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1、第2课时函数的最大值、最小值1理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义(重点)2会求一些简单函数的最大值或最小值(重点、难点)基础初探教材整理函数的最大值、最小值阅读教材P38例2至P40例5，完成下列问题1函数的最大值一般地，设yf (x)的定义域为A.如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f (x)f (x0)，那么称f (x0)为yf (x)的最大值，记为ymaxf (x0)2函数的最小值一般地，设yf (x)的定义域为A.如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f (x)f (x0)，那么称f (x0)为yf (x)的最小值，记为yminf (x0)(1)若函数yf (x)在区间a，
2、b上单调递增，则f (x)的最大值为_，最小值为_(2)若函数yf (x)在区间a，b上单调递减，则f (x)的最大值为_，最小值为_(3)已知函数yf (x)的定义域是a，b，当xa，c时，f (x)是单调增函数；当xc，b时，f (x)是单调减函数，则f (x)在xc时取得_(4)已知函数yf (x)的定义域是a，b，当xa，c时，f (x)是单调减函数；当xc，b时，f (x)是单调增函数，则f (x)在_时取得最小值【答案】(1)f (b)f (a)(2)f (a)f (b)(3)最大值(4)xc小组合作型利用图象求函数的最值求函数y|x1|x2|(2x4)的最值【精彩点拨】先整理化简
3、函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可【自主解答】原函数y|x1|x2|图象如图故函数的最小值为3，最大值为7.用图象法求最值的一般步骤再练一题1(1)函数f (x)在2,2上的图象如图223所示，则此函数的最小值、最大值分别是_图223(2)已知函数f (x)在区间1,2上的最大值为A，最小值为B，则AB_.(3)函数f (x)的最大值是_【解析】(1)f (x)max2，f (x)min1.(2)f (x)在1,2上的图象是单调递减的，Af (1)2，Bf (2)1，AB1.(3)作出f (x)的图象如图所示，f (x)max3.【答案】(1)21(2)1(3)3
4、利用单调性求函数的最值已知函数f (x).(1)用函数单调性定义证明f (x)在(1，)上是单调减函数；(2)求函数f (x)在区间3,4上的最大值与最小值【精彩点拨】(1)利用单调性的定义证明(2)利用(1)的结论求最值【自主解答】(1)证明：设x1，x2为区间(1，)上的任意两个实数，且1x1x2，则f (x1)f (x2)，因为1x10，x110，x210，所以f (x1)f (x2)0，即f (x1)f (x2)故函数f (x)在(1，)上为单调递减函数(2)由上述(1)可知，函数f (x)在3,4上为单调递减函数，所以在x3时，函数f (x)取得最大值；在x4时，函数f (x)取得最
5、小值.1当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值2函数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间a，b上是减函数，则f (x)在a，b上的最大值为f (a)，最小值为f (b)；(2)若函数在闭区间a，b上是增函数，则f (x)在a，b上的最大值为f (b)，最小值为f (a)；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值再练一题2求函数f (x)在4，3上的最值【解】任取x1，x24，3且x1x2，则f (x1)f (x2).x1，x24，3，x110，x210.又x10，f (x1)f (x2)0，f (x1)f (x2)，f (x)在4，3上单调
6、递减，f (x)maxf (4)，f (x)minf (3)，f (x)在4，3上最大值为，最小值为.探究共研型二次函数求值域探究1如图224是函数f (x)(x1)21的图象，说明当定义域分别为1,0，和0,3时，f (x)的单调性图224【提示】f (x)在1,0上单调递减；在上单调递增；在0,1上单调递减，在(1,3上单调递增探究2结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f (x)的最值【提示】结合图象的单调性，可得x1,0时，f (x)maxf (1)3，f (x)minf (0)0.x时，f (x)maxf (3)3，f (x)minf .x0,3时，f (x)maxf (3)3，
7、f (x)minf (1)1.探究3通过探究2，分析函数f (x)取最值时的x与对称轴的距离有什么关系？【提示】通过观察图象，可以发现，当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系求函数f (x)x22ax1在区间0,2上的最大值g(a)和最小值(a)【精彩点拨】f (x)的对称轴是xa，a是运动变化的，故求最值时，应该讨论a与区间0,2的关系，进而确定单调性和最值【自主解答】f (x)(xa)2a2
8、1，对称轴为xa.当a0时，由图(1)可知，f (x)minf (0)1，f (x)maxf (2)34a.当0a2时，由图(4)可知，f (x)minf (2)34a，f (x)maxf (0)1.综上可知，最大值g(a)最小值(a)二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf (x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得再练一题3(1)函数yf (x)x的最小值为_(2)已知函数f (x)x22x3，若xt，t2，求函数f (x)的
9、最值. 【解析】(1)令t0，x，yt(t1)21，t0，对称轴t10，)，yminy(1)1，f (x)的最小值为1.【答案】1(2)【解】对称轴x1，当1t2，即t1时，f (x)maxf (t)t22t3，f (x)minf (t2)t22t3.当1t2，即1t0时，f (x)maxf (t)t22t3，f (x)minf (1)4.当t1，即0t1时，f (x)maxf (t2)t22t3，f (x)minf (1)4.当1t时，f (x)maxf (t2)t22t3，f (x)minf (t)t22t3.设函数最大值为g(t)，最小值为(t)，则有g(t) (t)1函数yx1在区间上
10、的最大值是_【解析】函数yx1在区间上是减函数，f (x)maxf 1.【答案】2函数f (x)的定义域是(，1)2,5)，则其值域是_【解析】函数f (x)在(，1)上是减函数，在(1，)上也是减函数，而x(，1)2,5)，所以y(，0).【答案】(，0)3f (x)x22x4的单调减区间为_，值域为_【解析】二次函数开口向上，定义域为R，对称轴是x1，所以函数的单调递减区间是(，1由于其顶点纵坐标为3，所以值域为3，)【答案】(，13，)4函数yx22x1在闭区间0,3上的最大值与最小值的和是_. 【解析】yx22x1(x1)22，当x1时，函数取最小值2，当x3时，函数取最大值2，最大值
11、与最小值的和为0.【答案】05已知函数f (x)4x2mx1在(，2)上递减，在2，)上递增，求f (x)在1,2上的值域【解】f (x)在(，2)上递减，在2，)上递增，函数f (x)4x2mx1的对称轴方程x2，即m16.又1,22，)，且f (x)在2，)上递增f (x)在1,2上递增，当x1时，f (x)取得最小值f (1)4m121；当x2时，f (x)取得最大值f (2)162m149.f (x)在1,2上的值域为21,49旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。7
