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1、左手媒质中瞬时电磁波传播的时间因果性研究 崔铁军1孔金瓯2 ( 1 东南大学，2 浙江大学) 摘要：自从左手媒质的概念提出以来，时间因果性成为人们理解左手媒质的一个关注点 通过对一个一维瞬时电流源在左手媒质中电磁辐射的严格分析，本文研究了三种随频率耗散方式 不同的左手媒质中的电磁波传播的时问因果性数值实验结果表明：若左手媒质在整个频带或在 某个频带是均匀的和非耗散的，那么它将违背时间因果性，但这样的左手媒质是不存在的；若左 手媒质是人工合成的，随频率耗散的f R S h e l b y ，& R S m i t h ，a n ds S c h u l t z ，S c i e n c e2 9
2、 2 。7 7 ( 2 0 0 1 ) 】，那么它将不违背时间因果性。 一、引言 自1 9 6 8 年V e s e l a g o 提出介电常数和磁导率均为负数的左手媒质概念以来【1 】，左手媒质在理 论、实验和应用方面引起了人们极大的关注【2 1 0 1 。左手媒质的一个重要特性是它的负折射率，电 磁波的相速指向源的方向。因此，人们质疑这种介质是不是违背了时间因果性【6 】。 以前对左手媒质的研究集中在频域，因此不存在时间因果性的问题【1 - 1 6 1 。但在时域，负折射 率就可能使瞬时激励产生因果性问题。于是人们不得不问：左手媒质究竟会不会违背时间因果性? 本文试图通过对一维瞬态电流源
3、在左手媒质中辐射情况的精确分析，回答这个问题。结果表明： 若左手媒质整个频带或某一频带是非耗散的，那么它将违背时间因果性；若左手媒质是人造的、 随频率耗散的f 5 】，那么它将不违背时间因果性。 二、左手媒质中瞬时电流源的功率流 为了解释均匀左手媒质中电磁波的传播，本文考虑了一个一维问题， 如图1 所示。电流密度是一正弦信号： J ，( 乙f ) = 妣万( z ) c o s 甜 解一维H e l m h o l t z 方程得到频域中的电场： 故z ，国) = 一：铷o J o P 删 其中甩= 以是折射率，一和是相对磁导率和介电常数， 铂= 1 2 0 x ( o h m s ) 是由空
4、间的波阻抗。从麦克斯韦方程可解得磁场： 敝z ，砷= 曼妻s g n ( z ) J o g 喇 电流源在无限大平面上， ( 1 ) k 是自由空间的波数； 其中s g n ( z ) 是符号函数，当z o 时为1 ，z o 时为- 1 。由于电流源只包含一个频率，可直 接写出时域中的电场和磁场： 图1 左手媒质中一个无限大的均匀面电流源和垂直于面电流源的一个封闭柱面 E ( 硝) = 一夕笔吼厶c 。s ( 以小耐) i - i ( z ，f ) = 曼1 2s g n ( z ) J o c 。s ( 玎七H 一耐) 坡印亭矢量s = E H ( W a t t s m e t e r 2
5、 ) 为 ( 5 ) s = 三s g n ( z ，石J r J y 。2C O S 2 ( 础卅纠) ( 6 ) 它表示功率流密度。沿封闭曲面S 对它积分，得到单位时间内流出的能量尸。 考虑如图1 所示的封闭柱体表面s ，柱体位于z 卜气，Z o 】，横截面积是1 。流出s 面的总功 率是 P = f ( E H ) h d S ( 7 ) = 石r = t ，r 。2C O S 2 ( 力k z o 一耐) ( 8 ) Z 门 。 其中h 是曲面S 的外法向单位矢量。从( 8 ) 看出，为了保证功率流是正数，左手媒质中的折 射率拧必须取负数。于是，相速的方向指向源，而坡印亭矢量的方向背向
