双粲偶素和p波粒子的遍举产生

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1、中国科学技术大学博士学位论文双粲偶素和P波粒子的遍举产生姓名：孙艳军申请学位级别：博士专业：理论物理指导教师：完绍龙2010-11摘要摘摘摘要要要目前，人们对于粲偶素粒子、P波轻标量介子和轴矢量介子的结构仍然存在争议。因此，我们运用光锥求和规则方法研究粲偶素粒子、P波轻标量介子和轴矢量介子的遍举产生过程，以期深化人们对它们结构的认识。首先，为了解决Belle和BaBar实验组结果对非相对论QCD理论提出的挑战，我们利用光锥求和规则方法研究了正负电子湮灭产生两个粲偶素粒子J/和c的遍举过程。在非相对论QCD理论中，粲偶素粒子c的动力学是非相对论性的，与此不同，我们认为在大动量传输过程中，粲偶素粒

2、子c的动力学应该是相对论性的。我们用谐振子势近似下具有相对论性的BHL模型来描述c的波函数，考虑它随有效能标的QCD演化，最后得到了与实验一致的反应截面。我们的结果表明，在大动量传输的遍举过程中，c介子的动力学更多的体现了相对论性，因而其分布振幅采用具有相对论性的模型更符合现实。不仅如此，我们还推测，对于正负电子湮灭产生其它粲偶素对的遍举过程，仍然可以采用类似的相对论性的粲偶素粒子分布振幅，并预期会得到比较可靠的结果。其次，我们利用手征流关联函数的光锥求和规则方法系统研究了B介子半轻衰变到P波轻标量介子的遍举过程。目前，人们对与P波轻标量介子的结构仍然存在争议，我们采用夸克模型的观点，以两种可

3、能的2夸克标量介子光锥分布振幅作为输入参量。在传统的光锥求和规则方法中，领头扭度分布振幅和高扭度分布振幅对结果都有贡献，并且高扭度分布振幅的贡献相当可观。但是，由于高扭度分布振幅的误差比较大，所以这会给结果带来较大的的不确定性。在本文中，我们采用了手征流关联函数，所有的高扭度分布振幅之间相互抵消，结果得到的形状因子只依赖于领头扭度分布振幅。我们还发现，这些形状因子之间存在着直接的关系，这与软共线有效理论的结论一致。利用得到的形状因子，我们进一步求出了上述半轻衰变过程在光锥求和规则方法的有效运动学区域里的微分衰变宽度，这可以在将来B工厂的实验上很好的检验，从而有助于人们对标量介子动力学的认识。最

4、后，我们利用横向极化的手征流关联函数的光锥求和规则方法研究了B介子半轻衰变到P波轴矢介子的遍举过程。我们的动机和方法与研究B介子半轻衰变到P波轻标量介子时基本相同。不同之处在于，由于轴矢介子具有不同的极化分量，即使采用了手征流关联函数的方法，处理起来仍然比较复杂，并且高扭度分布振幅项不能完全消除。然而只考虑它们的横向极化分量时，我们发现所有的高扭度分布振幅再一次被完全消除，从而又一次得到了简单的形状I摘要因子之间关系式。关关关键键键词词词：粲偶素，P波标量介子和轴矢介子，遍举过程，B介子的半轻衰变，光锥求和规则IIABSTRACTABSTRACTUp to now, knowledge ab

5、out charmoniums、P-wave light scalar mesons and P-wave axial vector mesons is not clear, as is shown in the recognition of the charmoniumdynamics and in the controversy about the structure and dynamics of the P-wave scalarmesons and P-wave axial vector mesons. Thus we study them within the light cone

6、sum rules in order to crease our recognition.First, in order to solve the problem confronted by the nonrelativistic QCD in inthe exclsive process e+ e J/ + cmeasured by Belle and BaBar, we analyzethis process within the frame of light cone sum rules. Unlike the nonrelativistic de-scription for the c

7、harmonium adopted by nonrelativistic QCD, we regard c-meson inthe exclusive process with a large transfer momentum as a relativistic one. Among allthe distribution amplitude models for the c-meson, we select BHL model and take intoaccount QCD evolution with the corresponding scale. Consistency of ou

8、r results withthe experiments illustrated that the dynamics and distribution amplitude of c-meson ismainly relativistic in the large transfer momentum region. Accordingly, we expect thatthe similar relativistic distribution amplitudes can be applied to other charmoniums anda reliable results might b

9、e obtained in other exclusive processes.Second, we study B semileptonic decays to P-wave scalar mesons within the lightcone sum rules with the chiral current correlator adopted. Among the recgnition ofthe struture of the scalar mesons, we take the two quark picture and the correspondingdistribution

10、amplitudes as inputs. In addition, the chiral current correlators adoptedsimplifies the analysis greatly and thus leads to simple representations for form fac-tors, depending on the leading twist distribution amplitude only. Furthermore, thereexists a simple relation between these form factors, whic

11、h is consistent with that of thesoft collinear effective theory (SCET). Finally, we obtain the differential decay rates inthe effective momentum squared region, which can be tested by experiments in the Bfactory. It is helpful to judge the inner structure of the P-wave scalar mesons.Finally, we stud

12、y B semileptonic decays to axial-vector mesons within the lightcone sum rules with the chiral current correlator, polarized transversely, adopted. Herewe have a similar motivation to the case of B semileptonic decays to P-wave scalarmesons. However, because the polarization of axial vector mesons in

13、troduce a com-plicated situation and the higher twist distribution amplitudes can not be avoided anyIIIABSTRACTmore. Our study finds that if we take into account only the transverse components,the simple representations for form factors without the pollution from the higher twistdistribution amplitu

14、des and the simple relations between them can be obtained. Withthe further advance of our analysis, we expect that the differential decay rates will betested by experiments in the B factory.Keywords: Charmonium，P-wave scalar meson and axial vector meson，Exclusiveprocess，B semileptonic decay，Light co

15、ne sum rulesIV表格表表表格格格4.1自旋波函数12(x,k), 其中，k= (kx,ky)，mc表示c夸克的组份质量。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .574.2采用光锥求和规则但采用各种c分布振幅模型得到的e+ eJ/ + c过程的截面的对比。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .625.1标准模型中领头阶近似下的威尔逊系数。其中，W粒子质量为mW= 80.4GeV，夸克质量为mt= 173.8GeV，b夸克质量为mb= 4.8GeV92

16、。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .665.2能标为 = 1 GeV68和 = 2.4 GeV(括号内，由重整化群(5.35)得到)时标量介子在方案1中的衰变常数和盖根宝矩。. . . . . . . . .735.3能标为 = 1 GeV68和 = 2.4 GeV(括号内，由重整化群(5.35)得到)时标量介子在方案2中的衰变常数和盖根宝矩。. . . . . . . . .735.4传输动量为q2= 0 GeV2时，我们用光锥求和方法求出的半轻衰变过程B(s) Sl l的形状因子f+和f与其它方法的结果的对比。这儿，

17、与我们对比的其它方法有光锥求和规则方法(L)84，求和规则方法(SR)95，微扰QCD方法(p)92。其中，S1和S2分别表示我们的方法或其它方法的标量介子在方案1和方案2下的结果。. .765.5传输动量为q2= 0 GeV2时，我们用光锥求和方法求出的稀有衰变过程B(s) Sll的形状因子f+、f和fT与其它方法的结果的对比。这儿，与我们对比的其它方法有光锥求和规则方法(LCSR)84,96，求和规则方法(SR)84,96，光前夸克模型方法(LFQM)99，最小超对称模型方法(MSSM)100，协变光前方法(CLF)101，协变夸克模型方法(CQM)102，微扰QCD方法(pQCD)92。

18、其中，S1和S2分别表示我们的方法或其它方法的标量介子在方案1和方案2下的结果。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86VII插图插插插图图图2.1复平面上的复变量q2= z回路。图中的小圈示意了QCD计算相应的位置，差号示意q2 0时的强子阈值的位置。 . . . . . . . . . . .172.2威尔逊系数Cm的费曼图。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.3威尔逊系数CG2的费曼图。 . . . . . . . .

