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1、等腰三角形的计算和证明问题专项练习1. 在ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使CPE=CAB，过点C作CFPE交PE的延长线于点F，交AB于点G.。（1）如果ACB=90，如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与CDG全等的一个三角形；如图2，当点P不与点A重合时，求的值；（2）如果CAB=a，如图3，请直接写出的值.（用含的式子表示） 图1 图2 图32. 在等边ABC外侧作直线，点关于直线的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线于点E。（1）依题意补全图1；（2）若PAB=30，求ACE的度数；（3
2、）如图2，若60PAB120，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明。3. 如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转角得到线段BP，连接PA，PC，过点P作PDAC于点D。（1）如图1，若=60，求DPC的度数；（2）如图2，若=30，直接写出DPC的度数；（3）如图3，若=150，依题意补全图，并求DPC的度数。4. 如图1，在中，AB=AC，ABC =，D是BC边上一点，以AD为边作，使AE=AD，+=180。（1）直接写出ADE的度数（用含的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD
3、=CD；如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF。图1 图2 图3等腰三角形的计算和证明问题专项练习参考答案1. 解：（1）作图如下：（或）过点P作交于点，交于点，CPE=CAB，CPE=CPN，CPE=FPN。，PFC=PFN=90。PF=PF，。由得：，。（2）。2. 解：（1）补全图形，如图1所示。（2）连接AD，如图2。点D与点B关于直线AP对称，AD=AB，DAP = BAP=30。AB=AC， BAC=60。AD=AC， DAC=120。2ACE+60+60=180，ACE=30（3）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60角的三角形。证明如下：连接AD，EB，如图3。点D与
4、点B关于直线AP对称，AD=AB，DE=BE，可证得EDA=EBA。AB=AC，AB=AD。AD=AC， ADE= ACE。ABE= ACE.设AC，BE交于点F，又AFB=CFE。BAC=BEC=60。线段AB，CE，ED可以构成一个含有60角的三角形。3. 解：（1）边BA绕点B顺时针旋转角得到线段BP，BA= BP，=60，ABP是等边三角形， BAP=60，AP= AC，又BAC=90，PAC=30，ACP=75，PDAC于点D，DPC=15。（2）75。（3）画图如下：过点A作AEBP于点E。AEB=90，ABP=150，1=30，BAE=60，又BA= BP，2=3=15，PAE=75，BAC=90，4=75，PAE=4，PDAC于点D，AEP=ADP =90，APEAPD，AE= AD，在RtABE中，1=30，又AB=AC，AD=CD，又ADP=CDP=90， ADPCDP，DCP=4=75，DPC=154.（1）ADE =。（2）证明：四边形ABFE是平行四边形，ABEF。 由（1）知，ADE =，。ADBC。AB=AC，BD=CD。证明：AB=AC，ABC =，。四边形ABFE是平行四边形，AEBF， AE=BF。由（1）知，。AD=CD。AD=AE=BF，BF=CD。BD=CF。 6
