《江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题06三角形中的不等问题与最值问题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题06三角形中的不等问题与最值问题含解析（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、问题6 三角形中的不等问题与最值问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.二、经验分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为这一限制条件(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围三、知识拓展(1)若ABC是锐角三角形,则,、(2)若ABC中,若A是锐角,则；若A是钝角,则(3) ABC中,若,则, , =.(4)
2、若成等差数列,则.四、题型分析(一) 角或角的三角函数的范围或最值【例1】【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟】在中，若，则的最大值为_.【答案】【分析】先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.【解析】在ABC中，有,所以=,当即时取等.故答案为：【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.【小试牛刀】【2018江苏省南京市多校第一次段考】在中，角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的最小值是_【答案】【解析】， ， , , 当且仅当时成立.(二) 边的范围或最值【例2】在中,若,点
3、,分别是,的中点,则的取值范围为 【分析】先得出,设,转化为函数求值域.【解析】设分别是的中点, 所以由正弦定理得,设,结合,由可得.,故答案为.【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有 配方法；换元法；不等式法；图象法；函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将表示为关于的函数,再根据方法解答的.【小试牛刀】【江苏省如皋中学2018-2019学年高三第一学期期中】某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉
4、，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏（1）若当时，求此时的值；（2）设，且（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，即（2）（i）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即又，解得，所以所求关系式为，（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值在中，由余弦定理可得，因为的最大值不小于，所以，解得，经验证知，所以即两处喷泉间距离的最小值为 (三) 周长的范围或最值【例3】在锐角中, ,.（1）若的面积等于,求、；（2）求的周
5、长的取值范围.【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可【解析】（1）由及正弦定理得：,又,.又为锐角,故,又, 由得,所以由解得.（2）由正弦定理得, ,记周长为,则,又,为锐角三角形, .【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.【小试牛刀】中,角、所对的边为、,且（1）求角；（2）若,求的周长的最大值【答案】（1）；（2）6【解析】（1）,解得（2）,周长, 当时,ABC的周长的最
6、大值为6 (四) 面积的范围与最值【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ中,POQ90,OP2,点M在线段PQ上(1)若,求PM的长；(2)若点N在线段MQ上,且MON30,问：当POM取何值时,OMN的面积最小？并求出面积的最小值【分析】第(1)题利用余弦定理求MP的长,难度不大；第(2)题求OMN的面积最小值,前面的要求也很明确：以POM为自变量,因此,本题的中点就是如何将OMN的面积表示为POM的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM和ON的长表示为POM的函数是关键.【解析】(1)在中, ,由余弦定理得, ,得, 解得或(2)设, ,在中,由正弦定理,得,所以, 同理
7、故因为, ,所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值即时,OMN的面积的最小值为【点评】面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面积公式,将其转化为同一类元素,然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解.【小试牛刀】【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考】如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼设扇形的半径，OB与OM之间的夹角为将图书馆底面矩形AB
8、CD的面积S表示成的函数若，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？精确到【解析】由题意可知，点M为的中点，所以设OM于BC的交点为F，则，所以，因为，则所以当，即时，S有最大值故当时，矩形ABCD的面积S有最大值(五) 与其它知识点的综合问题【例5】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知的周长为6，且成等比数列，则的取值范围是_【答案】【解析】因为成等比数列，所以，从而，所以，又，即，解得，故.【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既
9、快又准的解决问题.【小试牛刀】如图,已知平面上直线,分别是,上的动点,是,之间的一定点,到的距离,到的距离,三内角、所对边分别为,且.（）判断的形状；（）记, ,求的最大值.【答案】（）是直角三角形；（）的最大值为.【解析】（I）由正弦定理得：,集合,得,又,所以,且,所以,所以是直角三角形； （II）,由（I）得,则, ,所以时,的最大值为.五、迁移运用1【江苏省如皋市2018-2019学年高三年级第一学期期末】在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是_【答案】6【解析】根据题意，已知，由余弦定理得，化简得 由正弦定理： 即（正弦平方差）整理可得： 即 设因为
10、为锐角三角形，所以 此时即 所以= 令当，f(x)递增；当，f(x)递减；所以 故的最小值是6故答案为62【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为_【答案】【解析】由正弦定理，得：，如图，作BDAC于D，设ADx，CDy，BDh，因为，所以，化简，得：，解得：x3y，当且仅当时取得最小值.故答案为：.3【江苏省南京市13校2019届高三12月联合调研】已知的三边长，成等差数列，且，则实数的取值范围是_.【答案】 .【解析】【解析】设公差为d，则有abd，cb+d，代入a2+b2+c263，化简可得3b2
11、+2d263，当d0时，b有最大值为 ，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+bc，整理得：b2d，可得：3b2+2（）263，解得：b3 ，则实数b的取值范围是（3，故答案为：（3，4【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为_.【答案】【解析】由题得,所以,所以因为所以 故答案为：5【江苏省镇江市2019届高三上学期期中】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4(tanAtanB)，则cosC的最小值为_【答案】【解析】4（tanA+tanB）= 则4（sinAcosB+cosAsinB）=
12、sinA+sinB，即4sin（A+B）=sinA+sinB，又A+B=C，4sinC=sinA+sinB，由正弦定理得，4c=a+b由余弦定理得cosC=,4c=a+b，cosC=，cosC的最小值为故答案为：6【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_【答案】【解析】根据D为AB的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以 ，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.7【江苏省扬州中学2019届高三10月月考】在中，若则的最大值为_.【答案】【解析】已知等式即 ，即可得，即，即 所
13、以，sinA故答案为：8【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中】设的内角的对边分别是,D为的中点,若且,则面积的最大值是_【答案】【解析】因为,所以,即,即,即,又因为D为的中点,且,所以,即,即,则,则面积的最大值是9【百校联盟2018届TOP20一月联考】中，角的对边分别为，若， ，则外接圆面积的最小值为_【答案】【解析】由条件及正弦定理得，整理得在中，由余弦定理得，当且仅当时等号成立设外接圆的半径为，则，故故外接圆面积的最小值为答案： 10【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若不等式对任意都成立，则实数的最小值为_【答案】100【解析】由正弦定理得 因此 ，即的最小值为10011【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】在中， 分别为内角的对边，则面积的最大值为_【答案】【解析】，,由余弦定理得，即。又，2.由余弦定理的推论得，当且仅当时等号成立。面积的最大值为。12【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】在中，角所对的边分别为，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是_【答案】【解析】由正弦定理得：,由降幂公式得，再结合和差化积得： 在三角形中得,所以,由三角形为锐角三角形得：,而，令，函数在递减，所以，故填.13【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】在中，角所对的边分别为向量，且（1）若，求角的值；（