19、. . . . . . . . . . . . . .222.4在s0= 1.7GeV2，用SVZ求和规则给出的介子衰变常数随Borel常数M2的变化(实线表示)，下面和上面的虚线分别对应于s0=1.5 GeV2和s0= 2.0 GeV2的情形，两个三角形之间表示允许的Borel参数范围。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273.1关联函数(3.56)的光锥展开。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474.1在初始能标0时，BHL模型的分布振幅与BC模型47，BKL模型5

20、7，BLL模型58的分布振幅的对比。. . . . . . . . . . . . . . .584.2用严格的演化方程(4.18) 推出的各个能标处的c介子分布振幅。上图表示BHL31模型随能标的演化，下图表示BLL58模型随能标的演化。两幅图中，实线、虚线、点线分别表示分布振幅的演化到的能标为 = 0= 1.8 GeV， = 3.46 GeV and = 5.00 GeV。 604.3光锥求和规则方法得到的截面对阈值s0的依赖关系。上图和下图中c分布振幅我们采用了BHL模型，相应的能标分别为 =3.46 GeV和 = 5.00 GeV。 . . . . . . . . . . . . .

21、. . . . . . . . . .614.4光锥求和方法得到的e+ e J/ + c过程在不同有效标度下的截面。其中，实线、虚线、点线分别对应于c的能标为 = 0， = 3.46 GeV及 = 5.00 GeV。左图和右图的分布振幅分别采用了BHL模型31和BLL模型58。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .635.1能标为 = 2.4 GeV时标量介子在方案1(上)和方案2(下)中的领头扭度分布振幅68。可以看出，由于G宇称守恒，SU(3)极限下的标量介子领头扭度分布振幅S在互换u 1 u下反对称。. . . .745.2能标为 = 2.4

22、GeV，传输动量为q2= 0时，B0 a+0(980)和B0sf0(1500)衰变过程中形状因子f+(q2= 0)对Borel参数M2的依赖关系。我们取阈值参数为s0= 33 GeV2，b夸克质量为mb= 4.8 GeV，所有的标量介子均在方案1下处理。 . . . . . . . . . . . . . . . . . .75IX插图5.3光锥求和规则方法求出的B(s) S衰变过程的形状因子对传输动量q2的依赖关系。其中，我们取了能标为 = 2.4 GeV，阈值为s0= 33 GeV2，Borel参数为M2= 12 GeV2。所有的标量介子均在方案1下处理。. . . . . . . . .

23、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .785.4半轻衰变过程B Sl l微分衰变宽度对q2的依赖关系。其中l =e,。所有的标量介子均在方案1下处理。. . . . . . . . . . . . . .795.5稀有衰变过程B(s) Sll微分衰变宽度对传输动量q2的依赖关系。其中轻子为l = e,。所有的标量介子均按方案1下处理。. . . . .805.6光锥求和规则方法求出的B(s) S衰变过程的形状因子对传输动量q2的依赖关系。其中，我们取了能标为 = 2.4 GeV，阈值为s0= 33 GeV2，Borel参数为M2= 12 GeV2。所有的标

24、量介子均在方案2下处理。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .815.7半轻衰变过程B Sl l微分衰变宽度对q2的依赖关系。其中l =e,。所有的标量介子均在方案2下处理。. . . . . . . . . . . . . .825.8稀有衰变过程B(s) Sll微分衰变宽度对传输动量q2的依赖关系。其中l = e,。所有的标量介子均在方案2下处理。. . . . . . . . .836.1轴矢介子a0(1260)在能标为 = 1.0 GeV 时的横向分布振幅。 . . . .946.2半轻衰变过程B a0(1260)

25、中的形状因子A1，A2和A0在大反冲点q2= 0 GeV2对Borel参数M2的依赖关系。其中，轴矢介子a0(1260) 的横向分布振幅的能标为 = 1.0 GeV，阈值取为s0 = 30 GeV2,s0 = 32 GeV2,s0 = 34 GeV2，B介子衰变常数取为fB= 0.19 GeV。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95X中国科学技术大学学位论文原创性声明本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作

26、的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。作者签名：签字日期：中国科学技术大学学位论文授权使用声明作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入中国学位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。保密的学位论文在解密后也遵守此规定。公开保密（年）作者签名：导师签名：签字日期：签字日期：第 1 章绪论第第第 1 章章章绪绪绪论论论今天，量子色动

27、力学(QCD)13是描述强相互作用的基本理论。因为QCD 有渐近自由性质4,5，在它被用于各种硬过程时，夸克-胶子相互作用有效耦合常数s成为小的，相互作用能够被微扰地处理。存在明显的事实，QCD微扰计算的结果和大动量迁移的实验观测是一致的，例如在轻子强子深度非弹散射中的无标度现象，正负电子湮灭产生强子过程中的截面比R反应夸克味道现象，强子强子碰撞过程中产生具有不变动量Q2的轻子对的单举的Drell-Yan过程，轻子轻子或强子强子碰撞过程中产生大动量强子喷注的过程等等。然而，由于量子色动力学理论的特殊红外行为（耦合常数随动量变小而增大），人们无法精确求出低能QCD的解。此时，相互作用的基本单元

28、不是夸克和胶子，而是强子，通常的微扰QCD方法不再适用。如何从QCD第一原理求解强子动力学问题至今还没有解决。用量子色动力学研究低能强子的基本任务和目标是：发展QCD的非微扰方法，揭示夸克色禁闭和动力学手征对称性破缺的本质，以描述低能标强子性质、强子-强子相互作用等现象。QCD非微扰研究的最基本方法是格点QCD。但是格点QCD计算量大、用格点QCD计算物理可观测量时的计算方法有待发展并且缺乏直观的物理图像。因此，在连续QCD基础上发展QCD非微扰方法同样是十分重要的。在这方面发展起来的QCD非微扰方法有Dyson-Schwinger方程方法、有效场论方法，以及QCD求和规则方法等。而一些唯象的

29、模型可以看做是在这些非微扰方法框架下的近似模型。格点QCD用格点规范正规化方法求解QCD，它是最基本的求解非微扰QCD的方法。通常，将欧氏时空离散化为立方格点或随机格点(在闵氏时空时只将空间离散化)，然后，夸克场定义在格点上，胶子场定义在连接相邻格点的链节(link)上以保持规范不变性，由此可将QCD拉氏量以格点规范形式表示。将连续时空离散化为格点，它就自动给出动量空间中的积分截断，由此，我们就可以直接求解格点QCD来计算相关的物理量。Dyson-Schwinger方程是格林函数的运动方程，它是描写场论中格林函数之间关系的耦合积分方程，解这些方程则提供了所考虑理论的解，当所有的n-点格林函数都

30、解出来后，所考虑的场论也就完全确定了。由此，Dyson-Schwinger方程将任何场论的结构都具体表示出来，从而自然地提供了研究场论动力学的有效方法。量子色动力学中的场量是夸克场和胶子场，但是自然界中未发现自由的夸1第 1 章绪论克和胶子，这表明只有夸克和胶子的束缚态-强子是量子色动力学中的真实物理态，而所有关于夸克和胶子的证据来自于强子及其相互作用的性质以及包含电弱粒子参加的过程。关于这些强子的规律应该等价于由QCD的有效作用量演绎出来。这样，我们必须研究怎样从以夸克和胶子为自由度的QCD作用推导出以强子为自由度的有效作用。在技术上，实现这一推导可以借助于泛函积分技术，但由于数学上的困难，

31、至今人们不能导出上述的严格的等价于QCD的有效作用量，而必须采取某种近似。目前，基于这一技术的各种近似模型有手征微扰理论、手征孤立子模型、Nambu-Jona-Lasinio(NJL)模型、整体色对称强子化模型(GCM)以及袋模型等等。QCD求和规则方法由Shifman、Vainshtein和Zakharov6,7在1979年提出，与格点规范相比，它不是彻底的非微扰方法，它仅在算子乘积展开中考虑了真空的非微扰效应。在理论上，QCD求和规则利用了手征对称性破缺的概念，它假设物理真空不同于微扰真空，在物理真空中存在着夸克和胶子场-真空场，因此存在非零的洛伦兹不变和无色复合算子的真空平均值，例如夸克

