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1、第六章 无限长单位冲激响应（IIR） 数字滤波器的设计方法,6.1引言 一般情况下,数字滤波器是一个线性移不变离散时间系统,利用有限精度算法来实现。 数字滤波器的设计一般包括： (1) 按照任务的要求,确定滤波器的性能要求； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。系统函数有 无限长单位冲激响应 (IIR)系统函数 有限长单位冲激响应 (FIR)系统函数两种；,幅度平方函数的极点具有以下特点： 若 是H(z)的极点,则 是H(z-1)的极点。 由于H(z)的有理表达式中各系数为实数,因而,零极点必然都以共轭对称形式出现,故必有 和 两极点存在。 所以H(z)H(
2、z-1)的极点既是共轭的,又是以单位圆镜像对称的。 为了使H(z)成为稳定系统,故只取单位圆内的那些极点来构成H(z),而单位圆外的极点用于构成H(z-1)。 H(z)的零点一般不是唯一确定的,可在z平面的任意位置。如果我们选H(z)H(z-1)在z平面单位圆内的零点作为H(z)的零点,则所得到的是最小相位延迟滤波器。,2. 相位响应 由于 H(ej)是复数, 可表示成,3. 群延迟响应 它是滤波器平均延迟的一个度量 , 定义为相位对角频率导数的负值 , 即,当要求滤波器为线性相频特性时,则通带内群延迟特性就应是常数。,6.2 最小与最大相位延时系统,最小与最大相位超前系统,任一个线性移不变系
3、统,可用系统函数表示为, 其系统频率响应的表达式为,幅频特性,下面着重讨论系统的零、极点分布对系统相频特性的影响。 若某一零点(或极点)位于单位圆内,当从O变到2时,即在z平面单位圆上正向(逆时针)旋转一周时,零矢(或极矢)变化为2弧度。 若某一零点(或极点)位于单位圆外,当从0变到2时,即在z平面单位圆上正向(逆时针)旋转一周时,零矢(或极矢)变化为零。 所以当从O变到2时,只有单位圆内的零点、极点对 的相角有影响。,相频特性,若用mi ,mo 分别表示单位圆内、外的零点数，则M= mi +mo pi ，po 分别表示单位圆内、外的极点数，则N = pi+ po,对因果稳定系统：系统函数H(
4、z)的全部极点在单位圆内, 此时有 pi=N，p0=0,这种系统当由0而增加时,辐角变化为负,故称为相位“滞后”系统。又可分为以下两种情况:,当全部零点在单位圆内时,即 mi=M,(mo=0),则,这时，相位变化最小。把这种系统称为最小相位延时系统。当然,最小相位延时系统一定是因果稳定系统。 当全部零点在单位圆外时,即 mi =0,(mo=M ),则,这时，相位变化最大,又是负数。故称为最大相位延时系统。当然,它也一定是因果稳定系统。,2)对逆因果稳定系统：系统函数的全部极点在单位圆外， 此时有 pi=0 , po =N,一般来说,系统总满足NM，因而这种系统当由0而增加时,辐角变化为正,故称
5、为相位“超前”系统。又可分为以下两种情况:,这时相位变化最大。称为最大相位超前系统。当然,它也一定是逆因果稳定系统。,当全部零点在单位圆内时,即 mi=M,(mo=0),则,当全部零点在单位圆外时,即 mi =0,(mo=M ),则,这时相位超前量最小,故称为最小相位超前系统。当然,它一定也是逆因果稳定系统。,以上四种系统分别对应着四种不同的单位冲激响应序列。例如,最小相位延时系统的单位冲激响应称为最小相位延时序列。 以上四种系统及其因果性、稳定性、零点、极点的关系归纳在表6-1中。,由于最小相位延时系统在通信中有重要的地位,因而把它的一些重要性质归纳如下： 在傅里叶变换H(ej)相同的所有系
6、统中,最小相位系统具有最小的相位滞后，它有负的相位,相位绝对值最小。 按照帕塞瓦定理由于傅里叶变换幅度相同的各系统的总能量应当相同,但最小相位延时系统hmin(n)的能量集中在n=0附近,而一般系统 h(n)的能量则集中在n0处，也就是说,如果hmin(n),h(n)是N点有限长序列(n=0,1,N-1),则有,由上一条关系可得出，对相同傅里叶变换幅度的各序列，最小相位序列的hmin(0)最大(可用初值定理加以证明)，即：hmin(0)h(0) 在幅度响应|H(ej)| 相同的系统中，只有唯一的一个最小相位延时系统。 利用级联全通函数的办法，可将最小相位系统的零点反射到单位圆外，而构成幅度响应