6、源。当激励是正弦信号 时，如( 1 ) 式，时间因果性不会被违背，因为激励信号覆盖了整个时间轴。 与正弦信号不同，高斯脉冲仅包含一段频谱。考虑电流源是如下定义的高斯脉冲： J ，( Z , t ) = 虬占( Z ) t o f ( t - t o ) ( 9 ) = 虬万( z ) 瓦1 F ( 国) P 枷如0 0 ) g 中f ( t ) 高斯函数的导数，F ( 国) 是F o u r i e r 变换 s 0 ) 2 ，( 。) 一詈岍“e 从f 2 ) 和( 3 ) 式可直接写山频域中的电融场： 。) 一，告 F ( 。) e 4 瞰M ) = i ；w ( = ) a o F (
7、m ) e 。 瞬时电碰场可经过F o u r i er 变换得到： ( E ，H ) ( “) 2 去E ( ( z ，。) e 。 当左手姘质是非耗敞时，时域中的电场利磁场都具有解忻t 7 ： E ( ) = 一篆 ，。巾一I I c ) H ( ：，。) = j ；咿( ：) 山，。，( ，一一”k I c ) 其中c 是自由空间中的光连。丁是流出曲面S 的总功率流为 P = 惫q 胤j 1 0 - , o - m n f c l ( 1 1 ) ( 1 2 ) 这显然是正数。当左手媒质随判率耗敞时，只能利刚( 7 ) 式和( 1 3 ) 计算功率流 1 4 、 1 5 ) 三，数值试验
8、与因果性研究 首先观察在频率是l O G H z 幅度是】，州的正弦电流源激励F 流出柱体表断的总功率。图2 给出 了1 0 G H z 时在日 域中的功率流，介质分别是自由空间( e ，= n = I ) 和左手媒质( = “= 1 ) 。 这里，柱体上表面和源Z 间的距离Z o 从0 变化到1 2 0 r a m 。肌图2 可舌到，自由空间中相述是正 数( 功率线的斜率) ，左手媒质中相速是负数。对丁正弦激励时域和频域的分析是等价的，不存 在因果性问题，因为正弦电流源覆篙了整个时问轴。 qP o I m W l”0P 口岬( m W l 囝2 在时域自m d s 【】勺总功率施。 目；自m
9、 目* a ，m 窑岛m 察“f 的目目 * Mm # m $ n 一EEiDi4口 但是当撤励电流是高斯脉冲时，非耗敞左手媒质就会违背时问田果性。高斯脉冲及其频谱如 图3 所示。其中， = l 蒯，a = 1 0 z x 2 G H z ，。= 5 9 1 5 6 7 p s ：频谱的峰值出现在1 0 G 胁处， 到5 67 7 7 G H z 时幅值降至1 0 。 目4 在目十域自m 女s 的总功牢流。 t 目：自自空目情R ，不违背时间目性圈：& 媒质情n ，违* H 目目* * 但是非耗敞左手媒质是不存在的。为了考察耗敞对时间因果性的影响，我们首先考虑简单的 随频率耗散的左手媒质当心!
10、 q 时= 蜱1 当n ，q 蛾时= 一= 1 。对 j J 这种左手蝶质，使用( 1 1 ) 一( 1 3 ) 式训算电酲i 场帛J 功率流。图5 给出了具有8 G 胁( 正= 6 G H z 2 1 4 G H z ) 希1 2 G H z ( 工= I O G H z - L = 1 2 G H z ) 带宽的简单耗散左手j j 质中的功率流。 k 淑 飞、 。 、x 7 、，。 ， 竺： 目5 简 耗敞左 嫘质十“”空# 自流m 表面s 的总功事流。 & 目8 G H z * 宽镕1 F 目R # 自m 月n 自应l 自目2 G H z * 宽镕i H - q 忡自日十目性喃。 从围5
11、 可看出，简单耗敞左手媒质中的功率流分成了两个部分：一部分向止时问轴方向移动 是因果的，另一部分向负时间轴方向移动，是非因果的。在8 G 胁带宽时，非困粜的部分强，因 果的部分，见左罔：在2 G H z 带宽时，非冈果的部分显著弱于冈果的部分，在右目中较难观察到。 尽管功率流中非因果的部分显著弱于因果的部分但非因果的部分确实是存在的。为了更湍 楚地看到非田果的部分，数值实验叉给出了从一3 0 0 p s 到0 流出z = 3 0 r a m 处横截面的功率，如 图6 所示( 实线) 。这里，功率流非固_ 粜部分的蛀大值比因果部分的蛀大值约为31 当左手频 带减至I G H z ( 正= I O