32、凝聚和胶子凝聚，这些真空凝聚在算子乘积展开中引进了动量平方的幂次修正，它们在低能区起着主导作用。在技术上，QCD求和规则应用了流算子关联函数在x = 0附近的算子乘积展开和色散关系，并假设谱函数可以用几个低能强子中间态来饱和。总之，QCD求和规则并不试图去严格证明真空凝聚的存在，而是假设它们存在，再考虑它们的物理效应。QCD求和规则方法自提出以后，在强子物理的许多方面有着许多应用，如确定轻重夸克、轻重介子的质量，计算介子及重子的衰变常数和耦合系数等等。不仅如此，将最初的两点SVZ求和规则推广到三点甚至四点求和规则，也有着大量成功的应用，如计算介子及重子的形状因子、磁矩，确定价夸克分布函数、光子

33、、介子和介子的结构函数，计算强子重子耦合常数以及一些中性介子K0K0、BdBd和BsBs的混合参数等等。但是，当应用到一些复杂情形时，三点求和规则出现了一些严重困难，如的电磁形状因子的短距离算子乘积展开在大动量时失效，重轻衰变形状因子的短距离算子乘积展开在夸克质量很大时失效。此时高量纲的算子乘积展开项的贡献不是越来越小而是越来越大，因此，短距离展开时截断高量纲算子的方法不再适用。为了解决或将三点求和规则的问题转移至它处，八十年代末产生了针对遍举过程的光锥求和规则方法810。它对算子乘积展开的各阶进行重新求和，根据相关算子的扭度而不是量纲来进行展开；在物理的一方面，在无穷大动量参照系里对部分的横

34、向动量展开取代了SVZ求和规则中的短距离展开，这样，就避免了三点求和规则方法中舍去高量纲算子带来的不确定性，并且将传统求和规则中表示物理真空非微扰效应的真空凝聚吸收到一个新的唯象学表示-强子分2第 1 章绪论布振幅中；同时，利用QCD关联函数中算子满足的共形对称性，将光锥分布振幅表示为上述算子的共形群的表示-盖根宝多项式。在技术层面上，光锥求和规则方法是QCD求和规则与遍举过程联姻的产儿，SVZ中的真空凝聚被光锥分布函数代替，并且被吸收到光锥分布振幅展开的盖根宝多项式的系数中，这些分布振幅具有各种各样的扭度，并有直接的物理重要性。在光锥求和规则方法中，非定域算子的光锥(x2= 0)展开具有十分

35、重要的作用。一方面，对于具体的遍举物理过程，能够进行光锥(x2= 0)展开的条件是不同的。如对于介子的电磁形状因子、强子之间的有效强耦合常数等相关的物理过程，只有当反应过程中的传输动量Q2和末态强子的动量p2很大时，光锥(x2= 0)展开才能成立从而可以应用；又如重轻衰变过程，只有当反应中的传输动量远远小于重介子中的重夸克质量q2 m2b，并且重介子处于大的类空区域(p + q)2 m2b时我们才能进行光锥展开，而这两个条件又会反过来限制光锥求和规则方法能够适用的运动学范围q2。另一方面，光锥求和规则方法中，所有的光锥展开都能最终归结为一个普适的函数-光锥分布振幅，因此，光锥分布振幅的可靠性直

36、接影响了我们最终结果的可靠性。光锥分布振幅与相对论量子场论中束缚态BS方程的解BS波函数有着直接的关系，它是后者在光锥上的傅里叶变换式积掉横向动量后余下的部分，反应了粒子中部分子的纵向动量占粒子总纵向动量的比为各种值时出现的几率。由于光锥分布振幅是因子化定理中重要的强子输入参量，因此能否准确确定光锥分布振幅，直接影响着我们最终结果的可靠性。目前，除了势模型方法是直接利用唯象势构造出一个与实验上一致的波函数进而求出分布振幅外，其它的方法都是通过分布振幅的盖根宝展开式的可重整的系数an()来确定光锥分布振幅的。对于n较小的情况，一般采用求和规则方法来确定an()，但求和规则方法的精度不高。通过实验

37、上测得的一些强子量利用光锥求和规则方法也可以确定an()或是对an()进行限制。除此之外，人们还发展了格点QCD方法，瞬子真空模型方法等等方法来综合确定这些盖根宝系数。物理上，单举过程在理论处理上比较简单，而遍举过程在实验上更容易实现，从而有着极为丰富的实验现象。但是，在这些丰富的实验现象中，一些重大的疑难始终拷问着科学家的心灵，挑战着旧有的理论。在这些疑难中，就有正负电子湮灭产生双粲偶素的过程。目前，非相对论QCD虽然在考虑了相对论修正和辐射修正后给出了较为合理的解释，但它领头阶与实验相差巨大这一点仍然令人难以释怀。本文尝试用光锥求和规则方法研究这一过程，在采用了相对论性的粲偶素介子分布振幅

38、后，得到了与实验符合的结果。随着B工厂的能量越来越高，实验上逐渐可以产生了一些高能的P波轻标量介子和轴矢介子。目前人们对于这些粒子的结构还有很多争议，对它们的分布3第 1 章绪论振幅的认识也有很大的不确定性。正是基于此，我们采用光锥求和规则方法研究这两类过程，以期能增加人们对它们结构的认识。为了减小方法本身的不确定性，我们采用了手征流关联函数，这一方法巧妙的消除了所有高扭度分布振幅的贡献，最终的结果只依赖于领头扭度分布振幅，附带着我们得到了形状因子之间的关系，它们与软共线有效理论一致。当然，该方法还有待于将来的实验来检验。我们的结果只依赖于领头扭度分布振幅，那将能够为P波轻标量介子和轴矢介子的

39、分布振幅提供一个很好的限制，从而增加人们对于这些粒子结构的认识。本论文将采用基于量子色动力学的光锥求和规则方法，研究唯象上感兴趣的双粲偶素和P波轻标量介子和轴矢介子遍举产生过程。本论文可以分成三个部分。第一部分主要是求和规则方法和光锥求和规则方法的理论基础，包括第二、三章。第二部分是运用光锥求和规则方法求解一直以来大家十分关心的正负电子湮灭产生双粲偶素的过程，包括第四章。第三部分则运用光锥求和规则方法计算了未来可以在B工厂上检验的B介子半轻衰变到轻标量介子以及半轻衰变到轴矢介子的过程，包括第五、六章。最后，在第七章我们简单的总结了本论文的主要内容以展望我们未来的工作。在第二章，我们回顾了求和规

40、则方法产生的理论背景：物理真空不同于微扰真空、算子乘积展开、色散关系，并通过一个例子-介子的衰变常数简单介绍了该方法的一些具体细节。在第三章，我们阐述了光锥求和规则方法的理论基础：无穷大动量系中的光锥量子场论、光锥分布振幅，然后以一个十分简单的例子- 过程的形状因子简单介绍了该方法的使用细节。在第四章，我们利用基于势模型的c介子的光锥分布振幅，当考虑了它随有效能标的QCD演化后求出了遍举过程e+ e J/ + c的截面，结果与实验符合。在第五章，我们采用手征流关联函数的光锥求和规则方法求出了B介子衰变到各种轻标量介子过程的形状因子，利用光锥展开的条件(x2= 0)确定了该过程中传输动量q2的运

41、动学区域，并据此给出了该过程的微分衰变宽度，这应该可以被B工厂将来的实验检验。在第六章，我们依旧采用手征流关联函数的光锥求和规则方法但进一步考虑了轴矢介子的横向极化性质，求出了B介子半轻衰变到轴矢介子a1(1260)过程的形状因子，这也应该可以被B工厂将来的实验所检验。需要强调的是，我们对B S(S为轻标量介子)和B A(A为轴矢介子)的工作推广了我们以前的B P(P为赝标介子)和B V 的(V为矢量介子)工作，发现了简单的形状因子关系，这表明这些形状因子之间并不独立，这也与软共线有效理论(SCET)的结论一致。4第 2 章求和规则基础第第第 2 章章章求求求和和和规规规则则则基基基础础础2.

