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1、华中科技大学 硕士学位论文 局部Lipschitz条件下倒向随机微分方程生成元的表示定理 姓名：刘永利 申请学位级别：硕士 专业：概率统计 指导教师：王湘君 20080427 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 I 摘 要 1 9 9 0 年P a r d o u x 和P e n g 获得了非线性倒向随机微分方程在L i p s c h i t z 条件下解 的存在唯一性定理。随后，许多学者进一步研究了倒向随机微分方程及其在数理金 融，随机控制，偏微分方程，随机微分对策和经济学领域的应用。现在倒向随机微 分方程理论不仅被广泛地认为是研究金融数学（例如，期权和衍生定价证券问题） 的
2、重要工具，而且也是研究随机控制，随机对策和非线性偏微分方程解的概率表示 问题等的有效工具. 比较定理是倒向随机微分方程理论的一个重要的成果，已经有许多学者致力于 对比较定理的研究. 倒向随机微分方程生成元的表示定理是彭实戈等为了研究逆比 较定理而建立的一个重要定理，它是研究逆比较定理的一个重要的工具，因此具有 十分重要的意义 在前人研究的基础上，本文对倒向随机微分方程作了推广，在第一章介绍了局 部 L i p s c h i t z条件下解的存在唯一性，在第二种介绍了局部 L i p s c h i t z条件下倒向 随机微分方程的比较定理，在第三章介绍了倒向随机微分方程生成元定理这也是本 文
3、的主要结果 假设生成元 g 满足下列条件 （A1） （局部 Lipschitz条件）对N0，存在0 N K，使当 xN ， xN ， yN ， yN 时 g(t,x,y)g(t,x , y ) N KxxCyy+ （A2） () 2 0 , 0 , 0 T Egtd t 0 和0,1 使 (),(1)gtyzCyz + P- a.s.,a.e. 则有命题（3 . 1 . 2 ）和（3 . 1 . 2 ）成立，以此为基础我们证明了定理（3 . 2 . 1 ） 关键词：局部 Lipschitz条件，生成元 表示定理 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 II Abstract Pardo
4、ux and Peng first solved the existence and uniqueness theorem of the Solution of the nonlinear BSDE under Lipschitz condition in 1990. From then on, many people make futher study on BSDE and its applications in mathematical finance, stochastic control, partial differential equation(PDE), stochastic
5、differential games and economy, which develop BSDE further. Now the theory of BSDE is not only widely considered as the main tool of study financial mathematical(for example, the problem of pricing of options and derivative securities) but also the efficient tool of studying stochastic control, stoc
6、hastic games, the problem of probabilistic representation of solution of nonlinear PDE and so on. The comparison theorem is one of the achievements of BSDE, there are many people have been devoted to converse comparison theorem. For studying converse comparison theorem, S.Peng established an importa
7、nt theorem, i.e. the representation theorems for generators of BSDE，It is am important tools For studying converse comparison theorem, so It has very important significance. This paper based on the predecessor s work, we generalize the BSDE in this paper. In chapter one we introduced the existence a
8、nd uniqueness of the solution of the BSDE under local Lipschitz condition; In chapter two we introduced the comparison theorem of the BSDE under local Lipschitz condition; In chapter three we introduced the representation theorems for generators of BSDE, which is the main result of this paper. We se
9、t the following assumption to the generators g : （A1） （Local Lipschitz condition）N0，there exist 0 N K，when xN ， xN ， yN ， yN g(t,x,y)g(t,x ,y ) N KxxCyy+ （A2） () 2 0 , 0 , 0 T Egtd t 0 and0,1 make 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 III (),(1)gtyzCyz + P- a.s.,a.e. We have theorem(3.1.1) and (3.1.2) existed ,ba
10、sed on this we have the theorem(3.2.1) Keywords: Local Lipschitz condition Generators The representation theorems 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者
11、完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本论文属于 保密 ，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 绪论 1 倒向随机微分方程简介 相对于正向随机微分方程，倒向随机微分方程的研究起步较晚。1973 年， 法国数学家 J
12、 .M .Bismut 在研究随机最优控制时就研究了一类特殊的倒向随即微 分方程（ 2 0 ） ，其它于此有关的文章还有 Kabanov在 1978 年和 Arkin- Saksonov 在 1979 年分别发表的论文（ 2 1 ）和（ 1 5 ）但是，倒向随机微分方程的提出 却滞后了二十余年，1990 年我国学者彭实戈和法国学者 Pardoux在（ 1 ）中给 出了一般的非线性情况的倒向随机微分方程的基本理论框架并证明了其解的存 在性和唯一性。 倒向随机微分方程的研究之所以大大滞后于正向随机微分方程，现在回过 头来分析不外乎以下两个原因：首先，从正向随机微分方程的表示形式上来讲， 很难从正向
13、随机微分方程出发猜想到倒向随机微分方程的形式； 其次从应用的角 度来讲，正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程，而倒向 随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目 标。 倒向随机微分方程理论的研究历史虽然很短但进展却很迅速，除了因为其 理论本身所特有的系统而有趣的性质之外，还因为发现了其重要的应用前景： D u f f i e 和 Epstein发现可以用他来描述不确定经济环境下的消费偏好（即效用函 数论，这是计量经济学的基础） ；彭实戈在（ 3 4 ）中通过倒向随机微分方程获 得了非线性 Feynman- Kac 公式，从而可以用来处理诸如反应扩散方
14、程和 Navier- Stokes 方程等众所周知的非线性偏微分方程；ELKaroui- Qunez 发现金融 市场的许多重要的衍生证券的理论价格可以用倒向随机微分方程解出。 随后许多 学者进一步研究倒向随机微分方程及其在数理金融、随机控制、随机分析、偏微 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 分方程、随机微分对策和经济等领域的应用，从而进一步发展和完善了倒向随机 微分方程的理论。随着对倒向随机微分方程理论的研究的深入，大家越来越清楚 地认识到，数理金融和经济数学的许多问题也可以归结为倒向随机微分方程。现 在，倒向随机微分方程理论不仅被广泛的认为是研究金融数学（例如，期权和衍 生
15、定价证券问题）的重要工具，而且也是研究随机控制、随机对策、非线性偏微 分方程解的概率表示问题的有效工具。 总之，在过去的近半个世纪，倒向随机微分方程的理论得到了很好的发展， 其应用也越来越广泛。不仅如此，倒向随机微分方程和其它数学分支也产生了意 料之外的联系，相互促进，相应生辉。国际上许多著名的数学家相继投入到这一 领域的研究之中并且获得了辉煌的成果。 倒向随机微分方程引入了一种全新的方程结构，为了便于理解这一理论， 我们先来看一下众所周知的常微分方程： 0 ( )( ),0 (0) XtbXttT Xx = = （1.1） ( )( ),0 () T YtgYttT YTY = = （1.2
16、） 其中，b(.),g(.)是给定的的函数， 0 ,T xY是给定的数据。方程（1.1）的定解条件 在初始时刻 t=0 给出，称它为正向常微分方程。方程（1.2）的定解条件在终了时 刻 t=T给出，称它为倒向常微分方程。在一定的条件下（如在 Lipschitz条件下） ， 这两个方程都有唯一的解。 但是从应用的角度来讲， 这两个方程却有显著的区别。 事实上，方程（1.1）的存在唯一性是说只要知道了系统的初始状态 0 x 就可以确 定的计算出方程的解，方程（1.2）的存在唯一性则意味着我们能够计算出应该 具备则怎样的起点才能室系统发到预定的目标。 事实上，我们假定了以上的两个模型（1.1）和（1.2）的系统是不受随机干 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 扰的，即
