《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算学案 新人教A版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算学案 新人教A版选修2-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.1空间向量及其加减运算学习目标1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.梳理(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或|.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量
2、叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二空间向量的加减运算及运算律思考1下面给出了两个空间向量a、b，作出ba，ba.答案如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面内，以任意点O为起点作a，b，则ab，ba.思考2由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？答案先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法
3、则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则.梳理(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.ab，ab.(2)空间向量加法交换律abba，空间向量加法结合律(ab)ca(bc).类型一有关空间向量的概念的理解例1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量a，b满足|a|b|，则不一定能判断出ab，故不正确
4、；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有成立，故正确；显然正确.故选B.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练1(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：与；与；与；与.其中互为相反向量的有n对，则n等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析对于与，与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于与长度相等，方向不相反；对于与长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对.(2)如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，A
5、A1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出模为的所有向量.试写出与向量相等的所有向量.试写出向量的所有相反向量.解由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，.与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.向量的相反向量有，.类型二空间向量的加减运算例2如图，已知长方体ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)；(2).解(1).(2)().向量、如图所示.引申探究利用例2题图，化简.解结合加法运算，0.故
6、0.反思与感悟(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，0.(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即aba(b).(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律.(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(ab)c()，a(bc)()，所以(ab)ca(bc).跟踪训练2在如图所示的平行六面体中，求证：2.证明平行六面体的六个面均为平行四边形，()()()2().又，.2.1.下列命题中，
7、假命题是()A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.空间中任意两个单位向量必相等答案D2.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量相等的向量共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案C解析与相等的向量有，共3个.3.向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()A.ab B.ab为实数0C.a与b方向相同 D.|a|3答案D解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：()；()；()；().其中运算的结果为的有_
8、个.答案4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：()；()；()；().所以4个式子的运算结果都是.5.化简2233_.答案0解析223322220.1.一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的.(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.2.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法
9、则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.40分钟课时作业一、选择题1.下列说法正确的是()A.零向量是有方向的向量B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C.四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是D.若与是相反向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上答案A解析规定零向量的方向是任意的，故A正确；B中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故B错误；对于选项C，是必要条件，不是充分条件，因为时，有可能A，B，C，D四点共线，故C错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上.2.已知
10、空间四边形ABCD，连接AC，BD，则为()A. B. C. D.0答案A解析.3.如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，a，b，c，则为()A.(ab)c B.(ca)b C.(bc)a D.a(bc)答案C解析()a(bc).4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量表达式化简后的结果是()A. B. C. D.答案A解析如图所示，.5.在空间平移ABC到ABC，连接对应顶点，设a，b，c，M是BC的中点，N是BC的中点，如图所示，用向量a，b，c表示向量等于()A.abc B.abc C.ab D.a答案D解析a.故选D.6.判断下列各命题的真假：向量a与b平行，则a与b的
11、方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；零向量是没有方向的；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5答案B解析假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.二、填空题7.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，_；_.答案解析.().8.对于空间中的非零向量、，有下列各式：AB；|；|.其中一定不成立的是_.(填序号)答案解析根据空间向量的加减法运算，对于：恒成立；对于：当、方向相同时，有|；对于：当、在
12、一条直线上且与、方向相反时，有|.只有一定不成立.9.在直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则_.答案abc解析如图，()cba.10.在长方体ABCDA1B1C1D1中，_.答案2解析()()2.三、解答题11.如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，化简下列表达式.(1)；(2)；(3)；(4).解(1).(2).(3).(4)()().12.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；(2)；(3).解(1).(2)因为M是BB1的中点，所以.又，所以.(3).向量，如图所示.13.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，EF，点E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)；(2)，并标出化简得到的向量.解(1).(2)点E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.，.所求向量，如图所示.旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。11