42、1思想起源1979年时，量子色动力学（QCD）13被广泛认为是关于强相互作用的理论。当把它用于所谓的硬过程时，由于出现QCD渐进自由性质4,5，它十分简洁。实际上，夸克胶子耦合常数在短距离时数值很小，故可以用微扰法来处理相互作用。而这样的简化，又似乎与深度非弹性散射实验表现出的无标度行为相一致。另一方面，任何理论必须将长距离的动力学包括进来，这样才会使人易于理解。特别是在强子内部，夸克间的相互作用将夸克们极其牢固的绑成了无法分开的夸克对。当时，人们还没有办法在QCD框架内处理低能强相互作用，也没有什么理论可以评价诸如强子谱之类的问题。除此之外，当时还有迹象表明，夸克囚禁可能是源于QCD的非阿贝

43、尔本质以及非微扰效应。其中有2个方面效应的例子备受关注：一个是Belavin-Polyakov-Tyupkin-Schwartz的瞬子经典解11，另一个是Gribov对强杨-米尔斯场做出的多种可能解释。尽管对非阿贝尔理论的结构的解释叫人印象颇深，但感觉我们还几乎不能由此便过渡到进行直接的计算。由于这样的现状，基于唯象学考虑的共振物理方法提了出来，它提出了一些简单的公式，这些公式可以由理论的最后的发展进行评价。 “袋模型”便是一个著名的例子，它在强子内部引入了能量密度这一概念。Shifman、Vainshtein和Zakharov6,7从“短距离一侧”接近共振物理。这样，他们就从第一原理的角度推

44、导出了一定的结果，但并不是对于谱的完全的计算。对于诸如0dses/M2s1(s) ，他们的计算可以低到直到m2阶的M2的值（有一定的变化性），但对于比m2阶更低的M2的值仍然不行，当M2 时的情况则完全不知，因此，他们的结果是近似（精确度为5 10%）。他们研究的核心对象是幂级数修正。它是QCD的非微扰效应。这可以这样简单解释，瞬子密度正比于ecs(M)，利用s(M) 1lnM，可得瞬子密度 ecs(M) eclnM (e1lnM)c (M2)c/2为幂级数形式。其基本思想是，如果将短距离方法推广至长距离，正是幂级数项（不是s的更高阶项）限制了渐进自由的应用。幂级数项是由0| qq|0 =

45、 0、0|GaGa|0 = 0 等等非零真空凝聚来产生的，它们在pQCD中为零。他们认为，QCD将共振态性质与这些真空凝聚联系起来，从而共振态物理反映了QCQ的真空结构。5第 2 章求和规则基础本小节涵盖了求和规则方法思想诞生及相关的4个方面：物理真空不同于微扰真空、算子乘积展开、背景场方法和色散关系。物理真空一节揭示了求和规则方法所依据的一个基本假设-物理真空不同于微扰真空，从而能够通过具体的形式表达它的效应；算子乘积展开一节简单引入了求和规则方法中将非定域算子展开为定域算子的理论依据；背景场方法一节则是对该方法的具体体现；最后，色散关系一节引入了将短距离类空区域一侧获得的算子乘积展开推广至

46、物理类时区域时的物理和数学的理论依据。2.1.1物理真空实际上，早在六十年代末由流代数和PCAC关系就暗示了夸克凝聚0| qq|0 =0。考虑轴矢流A(x) = u(x)5d(x),(2.1)其中，u(x)，d(x)分别是u夸克和d夸克相应的场量。应用夸克场量运动方程给出它的散度为A(x) = i(mu+ md) u(x)5d(x).(2.2)显然流散度A(x)的量子数与+介子是相同的。轴矢流部分守恒PCAC假定A(x) =2fm2(x),(2.3)其中，f是+介子衰变常数，由+ 衰变常数实验确定，( ) =G2F4f2mm2(1 m2m2),(2.4)其中，f= 93.3 0.3MeV。当介

48、0)|0=2(mu+ md)d4xeiqx(x)0| uu(x) +dd(x)|0+2if2m4d4xeiqx0|T(x)(0)|0,(2.7)在获得最后一个等式时已应用了流算符等时对易关系和PCAC(2.3)式。(2.6)式对任何q成立，在两边取q 0，即软极限可得2(mu+ md)0| :u(0)u(0) +d(0)d(0) : |0=2if2m4d4xeiqx0|T(x)(0)|0|q0.(2.8)在上式左边已取正规乘积定义两夸克场算符乘积，右边需要计算介子场算符的传播子的傅里叶变换，取单极点近似有id4xeiqx0|T(x)(0)|0|q0=1m2 q2+ ,(2.9)式中“”代表连

49、续谱的贡献。将(2.9)式代入到(2.8) 式并取手征极限(m20)就得到(mu+ md)0| uu +dd|0 = 2m2f2(1 + O(m2),(2.10)即准确到O(m2)式(2.10)成立。当mu,md= 0,m2= 0 ，若f= 0，仅可能是0| uu +dd|0 = 0,(2.11)这意味着|0不是微扰真空。类似的讨论可应用到K介子，定义相应的轴矢流和PCAC关系A(x)= u(x)5s(x)A(x)=2fKm2KK(x),(2.12)其中fK是K介子的衰变常数，由K介子衰变常数实验定出fK= 114 1.1MeV。与f相比相差约20%，这与SU(3) 破缺的大小是相一致的。重复

50、前面对介子的推导可得与(2.11) 式类似的下述关系(mu+ ms)0| uu + ss|0=2m2K+f2K(1 + O(m2K)7第 2 章求和规则基础(md+ ms)0|dd + ss|0=2m2K0f2K(1 + O(m2K),(2.13)这些关系式表明所有轻夸克的真空平均值不等于零，即0| uu|0 = 0，0|dd|0 =0，0| ss|0 = 0 。如果假定这三个真空平均值近似相等，那么由(2.10)和(2.13)式消去三个真空平均值得到夸克和介子质量的关系式，ms+ mumd+ mu=f2Km2Kf2m2(2.14)md mumd+ mu=f2K(m2K0 m2K+)f2m2.

51、(2.15)这些关系式并未考虑SU(3)破缺效应。下面将看到SVZ求和规则唯象确定0| uu|0 =0|dd|0 = 0，0| ss|0 = 0.80| uu|0，这与SU(3) 对称性破缺大约在20% 左右时一致的。所以等式(2.14) 和(2.15)近似成立的程度大约在20%左右，并由此可近似估计出轻夸克质量关系msmd= 18 5,mdmu= 2.0 0.4,(2.16)这两个质量关系在考虑到SU(3) 破缺效应和高阶手征效应后略有改变但变化不大。前面由流代数和PCAC获得的0| uu|0 = 0，0|dd|0 = 0，0| ss|0 = 0或0| qq|0 =0意味着强相互作用中手征对

52、称性自发地破缺。取0| uu|0 = 0|dd|0不失为好的近似，由(2.10) 式可以估计夸克凝聚在强子标度( = 1 GeV)下(f= 93MeV )0| qq|0 = f2m2mu+ md= (240 10MeV )3,(2.17)这一数值与QCD求和规则应用到具体过程获得的唯象数值是一致的。作为强相互作用基本理论-量子色动力学理论，它的物理真空产生夸克凝聚，这是QCD的一个重要特点，它对于强子态谱以及强子态的物理过程起着重要的作用。同时，QCD理论中由于非阿贝尔规范场的大范围结构，存在着瞬子(instanton)解，瞬子解性质可以在稀薄气体近似下计算出0|G2|0 = 0。夸克凝聚和胶

53、子凝聚在物理上反映了QCD真空性质很大地不同于微扰真空，QCD物理真空完全是由非微扰决定的。它不断地与夸克、胶子相互作用影响着夸克和胶子的传播，这种真空与夸克或胶子相互作用具有零动量转移，是大距离行为，其标度为 QCD。仅当外动量Q2 2QCD时可以忽略这种相互作用，近似地以微扰真空来代替。当Q2 2QCD时这种来自真空的相互作用不可忽略，必须考虑物理真空的影响即夸克和饺子凝聚的贡献。以上讨论都是对轻夸克而言的，真空凝聚产生手征对称性破缺。对于重夸克Q，m2Q 2QCD，重夸克在强子内部的影响在主导近似下可忽略。即使由胶子凝聚导致重夸克凝聚也是很小的完全可以略去。8第 2 章求和规则基础基于对

