《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末检测卷 新人教A版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末检测卷 新人教A版选修2-1（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 空间向量与立体几何章末检测卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是()A.若ab0，则a0或b0B.若a0，则0或a0C.若a2b2，则ab或abD.若abac，则bc答案B解析对于A，可举反例：当ab时，ab0.对于C，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab.对于D，abac，可以移项整理推得a(bc).2.设平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A.2 B.4 C.4 D.2答案C解析因为，故(2，4，k)(1，2，2)，所以2，k2，即
2、k4.3.设i，j，k为单位正交基底，已知a3i2jk，bij2k，则5a与3b的数量积等于()A.15 B.5 C.3 D.1答案A解析a(3，2，1)，b(1，1，2)，5a3b15ab15.4.O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点()A.一定不共面 B.一定共面C.不一定共面 D.无法判断答案B解析，且1.P，A，B，C四点共面.5.已知向量a(0，2，1)，b(1，1，2)，则a与b的夹角为()A.0 B.45 C.90 D.180答案C解析cosa，b0，又a，b0，180，a，b90.6.已知直线l的方向向量a，平面的法向量，若a(1，1，1)，(1，0，1)，则直线l与平面
3、的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l在平面内或直线l与平面平行答案D解析a1(1)10110，得直线l的方向向量垂直于平面法向量，则直线l在平面内或直线l与平面平行.7.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M为BC中点，则AMD是()A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定答案C解析M为BC中点，AM(ABAC).()0.AMAD，AMD为直角三角形.8.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为()A.平行 B.异面 C.垂直 D.以上都不对答案C解析以D
4、点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0).(，2，0)(0，1，)(，1，)，(，2，0)(2，0，0)(，2，0)，(，1，)(，2，0)0，即，AMPM.9.已知(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A. B. C. D.答案C解析设Q(x，y，z)，因Q在上，故有，设(R)，可得x，y，z2，则Q(，2)，(1，2，32)，(2，1，22)，所以62161062，故当时
5、，取最小值，此时Q.10.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的共有()()；()；()；().A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案D解析()；()；()；().故选D.11.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SASBSC，且ASBBSCCSA90，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案B解析不妨设SASBSC1，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，S(0，0，0)，M，N(0，0，).因为，所以|，|，cos，因为异面直线所成的角
6、为锐角或直角，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60.其中错误的结论是()A. B. C. D.答案C解析如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，0，1)，A(0，1，0)，所以(0，1，1)，(2，0，0)，0，故ACBD.正确.又|，|，|，所以ACD为等边三角形.正确.对于，为面BCD的一个法向量，cos，.因为直线与平面所成的角0，90，所以AB与平面BCD所成
7、角为45.故错误.又cos，.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60.故正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.设a，b是直线，是平面，a，b，向量a在a上，向量b在b上，a(1，1，1)，b(3，4，0)，则，所成二面角中较小的一个角的余弦值为_.答案解析设，所成二面角中较小的一个角为，由题意得，cos |cosa，b|.14.如图所示，已知正四面体ABCD中，AEAB，CFCD，则直线DE和BF所成角的余弦值为_.答案解析，cos，.15.如图所示，已知二面角l的平面角为 ，ABBC，BCCD，AB在平面内，BC在l上，CD在平面内，若ABBCC
8、D1，则AD的长为_.答案解析因为，所以22222221112cos()32cos .所以|，即AD的长为.16.给出下列命题：若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；若ab0，则a，b是钝角；若a为直线l的方向向量，则a(R)也是l的方向向量；非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面.其中不正确的命题为_.(填序号)答案解析错误，如在正方体ABCDA1B1C1D1中，但线段AB与A1B1不重合；错误，ab0，即cosa，b0a，b，而钝角的取值范围是(，)；错误，当0时，a0不能作为直线l的方向向量；错误，在平行六面体ABCDA1B1C1D
9、1中，令a，b，c，则它们两两共面，但显然，是不共面的.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)设向量a(3，5，4)，b(2，1，8)，计算2a3b，3a2b，ab以及a与b所成角的余弦值，并确定，应满足的条件，使ab与z轴垂直.解2a3b2(3，5，4)3(2，1，8)(6，10，8)(6，3，24)(12，13，16).3a2b3(3，5，4)2(2，1，8)(9，15，12)(4，2，16)(5，13，28).ab(3，5，4)(2，1，8)653221.|a|5，|b|，cosa，b.ab与z轴垂直.(32，5，48)(0，0，1)480，即2，当，满足2时，可使ab与
10、z轴垂直.18.(12分)已知空间内三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5).(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|，求向量a的坐标.解(1)(2，1，3)，(1，3，2)，cosBAC，又BAC0，180，BAC60，S|sin 607.(2)设a(x，y，z)，由a，得2xy3z0，由a，得x3y2z0，由|a|，得x2y2z23，xyz1或xyz1.a(1，1，1)或a(1，1，1).19.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长.解AB与CD
11、成60角，60或120，又ABACCD1，ACCD，ACAB，|2或.BD的长为2或.20.(12分)如图所示，已知几何体ABCDA1B1C1D1是平行六面体.(1)化简，并在图上标出结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1NC1B，设，试求，的值.解(1)取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F2FC1，连接EF，则.(2)()()，所以，.21.(12分)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过线段BD1上一点P(P平面ACB1)作垂直于D1B的平面，分别交过D1的三条棱于点E，F，G.(1)证明平面EFG平面ACB1，并
12、判断三角形EFG的形状；(2)求EFG的最大面积，并求此时EF与B1C间的距离.解(1)以D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，E(xE，0，a)，F(0，yF，a)，G(0，0，zG)，(a，a，a)，(0，a，a)，(xE，yF，0)，(a，a，0)，(a，0，a)，0，0， ，又AB1与AC相交于点A，BD1平面ACB1，又BD1平面EFG，平面EFG平面ACB1.平面EFG，即0，即(a，a，a)(xE，yF，0)0，即xEyF0.同理xEzG0，yFzG0，xEyFzG，易得|，EFG为正三角形.(2)EFG是正三角形，易知当EFG与A1C1D重合时，EFG的边最长，其面积也最大，此时EFA1C1a，SEFG|sin 60(a)2a2，此
