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1、,2.4.1 抛物线及其标准方程,喷泉,我们知道，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象是一条抛物线，而且还研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？,思考：,复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线(其中定点不在定直线上)的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,如图，点 是定点， 是不经过点 的定直线。 是 上任意一点，过点H作 ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，
2、你能发现点M满足的几何条件吗？,提出问题：,几何画板观察,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,一、抛物线的定义:,解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：,化简得：,二、抛物线标准方程的推导,解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为,设动点 ，由抛物线定义得,化简得：,二、标准方程的推导,l,解法三：以过F且垂直于 l 的直线为
3、x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.,两边平方,整理得,M(x,y),F,二、标准方程的推导,依题意得,这就是所求的轨迹方程.,三、抛物线的标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,p的几何意义是:,焦点坐标是,准线方程为:,想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？,方案(1),方案(2),方案(3),方案(4),焦点到准线的距离，简称焦准距,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),方程的特点: (1)左边
4、是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置.,四四种抛物线的对比,思考：,二次函数 的图象为什么是抛物线？,当a0时与当a0时，结论都为：,例1,（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程,（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2），求抛物线的标准方程,（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程,（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程,x 2 =8 y,y 2 =4 x,课堂练习：,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2
5、 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置.,四四种抛物线的对比,例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。,例3：点M与点F（4,0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。,x=-5,x=-4,M,H,G,(4,0),题型二：利用抛物线的定义求点的轨迹方程,例4：已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标,P,A(3,2),题型三：抛物线应用于求最值问题,
