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1、第15章 轴对称图形与等腰三角形,15.3 等腰三角形,第3课时 等边三角形的性质 和判定,1,课堂讲解,等边三角形的性质 等边三角形的判定,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,1,知识点,等边三角形的性质,等边三角形的性质 1.定义：三边都相等的三角形是等边三角形 要点精析： (1)它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性 质；(2)它是特殊的等腰三角形，任意两边都可以作为腰，任意一 个角都可以作为顶角 2性质：(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角相 等，每一个内角都等于60.(3)等边三角形是轴对称图形，它有三 条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各
2、边上的高、中线、对 角的平分线重合，且长度相等,知1讲,知识点,例1 如图，ABC是等边三角形，D，E， F分别是三边AB，AC，BC上的点， 且DEAC，EFBC，DFAB， 计算DEF各个内角的度数,知1讲,导引：,要计算出DEF各个内角的度数，有两个途径， 即证DEF 为等边三角形或直接求各个内角 的度数，由垂直定义及等边三角形的性质，显然 直接求各个内角的度数较容易,知识点,解：因为ABC是等边三角形， 所以ABC60. 因为DEAC，EFBC，DFAB， 所以AEDEFCFDB90， 所以ADE90A906030， 所以EDF 180309060. 同理可得DEFEFD60. 即DE
3、F各个内角的度数都是60.,知1讲,（来自点拨）,总 结,知1讲,（来自点拨）,利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利 用等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都 为60的性质，找出要求角与已知角间的关系来进 行计算；有时还要结合全等图形等知识来解决,知1讲,例2 如图，已知ABC，BDE都是 等边三角形求证：AECD. 导引：要证AECD，可通过证分别含有AE，CD的两个三角形全等来实 现，即证ABECBD，所需条件可从等边三角形中去寻找 证明：ABC和BDE都是等边三角形， ABBC，BEBD，ABCDBE60. 在ABE与CBD中， ABECBD(SAS)AECD.,（来自点拨）,总
4、 结,知1讲,（来自点拨）,运用等边三角形性质证明线段相等的方法：把 要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等 边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形 的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三 条边相等、三线合一是隐含的已知条件,知1讲,例3 如图，ABC是等边三角形，分别延长AB至点F，BC至点D， CA至点E，使AF3AB，BD3BC，CE3CA， 求证：DEF是等边三角形 导引：利用等边三角形定义判定 证明：ABC是等边三角形， ABBCCA，BACABCACB60， EAFFBDDCE120. 又AF3AB，BD3BC，CE3CA， AFBDCE，AEBFCD， AEFB
5、FDCDE. EFFDDE. DEF是等边三角形,（来自点拨）,总 结,知1讲,（来自点拨）,充分挖掘等边三角形中的有关性质是解决问题 的前提，然后利用三角形全等得到三边相等，根据 定义证得DEF是等边三角形,1,如图，ABC是等边三角形，点D在AC边上，DBC35，则ADB的度数为( ) A25 B60 C85 D95 如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是( ) A180 B220 C240 D300,知1练,2,（来自典中点）,3,(中考黔西南州)如图，已知ABC是等边三角形，点B，C， D，E在同一直线上，且CGCD，DFDE，则E_. 四川泸州如图所示，
6、已知ABC为等边三角形，点P在AB 上，以CP为边作等边三角形PCE，使点E，A在直线PC的同 侧求证：AEBC.,知1练,（来自典中点）,4,（来自点拨）,2,知识点,等边三角形的判定,知2讲,等边三角形的判定 1.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 2.注意事项：推论1在任意三角形中都适用，推论2的 前提条件是等腰三角形因此要结合题目的条件选 择适当的方法,知2讲,如图，在等边三角形ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF. 求证：OEF是等边三角形,例4,导引：,从题中条
7、件看，利用三角形 的外角性质易求得OEFOFE60， 从而证明OEF是等边三角形,知2讲,证明：E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点， OEBE，OFCF， OBEBOE，OCFCOF. ABC是等边三角形， ABCACB60. 又BO，CO分别平分ABC和ACB， OBEBOEOCFCOF30. OEFOFE60. EOF18026060. OEF是等边三角形,（来自点拨）,总 结,知2讲,（来自点拨）,证明一个三角形是等边三角形，要根据已知 条件选择适当的方法(1)如果已知三边关系，则选 用等边三角形定义来判定(2)若已知三角关系，则 选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判
8、定(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形”来判定,知识点,知2讲,例5 如图，已知ABC是等边三角形，D为边AC的中点， AEEC，BDEC，证明：ADE是等边三角形 导引：从题中条件看用“HL”证明RtABDRtACE，可得 ADAE，BADCAE60，因此用推论2证 ADE是等边三角形,知识点,知2讲,证明：ABC是等边三角形，D为边AC的中点， ABAC，BAC60，BDAC. AEEC， BDACEA90. 在RtABD和RtACE中， RtABDRtACE， ADAE，EADBAD60， ADE是等边三角形,（来自点拨）,1,等腰三角形补充下列条件
9、后，仍不一定成为等边三角形的是( ) A有一个内角是60 B有一个外角是120 C有两个角相等 D腰与底边相等 如图，ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形( ) A2个 B3个 C4个 D5个,知2练,（来自典中点）,2,4,知2练,下列三角形： 有两个角等于60的三角形； 有一个角等于60的等腰三角形； 三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形； 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形 其中是等边三角形的有( ) A B C D 如图所示，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点， EBCDAC，CEAB.求证：CDE是等边三角形,（来自点拨）,3,（来自典中点）,根据条件判定等边三角形的解题技巧： (1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角形是 等边三角形”判定 (2)若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形是等 边三角形”判定 (3)若已知三角形是等腰三角形，则根据“有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形”判定,
