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1、第15章 轴对称图形与等腰三角形,15.3 等腰三角形,第3课时 等边三角形的性质 和判定,1,课堂讲解,等边三角形的性质 等边三角形的判定,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,1,知识点,等边三角形的性质,等边三角形的性质 1.定义:三边都相等的三角形是等边三角形 要点精析: (1)它是特殊的等腰三角形,具备等腰三角形的所有性 质;(2)它是特殊的等腰三角形,任意两边都可以作为腰,任意一 个角都可以作为顶角 2性质:(1)等边三角形的三边都相等;(2)等边三角形的三个内角相 等,每一个内角都等于60.(3)等边三角形是轴对称图形,它有三 条对称轴,分别为三边的垂直平分线;(4)各
2、边上的高、中线、对 角的平分线重合,且长度相等,知1讲,知识点,例1 如图,ABC是等边三角形,D,E, F分别是三边AB,AC,BC上的点, 且DEAC,EFBC,DFAB, 计算DEF各个内角的度数,知1讲,导引:,要计算出DEF各个内角的度数,有两个途径, 即证DEF 为等边三角形或直接求各个内角 的度数,由垂直定义及等边三角形的性质,显然 直接求各个内角的度数较容易,知识点,解:因为ABC是等边三角形, 所以ABC60. 因为DEAC,EFBC,DFAB, 所以AEDEFCFDB90, 所以ADE90A906030, 所以EDF 180309060. 同理可得DEFEFD60. 即DE
3、F各个内角的度数都是60.,知1讲,(来自点拨),总 结,知1讲,(来自点拨),利用等边三角形的性质求角的度数时,通过利 用等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都 为60的性质,找出要求角与已知角间的关系来进 行计算;有时还要结合全等图形等知识来解决,知1讲,例2 如图,已知ABC,BDE都是 等边三角形求证:AECD. 导引:要证AECD,可通过证分别含有AE,CD的两个三角形全等来实 现,即证ABECBD,所需条件可从等边三角形中去寻找 证明:ABC和BDE都是等边三角形, ABBC,BEBD,ABCDBE60. 在ABE与CBD中, ABECBD(SAS)AECD.,(来自点拨),总
4、 结,知1讲,(来自点拨),运用等边三角形性质证明线段相等的方法:把 要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等 边三角形或者放到两个三角形中,利用全等三角形 的性质证明;注意等边三角形的三个内角相等、三 条边相等、三线合一是隐含的已知条件,知1讲,例3 如图,ABC是等边三角形,分别延长AB至点F,BC至点D, CA至点E,使AF3AB,BD3BC,CE3CA, 求证:DEF是等边三角形 导引:利用等边三角形定义判定 证明:ABC是等边三角形, ABBCCA,BACABCACB60, EAFFBDDCE120. 又AF3AB,BD3BC,CE3CA, AFBDCE,AEBFCD, AEFB
5、FDCDE. EFFDDE. DEF是等边三角形,(来自点拨),总 结,知1讲,(来自点拨),充分挖掘等边三角形中的有关性质是解决问题 的前提,然后利用三角形全等得到三边相等,根据 定义证得DEF是等边三角形,1,如图,ABC是等边三角形,点D在AC边上,DBC35,则ADB的度数为( ) A25 B60 C85 D95 如图,一张等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中的度数是( ) A180 B220 C240 D300,知1练,2,(来自典中点),3,(中考黔西南州)如图,已知ABC是等边三角形,点B,C, D,E在同一直线上,且CGCD,DFDE,则E_. 四川泸州如图所示,
6、已知ABC为等边三角形,点P在AB 上,以CP为边作等边三角形PCE,使点E,A在直线PC的同 侧求证:AEBC.,知1练,(来自典中点),4,(来自点拨),2,知识点,等边三角形的判定,知2讲,等边三角形的判定 1.推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形; 推论2:有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 2.注意事项:推论1在任意三角形中都适用,推论2的 前提条件是等腰三角形因此要结合题目的条件选 择适当的方法,知2讲,如图,在等边三角形ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点O,OB,OC的垂直平分线分别交BC于点E,F,连接OE,OF. 求证:OEF是等边三角形,例4,导引:,从题中条
7、件看,利用三角形 的外角性质易求得OEFOFE60, 从而证明OEF是等边三角形,知2讲,证明:E,F分别是线段OB,OC的垂直平分线上的点, OEBE,OFCF, OBEBOE,OCFCOF. ABC是等边三角形, ABCACB60. 又BO,CO分别平分ABC和ACB, OBEBOEOCFCOF30. OEFOFE60. EOF18026060. OEF是等边三角形,(来自点拨),总 结,知2讲,(来自点拨),证明一个三角形是等边三角形,要根据已知 条件选择适当的方法(1)如果已知三边关系,则选 用等边三角形定义来判定(2)若已知三角关系,则 选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判
8、定(3)若已知是等腰三角形,则选用“有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形”来判定,知识点,知2讲,例5 如图,已知ABC是等边三角形,D为边AC的中点, AEEC,BDEC,证明:ADE是等边三角形 导引:从题中条件看用“HL”证明RtABDRtACE,可得 ADAE,BADCAE60,因此用推论2证 ADE是等边三角形,知识点,知2讲,证明:ABC是等边三角形,D为边AC的中点, ABAC,BAC60,BDAC. AEEC, BDACEA90. 在RtABD和RtACE中, RtABDRtACE, ADAE,EADBAD60, ADE是等边三角形,(来自点拨),1,等腰三角形补充下列条件
9、后,仍不一定成为等边三角形的是( ) A有一个内角是60 B有一个外角是120 C有两个角相等 D腰与底边相等 如图,ABC是等边三角形,D,E,F为各边中点,则图中共有等边三角形( ) A2个 B3个 C4个 D5个,知2练,(来自典中点),2,4,知2练,下列三角形: 有两个角等于60的三角形; 有一个角等于60的等腰三角形; 三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形; 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形 其中是等边三角形的有( ) A B C D 如图所示,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点, EBCDAC,CEAB.求证:CDE是等边三角形,(来自点拨),3,(来自典中点),根据条件判定等边三角形的解题技巧: (1)若已知三边关系,则考虑用“三条边都相等的三角形是 等边三角形”判定 (2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等 边三角形”判定 (3)若已知三角形是等腰三角形,则根据“有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形”判定,