54、QCD真空的认识，QCD求和规则引入真空凝聚参量计算了非微扰效应的影响，发展成为一个有效的QCD非微扰方法。2.1.2算子乘积展开对于一个量子的场论，我们通常是从一个拉氏量出发。在拉氏量中，动能项描述相应基本自由度(场)的自由传播，而相互作用的引入可以通过考虑各种可能的由基本自由度构成的顶角而实现，这是非常有效的，而且(当微扰论适用或者模型可解出来的时候)可以给出定量的预言，可以跟实验的结果直接比较.但是，有时候我们会碰到这样的情形:不同的基本自由度(因此不同的相互作用顶角)在描述同一个物理问题中发挥的作用是等效的(给出相同的低能(长程)物理现象)。因此提出如下问题也许是有意义的:有没有一种语

55、言或者框架，使得我们对物理的描述更具有一般性？关于这点一些具体的例子也许是有必要的。比如，在1+1维的Schwinger模型中12，零质量玻色子(”光子”)和费米子(”电子”)的相互作用由他们的最小耦合提供。在把量子的效应考虑之后(在这里，直接的原因是手征对称的反常)，这个模型实际上等价于一个具有能量隙(gap)的囚禁的理论。即”光子”变成有质量的粒子， “电子”和“光子”脱耦变成自由的粒子(当然也就不带“电”了)。事实上，1+1维的场论有一个更一般的现象，就是所谓”玻色化”13。即，在一定的条件下两个Majorana费米子等价于一个玻色子(自由度)。事实上，它们之间的对应关系可以明显地给出来

56、。不过，由一个关系可以把它们联系起来，那就是算符乘积展开(OPE)的关系。也就是说，由费米子和玻色子的OPE以及玻色子和费米子(场算符)之间的关系，我们可以找到它们的OPE之间的一种等价关系。比如，从玻色自由度出发，构造一个算符，使得这个算符的OPE和费米自由度的OPE是一样的，反之亦然。当然，对于4维的场论，我们并没有这样的例子。但是，我们已经有一些比较间接的例子可以说明(也就是，并没有明显给出互相对偶的变量之间的明显关系)，不同的拉氏量可以给出相同的(长程的)物理结果。早在标准模型和QCD的可重整性被证明之前，人们就做过一些尝试，企图通过一些不依赖于作用量的途径得到有用的物理结论。这当中包

57、括Wilson的算符乘积展开14。他给出了一个新的框架，不依赖于拉氏量的具体形式就可以得到(至少是定性的)关子强相互作用的有用的信息(比如一些物理量的短距离或光锥行为)。这个框架被证明是非常有用的，而且是意义深远的。事实上，在纯粹微扰论的框架内，OPE是可以证明的15。从图像上说，这个展开不过是把相关的Feynman 图重新归类成一种有用的形式(按Wilson系数的奇异性展开)而已。当然，包含非微扰效应的OPE的展开以及适用性问题就要复杂一些，对于这样的情形，需要专门的考察。9第 2 章求和规则基础现在让我们比较细致的考察算符乘积展开。算符乘积展开的假设是，两个算符O(x)和O(0)相乘的结果

58、可以展开成定义良好的定域算符的和的形式(一般是一个级数)。定域算符的系数是x 0 = x的函数，这个算符乘积在小距离或者光锥上一般会有奇异，奇异性由这些系数函数刻划；O1(x)O2(0) =nCn(x)On(0)(2.18)写得更加明显一点就是O1(x)O2(0) =n,mCn(x,)x1xnO1nn(0)(2.19)其中，Cn(x,)是包含量子(log)修正的威尔逊系数，重整化的标度是。这些定域算符一般来讲有无穷多个，假设它们构成定域算符的完备集：所有的定域算符都可以按它们展开。在纯粹微扰的框架中，可以证明这个展开具有如下的形式6,7Cn(x) =m=0g2mC(2m)n(x),On(0)

59、=m=0g2mO(2m)n(0),(2.20)其中，C(2m)n(x)是微扰展开到g2m阶对展开系数的贡献。O(2m)n(0)是微扰展开至g2m阶时有贡献的定域算符(由下标n刻划，原则上有无穷个)。因此到某个g2N阶，相关的部分就是:g2Nm=0C(m)nO(Nm)n(0)(2.21)这些定域的算符都是按某种正规化手续定义良好的算符。比如，从纯粹微扰的角度看，产生和湮灭算符正规化就是其中的一种。在这种正规化中，这些定域算符在微扰论的真空态(被所有湮灭算符消灭的态) 中的期望值是零。如果有不包括在微扰论中的别的效应(即，所谓非微扰效应)存在，物理的真空态往往不见得就是微扰的真空态(即，物理的真空

60、态是真正的最低能量态，而微扰的真空则不是)。因此，我们就有这样的结论：如果没有(或不考虑)非微扰的效应，那么这些定域算符的真空期望值是零(因为这时，物理的真空就是微扰的真空)；但是如果存在非微扰效应，这些定域算符就可以有非零的真空期望值。现在，存在的疑问是，如果存在非微扰效应，那么这些定域算符的非零真空期望值是不是完全由非微扰效应提供(即，是不是完全由长程的动力学决定)？仔细的考察发现，对于上述朴素(naive)展开的前面几项(按量纲来分，量纲低的算符在前面)，前面的问题的答案是肯定的，但当量纲达到一定的临界值之后，上述朴素(naive)的展开就需要修正6,7,16。也就是说，对于超过临界量纲

61、的算符而言，10第 2 章求和规则基础它们的真空期望值会有来源于(至少是)小瞬子的贡献(也就是短距离效应)。所以，在这个朴素(naive)的算符展开中，定域算符的非零真空期望值并非全由非微扰效应决定(即，并非完全由长程的动力学决定)。为了让我们的算子乘积展开具有把长程效应和短程效应分离的作用，我们必需把那些可以微扰计算的贡献(比如，小瞬子)从非零的真空期望值中减除掉。关于具体的临界维数的分析和更详细的讨论，可以参考原始文献6,7,16。由于我们展开的维数都不高，同时假设没有别的破坏长程和短程效应分离的情况，所以就用朴素(naive)的算符展开。小距离(x = 0)附近的展开和光锥(x2= 0)

63、q2)n+2其中，d = (dj1+ dj2)/2是j1和j2的量纲和的一半，因为量纲最低的算符是单位算符，而单位算符的量纲是零。另外， = (4 D)/2, D 4是空时维数，即，用的是维数正规化。系数a(n)的定义是a(n) = 42+n2(2 + n )/(n) 。可以看到，这个期望值确实是按量纲展开的，量纲每增加2，相应的项就多一个1/q2的抑制。当q2的绝对值很大的时候(比如在深度欧氏空间区域q2= Q2+)，这样的展开只要前面的几项就可以了。另外我们还可以看到，当q2很大的时候，(2.22)探测的是短距离上的结构。关于这一点，这里采用的是17的说法。因为0|T(j1(x)j2(0)

64、|0只能是x2的函数，做傅里叶变换，然后代到(2.22)里头就是：id4xeiqx0|T(j1(x)j2(0)|0=id4xeiqxd eix2f()=idd4x eix2eiQ2/4f(),(2.23)其中第二个等号是由x平移之后得到的。这个积分只有在x2和Q2/都是量级为1的时候，才有比较显著的贡献：x2 1, Q2/ 1 x2 1/Q2,(2.24)11第 2 章求和规则基础即，光锥附近的x才有显著的贡献。其实，不仅要求在光锥上，还要求x在0的附近，才有显著的贡献。因为q2= Q2 0的值，从大16第 2 章求和规则基础zq2ox x x图图图 2.1复平面上的复变量q2= z回路。图中

65、的小圈示意了QCD计算相应的位置，差号示意q2 0时的强子阈值的位置。类空间隔到类时间隔的变化包含了从小距离到大距离的变化，大距离下夸克-胶子相互作用形成强子，所以两点关联函数(q2)在大距离下包含了很复杂的强子谱和强子可观察量内容。这两方面的联结是通过两点关联函数(q2)在q2复平面上的解析性质相关联的。任意格林函数或S-矩阵元的解析性质的研究起源于上世纪五十年代，由于强相互耦合常数不适合微扰论的应用，人们探讨不依赖于微扰论的公理化场论。公理化场论试图从量子场论必须遵从的几个基本公理性假设出发，最大限度地导出格林函数或S-矩阵元的普遍性质，其中在复平面上的解析性质和由此导出的色散关系就是公理