7、相同的非最小相位延时系统(参见6.3节“全通系统“)。,6.3 全通系统,全通系统是指系统幅频响应的幅度值在所有频率下均为1（或某一常数）的系统，一般记为Hap(z)。即,这就是（6-23）式。其中,在这里，H(z)和Hmin(z)的差别在于把H(z)的单位圆外的一对 零点 和 分别反射到单位圆内的“镜像”位置 z=z0*，z=z0上，就构成了H(z) 和Hmin(z)的零点，可以用图6-6来说明这一反射情况。但是，可以看出H(z) 和Hmin(z) 的频率响应的幅度是相同的，即,它们之间的差别只是频率响应的相位不同而已。 从以上讨论可以看出,单位圆外的零点反射到单位圆内镜像点(共扼反演点)上
8、,是关单位圆反射的。同样可将最小相位延时系统的一个零点反射到单位圆外而构成另一个幅度函数相同,相位函数不同的非最小相位延时系统。如果将单位圆内的全部零点反射单位圆外,则构成了幅度函数相同的最大相位延时系统。,（2）如果设计出的滤波器是非稳定的，则可用级联全通系统的办法将它改造成一个稳定的滤波器。 例如原滤波器有一对极点 (r1)在单位圆外 则可将此滤波器级联一个全通系统 其极点在单位圆内，零点在单位圆外，这样可以将原滤波 器单位圆外的一对极点加以抵消，同时又不改变滤波器的 幅度特性。,（3）可以作为相位均衡器(群延时均衡器)用。IIR 滤波器其相位特性是非线性的,因而群延时不为常数, 而在视频
9、信号的传输中希望系统具有线性相位,因而采用全通滤波器作为相位均衡器,来校正系统的非线性相位,以得到线性相位,同时又不改变系统的幅度特性。 设 全通滤波器为Hap(z), 系统(例如IIR滤波器)为Hd(z), 则级联后系统H(z)为,相位关系是,我们希望,在通带中满足 0是常数(不随而变化) 。则逼近误差的平方值为 e2是频率、全通函数极点和系数的函数(d()为已知),利用均方误差最小准则，(见第六章的最优化设计)可求得均衡器(全通函数)的有关参数。,6.4 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器 1、利用模拟滤波器设计数字滤波器，其过程是：,2、利用模拟滤波器设计数字滤波器的映射要求： 将模拟系统
10、函数Ha(s)变换成所需的数字滤波器的系统函数H(z)，即是要把s平面映射到z平面。无论采用何种映射关系，都必需满足以下两映射要求： 第一, s平面的虚轴j必须映射到z平面的单位圆ej上, 也就是频率轴要对应，即H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应。 第二, s平面的左半平Res0必须映射至z平面单位圆的内部|z|1，即因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z)。,3、从模拟滤波器映射成数字滤波器的方法称为数字化方法, 主要有以下几种： 冲激响应不变法：时域特性相似 阶跃响应不变法：时域特性相似 双线性变换法： 频域特性相似 4、“模拟原型”滤波器的设计方法有： 巴特沃思型滤波
11、器 切贝雪夫型滤波器 椭圆函数型(考尔型)滤波器等。,6.5 冲激响应不变法 一、变换原理 冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的单位冲击响应ha(t)。将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔的抽样,使h(n)正好等于ha(t)的抽样值,即满足 h(n)=ha(nT) 其中T是抽样周期。 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换,H(z)为h(n)的z变换,利用第二章2.5节抽样序列的z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系,即利用(2-53)式,得,则看出,冲激响应不变法将模拟滤波器的s平面变换成数字滤波器的z平面,这个从s到z的变换z=esT正是第二章2.5节中
