X) H2 = E X P (X) * C O S (X) E N D F U N C T I O N H3 ( X) H3 = E X P ( - X) * S I N(X) N D F U N C T I O N H4 ( X ) H4 = E X P ( - X) * C O S ( X) E N D E ND S U B R O U T I N E G E
12、1 泣 H K ( A K O , E i I, A L , : H ,A K ,B T ) DIME NS I O N H ( 4 ,4 ) , A K ( 4 , 4 ) C A L L GE T H L I : ( A K O , E I ,A L , H , B T , B L ) Z E R O. DO 1 = 1 ,4 A K ( I , I 卜 2 . * B T * * 3 * ( H ( 1 ,1 )* 二 H 2 T ( Z E R O ) - H ( 2 , 1 ) * HI T ( Z E R O) : H ( 3 , 1 ) * H 4 T ( Z E RO ) +
13、H ( 4 . I ) * : H 3 T ( Z E R O) ) * E I 招49505152犯弘5556豹585960616263 1胜，血， j络心Jr幻月了内目0矛 nU1，一 J，且1 4气6闷J. 乙曰66 F UN C T I O N HI T ( X ) HI T 司1 2 ( X ) + 川( X ) END F UN C T I O N H 2 T ( X ) H 2 T = H2 ( X ) - HI ( X) E N D F UN C T I O N H 3 T ( X) H 3 T = H4 ( X ) - H 3 ( X ) E ND F UN C T ION
14、H 4 T ( X ) H 4 T = - H4 ( X ) - H3 ( X) E N D AK ( 2 , 1 ) =2 . * B T * * 2 * ( H ( I , I ) * t1 2 (Z E R O ) - H( 2 ,1 ) * HI ( Z E R O ) “ H ( 3 , I ) * H4 ( Z E R O ) + H ( 4 , 1) * 1 1 3 ( Z E R O) * E I AK ( 3 , 1 )= - 2 .* 1 3 T * * 3 * ( H ( l , l ) * H 2 T ( B L ) - H ( 2 , 1 ) * HI T ( B L
15、 ) “ H ( 3 ,1 ) * H4 T ( B L 卜H( 4 ,1 ) * H 3 T ( B L ) ) * E I S UB R O U T I N E GE T H L I ( 八 K 0 , E I, A L , H , B T , B L ) D I ME NS I O N H ( 4 ,4 ) B T = S QR T ( S Q R T ( ( 0 .2 5 * A K O / E l) ) ) Z E R O -0 B L = B T + A L H ( 1 , 1 ) = HI ( Z E R O ) H ( 1 ,2 ) = H 2 ( Z E R O ) H ( 1 , 3 ) = H 3 ( Z E R O ) H ( 1 ,4 ) = H 4 ( Z E R O ) H ( 2 , 1 ) = B T * H I T ( Z E RO ) H ( 2 , 2 ) = B T * H 2 T ( Z E RO ) H ( 2 ,3 )= B T * H 3 T ( Z E R O) H( 2 ,4 卜B T * H 4 T ( Z E R O) H ( 3 , 1 卜HI