12、 G H z ，正= 1 I G H z ) 时，非因果部分更弱了，见图5 的虚线。尽管带宽 越小，非因果的部分越微弱但它始终是存在的。做为对照，自由空问中丰日同时问段上的最大功 率流只有l5 x 1 0 州m W 。 吲6 简单耗敲& 手媒质在z 庐3 0m m 时的目H n $ 实线：2G H z 带宽线：1G H z 带宽。 通过上面的数值计算我们可以得出以下结论：若左手媒质在整个频段( 酬4 ) 或某一频段( 酗 5 ) 是非耗散的，它将违背时问因果性。世即使是简单耗散的窄带左手妣质也依然不存在。 臣 一!)oe S # _ D ElL，liL 由S h e l b y 等人【5 】提
13、出的人造左手媒质，其耗散关系应满足下式： 2 吒一8 毫 一十f o y H ：I 毒生。_ ( 1 8 ) 。一嘛。+ I q 这组关系式揭示了自然界中介电常数和磁导率与频率的关系，满足牛顿约束。其中8 k 和。 分g 是电场和磁场的谐振频率，和。分别是电场和磁场的等离子体频率，y 是攒耗因子。当 L 2 1 03 G H z ，= 1 28 G H z ，L = 1 00 5 G H z ，L = 1 09 5 G H z r = I O M H z 【研时，左 手媒质在时域中的功率流示于图7 中，其中非因果的部分完全消失。为了看清楚因果的和非因果 的部分，圈8 画出了在，；3 0 r a
14、 m 处正负时间轴上的功率流。变量使m - - 班精度使计算结果尽可能准 确。计算电场和磁场时积分误差设为1 0 _ 1 。 T i m t f p s ) 囤7 # 实左手媒质中在H 空# 自流H l & iS 的总功率流目m 完全符e 时问田性 在图8 中我们清楚地看到在人选左手媒质中，功率流中非因果的部分接近0 它雨l 因果的部 分比值约为1 0 “4 。如果频谱的最大值取为6 7 8 6 1 G H z ，被积项精确到1 0 “o ，积分误差取为1 0 “， 那么非因果部分的功率流的最大值就是2 1 0 “8 。因此可以认为如此微弱的非因果现象是由数值 计算误差遗成的。挽句话说，人造左
15、手媒质中的功率流是不存在非因果的部分的。作为对照，自 由空间中当t = 0 时功牢流的积分值是4 l x l 旷“m W ，而由解析式算出的结果是15 1 0 。2 m W 。 因此，人造左手媒质不违背时间凶果性。 一EElo_口口c_jo 图8 真实左手媒质中在z u = 3 0m m 时的时域功率流。 左图：正时间轴上的功率，满足时问因果性；右图：负时间轴上的功率，其中非因果性相应由数值误差造成。 更进一步，我们考虑8G J 磁带宽( 厶= 厶= 6 G H z ，厶= 厶= 1 4 G H z ，y - 1 0 M H z ) 人造左手媒质的情况。尽管宽带左手媒质现在还无法实现，但将来总
16、会被制造出来。图9 给出了 宽带左手媒质在z o = 3 0 肌加处的功率流，其中频谱的最大值是5 6 7 7 7 G 舷，积分误差是1 0 m 。 同样，积分精度越高，功率流中非因果部分的最大值就越小：也就是说非因果的现象是由数值计 算误差造成的。因此，宽带左手媒质也不违背时间因果性。 图8 宽频带( 8 G H z ) 真实左手媒质中在z o = 3 0m m 时的时域功率流 左图：正时间轴上的功率。满足时间因果性；右图：负时间轴上的功率，其中非因果性相应由数值误差造成。 四、结论 通过对一个一维的瞬时电流源在左手媒质中辐射场的精确分析及大量的数值计算，我们得到 如下结论：若左手媒质在整个频段或某一频段内是非耗散的，它将违背时间因果性；若左手媒质 是人造的、随频率耗散的且