12、从s平面变换到z平面的变换关系(2-51)式。 如图6-7所示,s平面上每一条宽度为2/T的横条都将重叠地映射到整个z平面，而每一横条的左半边映射到z平面单位圆以内,右半边映射到z平面单位圆以外,而s平面虚轴(j 轴)映射到z平面单位圆上,虚轴上每一段长为2/T 的线段都映射到z 平单位圆上一周。由于s平面每一横条都要重叠地映射到z平面上,这正好反映了H(z)是和Ha(s)的周期延拓函数之间有变换关系z=esT,故冲激响应不变法并不相当于从s平面到z平面的简单代数映射关系。,二、混叠失真 由 (6-28)式知,数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 这就是说,数字滤波器的频率响应
13、是模拟滤波器频率响应的周期延拓。因而正如第一章1.4节抽样定理所讨论的,只有当模拟滤波器的频率响应是限带的,且带限于折叠以内时,即 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真,即,但是,任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的,变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠,即产生频率响应的混叠失真,因而模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快,变换后频率响应混叠失真就越小。 对某一频率响应的系统由单位冲激响应进行抽样,抽样频率为fs,若使fs增加，即抽样时间间隔(T=1/fs)减小,则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远,因而可减小频率响应的混
14、叠效应。 我们还应注意到,在冲激响应不变法设计中,当滤波器的指标用数字域频率给定时,若c不变,用减小T的方法就不能解决混叠问题。例如设计某一截止频率为c的低通滤波器,则要求与之相对应的模拟滤波器的截止频率为c=c /T因而模拟折叠角频率的带域是-/T，/T 随着T的减小,它会增加。而为了c不变，T减小时,c也应增加,所以如果原来Ha(s)的截止频率。cT,即在-/T，/T 域外Ha(s)的值不为零,则不论如何减小T,由于要求c与T有同样倍数的变化(以使c不变),故总有c /T,不能解决混叠问题 三、模拟滤波器的数字化方法 由于冲激响应不变法要由模拟系统函数Ha(s)求拉普拉斯反变换得到模拟的冲
15、激响应ha(t),然后抽样后得h(n)=ha(nT), 再取z变换得H(z),过程较复杂。且由此变换过程看出,它对部分分式表达的模拟系统函数更为方便。下面我们来讨论冲激响应不变法所造成的s平面和z平面的对应关系。设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点,且假定分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求 , 因为只有这样才相当于一个稳定的模拟系统）。,因此可将Ha(s)展开成部分分式表示 其相应的冲激响应ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反变换,即 其中u(t)是连续时间的单位阶跃函数。在冲激响应不变法中,要求数字滤波器的单位抽样响应等于ha(t)的抽样,即 对h(n)求z变换,即得数字滤波
16、器的系统函数,将(6-32)式的Ha(s)和(6-34)式的H(z)加以比较,可以看出： (1) S平面的单极点s=sk变换到z平面上 处的单极点 (2) Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的,都是Ak； (3) 如果模拟滤波器是稳定的,即所有极点sk位于s平面的左半平面,即极点的实部小于零Resk0,则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内,即模小于1, 1, 因此数字滤波器也是稳定的； (4) 虽然冲激响应不变法能保证s平面极点与z平面极点有这种代数对应关系,但并不等于整个s平面与z平面有这种代数对应关系,特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系,而是随Ha(s)的极点sk以及系数Ak两者变化。从(6-31)式看出,数字滤波器频率响应还与抽样间隔T成反比,如果抽样频率很高,即T很小,