66、化场论的重要成就之一。这几条基本公理性假定是：Lorentz协变性、微观因果性、Hilbert空间完备性、强子质量谱条件和渐近条件等。这就构成了所谓的Lehmann-Symanzik-Zimmermann(LSZ)场论体系及S-矩阵元化简技术。导致S-矩阵元解析性质的关键是微观因果性假定，即对于任意两点的场算符A(x)和B(x)总存在A(x),B(x) = 0当(x y)2 0(类空)(2.50)色散关系证明的关键是证明格林函数或S-矩阵元在复q2-平面上的解析性。关于17第 2 章求和规则基础解析性的证明已超出本论文的范围，从略。这里将从(q2)是复q2-平面解析函数出发。对于如下的两点关联

67、函数(q) = id4x eiqx0| Tj(x)j(0) |0 = (qq q2g)(q2),(2.51)由于(q2)在q2-平面上是解析函数，它仅在正实轴上有割缝存在，因为最低质量介子是介子，其割缝为4m2 q2 。人们可以对(q2)应用Cauchy定理并取如图2.1 的回路沿正实轴割缝的两岸且回路的半径R ，则有(q2)=12iICdz(z)z q2=12iI|z|=Rdz(z)z q2+12iR0dz(z + i) (z i)z q2(2.52)如果关联函数(q2)在复q2-平面上当|q2| R 时足够快地趋于零，譬如说lim|q2|(q2) 1/|q2|，那么(2.52)第一项在大圆

68、上的积分趋于零，只有第二项存在。第二项的分子除了割缝以外都为零，仅在割缝区域为上、下岸值之差，(q2+ i) (q2 i) = 2i Im(q2)(2.53)其中s0是割缝的起点处。这样(2.52)式就转成为(q2) =1s0dsIm (s)s q2 i(2.54)注意到等式(积分意义下)1 i=P i()(2.55)其中P是指主值积分，则有Re(q2) =1Ps0dsIm (s)s q2(2.56)(2.54)和(2.56)式就是关联函数满足的色散关系，它表达了关联函数的实部可以用它的虚部表示出来。进一步若应用光学定理，其虚部与正、负电子转变为强子的总截面相联系，那么利用实验上测得的截面代入

69、就可以求出它的实部或关联函数本身。然而在很多情况下关联函数的虚部并不能简单地用实验上测18第 2 章求和规则基础得的截面表示出来，需要引入模型来表述它的虚部。这样就显示了色散关系在求解关联函数中的作用，或者说它给出了关联函数实部和虚部应满足的关系式。从因果性、解析性到色散关系这一性质在经典电磁物理中也存在。经典色散关系最早是Kramers一Kronig 在研究介电极化中提出的，色散关系这一名称就是从折射率对频率的依赖关系(色散)而来的。实际计算中关联函数(q2)在复q2-平面上并不满足当|q2| R 时趋于零的要求，色散积分发散，人们通过减除方式来解决。定义(q2) = (q2) (0)(2.

70、57)对(q2)应用Cauchy定理推导就可以获得带一次减除的色散关系(q2) =q2s0dsIm(s)s(s q2)+ (0)(2.58)原则上如果当q2 ，(q2) (q2)N，可以通过N次减除使得色散积分收敛而获得带N次减除的色散关系，式(2.58) 的第二项代之以一个多项式P(q2)，(q2) =(q2)Ns0dsIm(s)sN(s q2)+N1n=0an(q2)n(2.59)(2.59)式第二项就是多项式P(q2)。包含了N个常数项，零次项常数(0)，一次项就是(0)，依次类推。对于两个矢量流的关联函数(2.22)式一次减除(2.58)就足够了。2.2求和规则技巧本节，我们以一个例子

71、的形式展示求和规则方法的具体技巧。我们将用求和规则方法求出介子的衰变常数f17。运用求和规则时，我们首先引入强子夸克流的关联函数，然后对它进行算子乘积展开。这时候，短距离与长距离的夸克胶子相互作用被分离开来，前者用微扰的QCD理论来计算，而后者则用普适的真空凝聚或者光锥分布振幅展开。然后，利用色散关系，上述由QCD理论(含微扰部分和非微扰部分)计算的结果与另外由强子态求和得到的结果进行比较，就得到了求和规则。这样得到的理论的求和规则能够给出很多强子在基态时的实验可观测量。反过来，由实验得到的诸如夸克质量，真空凝聚密度等QCD参数可以从求和规则得出。更为重要的，夸克胶子流与QCD真空场之间的相互

72、作用依赖于夸克胶子流自身的自旋宇19第 2 章求和规则基础称、味道等等量子数，因此，通过在这些流之间插入强子态，就能解释为何具有不同量子数的强子性质的不同。SVZ求和规则方法已经给出了各种味道的强子的很多性质，结果令人鼓舞，并与实验一致。因此，无论何时，要确定一个未知的强子参数，QCD求和规则都是一种可靠的方法。为求出介子的衰变常数f，我们首先引入如下的矢量流关联函数(q) = id4x eiqx0| Tj(x)j(0) |0 = (qq q2g)(q2),(2.60)这儿，我们取矢量流为j(x) = q(x)q(x)。2.2.1背景场中的算子乘积展开我们采用算子乘积的思想，将两个算符j(x)

73、和j(0)相乘的结果展开成定义良好的定域算符的和的形式。对于轻夸克流来说，如果忽略mq的高次项，只保留mq的一次项，则关联函数写为：(q)=id4x eiqx0| Tj(x)j(0) |0=C(1)(q2) I + C(m)(q2)0|0 + C(q2)0|sG2|0+C|2(q2)0|s|02+ C|2(q2)0|s|02+C(q2)0|g3fabcGaGbGc|0 + ,(2.61)其中，洛伦兹指标都包含在威尔逊系数Ci之中。利用前一节得到的背景场中的夸克、胶子传播子的微扰展开式，我们就可以得到上面矢量流关联函数的算子乘积展开。对于微扰的圈图贡献，在文献中已经多有计算，这儿只给出结果，而不

74、再详细推导C(1)(q2) = (qq q2g)142(1 +s)lnq24m2.(2.62)对于威尔逊系数C(m)，由费曼图2.2得(x)=0| ubua|0()(md42x2)ab=md0| uu|0162x2Tr(), (2.63)(q2)=id4x eiqx(x) =md0| uu|0162Tr()id4x eiqx1x2=md0| uu|0162Tr()42q2=md0| uu|0q4gq2.(2.64)对于置换图的贡献，只需将u夸克与d夸克指标互换即可，u d。20第 2 章求和规则基础图图图 2.2威尔逊系数Cm的费曼图。对于上面的费曼图2.2，还有另外的一项(x)=x0| ub

75、ua|0(x)(i22)1x4ab=(i22)imu0| uu|024xxx4Tr()=mu0| uu|025xxx4Tr(),(2.65)(q2)=id4x eiqx(x) =mu0| uu|025Tr()d4x eiqxxxx4=mu0| uu|0252Tr()22q2g2qqq2=mu0| uu|024q2 4(gg+ gg gg)g2qqq2=mu0| uu|0q4qq.(2.66)对于置换图的贡献，(q2)=md0|dd|0q4qq.(2.67)对于威尔逊系数CG2，由费曼图2.3得(x)=TrS(2)F(x)nuS(2)F(x)=g2Tr(TATB)(162)2xxx4Tr0|GA

76、GB|0=g2Tr(TATA)0|G2|0(162)296xxx4Tr =g2Tr(TATA)(162)296xxx4(16)(2gg+ gg+ gg+ gg)0|G2|0=g2Tr(TATA)(162)29616x4(2xx+ x2g)0|G2|021第 2 章求和规则基础图图图 2.3威尔逊系数CG2的费曼图。=g20|G2|04 9641x4(2xx+ x2g),(2.68)(q2)=ig20|G2|04 964d4x eiqx1x4(2xx+ x2g)=g20|G2|04 96442q4(q2g 2qq) +42q2g=0|sG2|012q4(q2g 2qq)(2.69)其它，对于C2

77、的威尔逊的系数，计算类似，这儿不再累述。将以上所有微扰图和真空凝聚的图的贡献全部加起来，就得到了矢量流关联函数的算子乘积展开：(q2) = (qq q2g)142(1 +s)lnQ2m2+1Q40|mu uu + mddd|0+112Q40|sG2|0 22481Q60|02+ (2.70)2.2.2强子谱展开另一方面，在q2 0的区域，由于与流耦合的具有相同量子数的物理强子态的贡献，关联函数会有极点。在唯象的一边，我们可以通过插入具有流的量子数的强子态完备基将关联函数表示出来。以矢量流为例，在关联函数(2.61)的两个流中间插入矢量强子态的完备基，包括矢量单粒子态以及具有矢量量子数的连续态。

