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1、,知能整合提升,一、变化率与导数 1函数的变化率 (1)相关概念,(2)有关说明 瞬时变化率是平均变化率的极限 函数变化率的绝对值的大小说明了函数增减的快慢：绝对值越大，函数增减得越快；从图象上看表现为曲线的陡缓程度：绝对值越大，图象越陡,三、函数的单调性与导数 1导数与函数单调性的定义 函数yf(x)在某个区间(a，b)内可导，若f(x)0，则yf(x)在这个区间内单调递增；若f(x)0，则yf(x)在这个区间内单调递减 2讨论函数单调性应注意的问题 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间,(2)一
2、般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间 (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间之间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开 (4)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件例如，f(x)x3.,(5)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数函数如f(x)3，则f(x)30. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想 (7)若在某区间上有有限个点使f(x)0，在其余的点恒有f(x)0，则f(x)在该区间
3、上仍为增函数,四、函数的极值、最值与导数 1可导函数的极值 (1)定义 设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点x都有f(x0)f(x)(或f(x0)f(x)，则称f(x0)为函数的一个极大(小)值，称x0为极大(小)值点,(2)极值中的几个注意问题 可导函数的极值点一定是其导数为0的点；反之，导数为0的点不一定是该函数的极值点，所以导数为0的点是该点为极值点的必要条件，其充分条件还需要再添加“该点两侧的导数异号”举例如下： 导数为0的点是极值点：f(x)x2，f(0)0，x0是极小值点； 导数为0的点不是极值点：f(x)x3，f(0)0，x0不是极值点,五、生活中的优化问题举例
4、 1导数在实际生活中的应用主要有以下几个方面 (1)与几何有关的最值问题(面积和体积等的最值)； (2)与物理学有关的最值问题(功和功率等的最值)； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题,2解决优化问题的一般思路,(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，做出正确的判断，确定其答案,热点考点例析,导数的几何意义的应用,【点拨】 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞
5、清所给的点是不是切点常见类型有两种：一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”；这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得,y0y1f(x1)(x0x1) (1) 又y1f(x1) (2) 由(1)，(2)求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程,已知函数f(x)x3x16. (1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程； (2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标,规范解答 (1)可判定
6、点(2，6)在曲线yf(x)上 f(x)(x3x16)3x21， f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13. 切线的方程为 y13(x2)(6)，即y13x32.,【点拨】 导数与函数的单调性相结合的常见问题： (1)判断单调性； (2)求函数的单调区间； (3)已知单调性，求参数的值 特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能用“”连接 (2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理,利用导数研究函数单调性,已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR) (1)当a2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围 思维点击
7、利用导数求解，注意(1)(2)两问求解的区别,2求函数yx33x1的单调区间 解析： y3x23 解3x230得x1或x1. 解3x230得1x1. 函数yx33x1的单调增区间为(，1)和(1，)，单调减区间为(1,1),【点拨】 利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用 1应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求方程f(x)0的根； (3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点,利用导数研究函数的极值和最值,2求函数f(x)在闭区
8、间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)中得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值 特别地，当f(x)在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(，),(2)x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,【点拨】 1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法： (1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的因变
9、量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域 (2)求f(x)，令f(x)0，得出所有实数解 (3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值,利用导数解决生活中的优化问题,2利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去 (2)在实际问题中，由f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值,思维点击,1如果一个函数的瞬时变化率
10、处处为0，则这个函数的图象是( ) A圆 B抛物线 C椭圆 D直线 解析： 函数的瞬时变化率处处为0，说明函数的导数为0，即函数是一个常数函数，即yc(c为常数)，所以图象应为x轴或平行于x轴的直线 答案： D,2若对任意xR，f(x)3x2，f(1)2，则f(x)等于( ) Ax31 Bx31 Cx32 Dx32 解析： f(x)3x2，f(x)x3c(c为常数)；又f(1)2，c1，f(x)x31. 答案： B,3已知函数y(x1)2(x1)，则x1是函数的( ) A极大值点 B极小值点 C最小值点 D最大值点,答案： A,4函数yx2cos x的导数为( ) Ay2xcos xx2sin
11、 x Byx2cos x2xsin x Cy2xcos xx2sin x Dyxcos xx2sin x 解析： y(x2cos x)2xcos xx2(sin x) 2xcos xx2sin x. 答案： A,5方程x3x2xa0(aR)的实数根的个数为_ 解析： 设f(x)x3x2xa， 则f(x)3x22x10恒成立 f(x)在(，)上单调递增 f(x)0只有一个根 答案： 1,6函数f(x)x33x1在3,0上的最大值与最小值之和为_ 解析： f(x)3x233(x1)(x1) f(x)在3，1上递增，在1,0上递减 f(3)17，f(1)3，f(0)1 f(x)max3，f(x)mi
12、n17. 答案： 14,7已知函数f(x)x33x29xa. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值 解析： (1)f(x)3x26x93(x22x3)3(x3)(x1)，令f(x)3.所以函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，),(2)令f(x)0，因为x2,2，所以x1.当20.所以x1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在2,2上的最小值，即最小值为f(1)a5.又f(2)81218aa22，f(2)81218aa2.因为a22a2，所以函数f(x)在2,2上的最大值为f(2)a2220，所以a2.此时a57. 所以函数在该区间上的最小值为7.,8某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元) (1)写出y与x的函数关系式； (2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大,