78、以dn表示中间态|00|的相空间，以pn表示|0 的动量，利用平移关系j(x) = eiPxj(0)eiPx,有(q)=id4xeiqx0|Tj(x)j(0)|022第 2 章求和规则基础=id4xeiqxndn0|j(x)|nn|j(0)|0(x0)+0|j(0)|nn|j(x)|0(x0)=id4xeiqxndn0|eiPxj(0)eiPx|nn|j(0)|0(x0)+0|j(0)|nn|eiPxj(0)eiPx|0(x0)=id4xeiqxndn0|j(0)|nn|j(0)|0(x0)eiPnx+0|j(0)|nn|j(0)|0(x0)eiPnx.(2.71)利用阶跃函数的积分表示(x)

79、 =12idteitxt i,(2.72)关联函数可写为(q)=12n dndtt i0|j(0)|nn|j(0)|0(q0 p0n+ t)3(q pn)+0|j(0)|nn|j(0)|0(q0+ p0n t)3(q + pn)(2)4(2.73)根据1t i= P(1t) i(t),(2.74)其中P表示主值积分，可以得到关联函数的虚部Im(q)=(2)42ndn0|j(0)|nn|j(0)|04(q pn)+0|j(0)|nn|j(0)|0(q0+ p0n)3(q + pn)=(2)42ndn0|j(0)|nn|j(0)|04(q pn).(2.75)上式最后一步是由于q0与p0n都是大于

80、0的量，不会有q0+ p0n= 0。若只考虑一个矢量介子态V ，矢量流在真空与V 之间的矩阵元定义为0|j|V(pV) = fVmV,(2.76)其中，mV是V 的质量，fV是其衰变常数，表示极化方向。该态对关联函数虚部的贡献为Im(q)=(2)42d3pV(2)32EV0|j(0)|V(pV)V(pV)|j(0)|04(q pn)=f2Vm2V(g+qqq2)(q2 m2V),(2.77)23第 2 章求和规则基础其中用到了d3pV(2)32EV=d4pV(2)4(2)(q2 m2V)(p0V).(2.78)因此，得到1Im(q2) = f2Vm2V(q2 m2V).(2.79)通常，利用Q

81、CD求和规则仅对与流耦合的基态的强子可得到较可靠的结果，而将更高的激发态以及连续态的贡献形式地用谱函数h(q2)表示。这样，唯象一边总的关联函数可表示为1Im(q2) = f2Vm2V(q2 m2V) + (q2)(q2 sh0),(2.80)其中，sh0为最低激发态和连续态的阈值。2.2.3夸克强子对偶上面的唯象一边的表达式是在q2 0的区域得到的。而前面讲到QCD一边的关联函数的微扰计算需要在q2 0的区域计算得到的谱函数(s) = Im(s)/与任意区域内的(q2)联系起来(下面无穷小量i不再明显写出)。结合(2.80)式，得到关联函数的唯象的强子谱表示：(q2) =f2Vm2Vm2V

82、q2+sh0dsh(s)s q2,(2.82)至此，我们已经得到了矢量流关联函数的唯象的强子谱表示(2.82)和算子乘积展开表示(2.70)。在强子谱表示中，除了有基态的贡献，还出现了激发态和连续谱的贡献。在深度类空区域q2 ，所有的幂次压低的凝聚贡献可以安全的忽略，即QCD(q2) pert(q2)，这样就可以得到与色散关系相近似的关系：q2tmindsIm(s)s(s q2) q24m2dsIm(pert)(s)s(s q2)(2.83)为了满足以上关系，需要存在局域夸克-强子对偶关系，即方程两边的积分应当有相同的渐进形式：Im(s) Im(pert)(s)(2.84)24第 2 章求和规

83、则基础从方程(2.83)和(2.84)可以假设：在足够大的Q2= q2时，下列近似关系应该成立：q2sh0dsh(s)s(s q2)1q2s0dsIm(pert)(s)s(s q2)(2.85)这样，就用QCD可算的pert(s)的积分代替了激发态和连续态的积分。其中，阈值参数s0一般应接近第一个激发态的质量平方。夸克-强子对偶关系在e+e湮灭和轻子衰变的实验中得到了证实，方法是通过实验测量激发态和连续谱的谱密度，然后与微扰QCD算出的对应项进行比较。利用J/, l+l衰变宽度的实验数据，就可以显示色偶素道的夸克-强子对偶关系成立。利用夸克-强子对偶近似(2.85)，我们可以减除掉不清楚的激发

84、态和连续谱的谱密度的积分，这样就可以将基态强子用QCD参数和真空凝聚表示出来。2.2.4Borel 变换及求和规则在本章第二节第一部分中给出了q2 2下关联函数的QCD算子乘积展开式，其中，威尔逊系数可由QCD微扰论近似得到；而另一方面，运用色散关系，我们已经将q2 0区域解析延拓到了q2为任意的区域，当然也包括q2 2的区域。由于这两种形式都是从关联函数推导出来的，应该相等，我们就得到了如下的求和规则：q2f2m2(m2 q2)+1q2s0dsIm(pert)(s)s(s q2)+ (0)=(qq q2g)142(1 +s)lnQ2m2+1Q40|mu uu + mddd|0+112Q40|

85、sG2|0 22481Q60|02+ (2.86)这儿，表示其它没有明显写出来的更高量纲的真空凝聚项的贡献。从上面的求和规则可以看出，量纲越高的项的Q2= q2的幂次越高，从而被压低的也越厉害，因此，当Q2增大时，只取前几项凝聚项就是很好的近似了。例如可以取量纲d 6，这样只有少数3-4个凝聚项就可以很好的近似描述关联函数了。但是，另一方面，上面求和规则的左侧用积分表示的唯象的强子谱的可靠性却并不高。当Q2小时，强子窄宽度共振态近似是很好的，但是，随着Q2增大，连续谱的贡献增大，计算中的不确定性，尽管利用夸克-强子对偶来表示了激发态和连续谱的贡献，但可靠性仍然不高。因此，求和规则的算子展开一侧

86、希望Q2越大越好，但求和规则的唯象谱一侧却希望Q2越小越好。问题就成了如何选择合适的Q2，以使等式两边都有好的近似从而减小不确定性。25第 2 章求和规则基础在数学上，Borel变换恰好可以起到这样的作用。对于任意函数f(x),它的Borel变换ef()为ef()=12ic+icie/xf(x)xd(1x),(2.87)其反变换由下式给出f(x)=12i0e/xef()xd(x).(2.88)利用定义容易得到，如果f(x)是一个幂次求和式f(x) =n=0anxn,(2.89)则其Borel变换为ef() =n=0annn!.(2.90)ef()比f(x)收敛性更好，因为多了一个n!因子压低高

87、项。定义Borel算子BM=limq2,nq2/n=M2(q2)n(n 1)!(ddq2)n,(2.91)由此可得BM(1Q2)k=1(k 1)!(1M2),(2.92)BM(eaQ2)k=(1 aM2),(2.93)BM(1s + Q2)k=1M2es/M2,(2.94)BM(Q2)kln(a2Q2)=()k+1k!(M2)k.(2.95)利用这些关系，就可以改进(2.86)的近似程度。f2Vem2V/M2+1sh0ds (pert)(s)es/M2=142(1 +s(M)0ds es/M2+2mM2+sGaGa12M211281s2M4.从算子乘积一侧中消除与唯象谱一侧的连续谱相应的部分，

88、这相当于将算子乘积一侧的积分区间变为0 s0，进一步将积分积出来，就得到了如下的求和规则：f2=M2em2/M2142(1 es0/M2)(1 +s(M)+(mu+ md)M4+112sGaGaM411281s2M6(2.96)26第 2 章求和规则基础fMeVM2GeV21801902002102202302402502600.40.60.811.21.41.61.8图图图 2.4在s0= 1.7 GeV2，用SVZ求和规则给出的介子衰变常数随Borel常数M2的变化(实线表示)，下面和上面的虚线分别对应于s0=1.5 GeV2和s0= 2.0 GeV2的

89、情形，两个三角形之间表示允许的Borel参数范围。27第 2 章求和规则基础2.3参数确定从方程(2.96)可以看出，非微扰参数f与Borel参数M2和阈值参数s0的选取有关。先考虑Borel参数M2的选取。在选取Borel参数M2时，一方面M2不能太小，这是由于M2太小时，高量纲算符的真空凝聚及其威尔逊系数与1/M2的高次幂成正比，当M2太小时，这些高量纲算符的贡献不可忽略，因此，M2“应有一个下限，以压低被截断的高量纲项的贡献，确保算符乘积有限展开有效而避免忽略高量纲贡献而带来的错误” ；另一方面，M2不能太大，M2太大会使得高激发态及连续态贡献不能压低以致“夸克-强子对偶”近似不能保证，

90、因此“M2也应有一个上限以保证高激发态及连续态贡献很小” 。按照实验数据，道的第一个激发态在s 1.5 2GeV2，因此s0应当在这区域附近。为了确保量纲为6的项贡献小于10% ，同时s s0的色散积分部分贡献小于方程(2.96)右边整体的30% ，我们可以得到Borel 参数区域:0.5 M2 6的项的忽略。因为在对关联函数作算符乘积展开时，只算到量纲为6的算符的贡献，而忽略了量纲大于6的算符的贡献，这会带来5%的不确28第 2 章求和规则基础定性。d.微扰贡献的不确定性。从标度的变化及微扰项的更高阶的s修正项会带来3%的误差，对d = 0的威尔逊系数的修正可忽略。把a-d的所有不确定性合起

91、来，可以得到SVZ求和规则预言的结果有10%的不确定性fBorel= 213 20MeV(2.99)这与实验数据fBorel= 216 5MeV(2.100)非常吻合。2.4应用总结由以上的过程我们可以看出，QCD求和规则有三个基础：1.在中等能区，当真空为QCD真空时，关联函数可作算符乘积展开到有限项。2.对关联函数在色散关系中的谱函数可以用几个最低能强子态作中间态插入，并认为它们在一个好的精度内饱和了谱函数。3.夸克-强子对偶近似成立。用QCD 求和规则计算强子非微扰参量的一般步骤：1.根据要计算的强子非微扰参量，选取适当的关联函数。2.用色散关系给出关联函数的强子表示，即用一系列强子态来

92、表示关联函数。3.用算符乘积展开给出关联函数的QCD 表示。即把短程效应用微扰QCD给出，长程效应用真空参数表示。4.对两种表示作Borel变换，消除强子表示中的减除项，压低高激发态及连续态的贡献。5.把两种表示经Borel变换后的形式等同起来后，用夸克-强子对偶近似减除高激发态贡献。6.选取Borel参数M2和阈值参数s0，找到Borel参数窗口，最后得到QCD求和规则给出的预言值。QCD求和规则的应用：QCD求和规则在建立之后的30多年，已被广泛地应用于强子物理的许多方面：1.确定轻夸克(u，d，s)和重夸克(c，b)的质量。29第 2 章求和规则基础2.确定介子和重子的形状因子。3.确定

93、轻、重介子及重子的质量和衰变常数。4.确定相关K0K0，BdBd，BsBs混合的强子矩阵元。5.确定介子和重子的磁矩和耦合系数。6.确定核子的价夸克分布函数、光子、介子和介子的结构函数。7.确定在高温高密下的强子特征量。8.确定一些有效理论，如手征微扰现论(PT)，重夸克有效理论(HQET), 非相对论QCD(NRQCD)的参数。9.确定非 qq强子(胶球，混杂态)的谱和特征。另外，QCD求和规则的应用中存在着下述不确定性：1.Borel参数M2和阈值参量s0的依赖性。因此，寻找物理量相对于Borel参量的稳定平台并估算不确定性很重要。2.夸克、胶子等真空凝聚参量变化对物理量带来的不确定性。3

94、.忽略高量纲真空凝聚带来的误差。4.微扰贡献的不确定性，包括对标度的依赖性和忽略高阶修正对物理量带来的不确定性。30第 3 章光锥求和规则基础第第第 3 章章章光光光锥锥锥求求求和和和规规规则则则基基基础础础粒子物理学的中心问题是根据强子里的夸克和胶子来确定强子结构。在过去30年里，人们发展处两套完全不同的强子描述方法。一种是组份夸克模型或夸克部份子模型，它与实验观测有着紧密联系。另一种是建立在协变非阿贝尔量子场论基础上的量子色动力学。能够将这两种方法联系起来的似乎只有量子色动力学的波前形式了。它由哈密顿规范固定公式构成，避开了场论中等时对易中的很多很困难的问题。3.1思想起源八十年初，人们越

95、来越清楚地认识到，在QCD框架里必须要可靠的分析大动量负幂修正的项，这或许可以解释所观测到的强子结构函数在中等能量Q2= 1 10 GeV2处的标度破坏行为和其它的强子结构现象。当然，SVZ提出了强调幂级数修正的求和规则的精确方法。该法从QCD第一原理出发，取得了重大成功。SVZ最初的公式已经被推广到求强子的形状因子，外场中的静态属性，复杂定域算子的强子矩阵元，强子波函数等等。将SVZ求和规则用于求 p过程的幅度8。关联函数取为(p,q)=i2d4xd4yeipx+iqy0|T(p(x)j(y) (0)|0(3.1)p21=p2,p22= (p + q)2,1 GeV2与重子P,具有相同量子数

96、的相应流为P(x) = (uaCub)5dcabc,(x) = (uaCub)5scabc,(3.2)电磁流为j(x)=eu uu + eddd + es ss,(3.3)ed=es= 12eu= 134.(3.4)归一化点2= p2 1 GeV2，标准4费米子有效弱哈密顿量为Hw=2GFsinccoscc(dLuL)( uLsL) (dLsL)( uLuL)+c1(dLuL)( uLsL) + (dLsL)( uLuL)(3.5)31第 3 章光锥求和规则基础c1= (s(2)s(m2W)1/b, = 21= 4,b =113Nc23Nf.将在中等欧式能标点p21,p22 1 GeV2的算子

97、乘积表示和强子谱表示进行比较，前一表示是源于深度欧氏空间区域的按p2展开的OPE，后一种表示是利用色散积分表示的闵氏空间的强子态及跃迁 p 。用OPE展开式的幂次的前几项辅以高阶质量项对色散积分的修正，就可以较好估计出所需的幅度。物理上，这表明存在一个中等间隔区域，在该区域，大距离展开和小距离展开同样成立并且形式简单。3.1.1求和规则继续下去，可以发现，与强子流相联系的大的欧氏动量p2 并不能确保特征长度就一定小，对y的积分没有限制，|y| |x| 1p和|y| |x|的贡献都应考虑进算子乘积展开展开式中，但是是以完全不同的方式。用有效拉氏量的语言来说，将关联函数用算子乘积展开相当于对迅速变

98、化的场进行积分。根据标度是|y| |x| 还是|y| |x|，真空场的有效拉氏量中出现两类定域算子，前一类相当于所有三个顶点的收缩项，后一类相当于只有重子流进行收缩，这会产生电磁流关联函数从而产生双定域算子(不想传统上那样只有定域算子的贡献)。算子乘积展开的这种双重结构已经在QCD求和规则中被人们研究过，并引发人们计算外场中的静态强子性质、低q2形状因子、相关矩阵元等等。但是，由于运动学很不同，上面的研究不能运用到当前的任务中。将算子乘积展开的定域算子进行协变微分，矩阵元前就多出一个qpp2相乘因子。通常的低q2和q2 0时重子形状因子计算相当于q的零分量项，那么，qpp2就成为q2p2阶的一

99、个小的参数，从而对p2的各次展开，我们只需考虑有限个双定域算子就可以了。目前，一个典型的深度非弹性散射或者遍举过程的运动学能区是q2= 0, |q| = 0。对于由某个扭度任意量纲的定域算子形成的电磁流j(y) 所构成的关联函数，相应的各种双定域幂修正等权贡献，在p2一定幂次之前又产生了由相应矩阵元来确定的qpp2的幂级数展开形式的系数。因此，我们需要有将一定扭度的无穷个双定域幂级数修正项加起来的指导性原则，这要借助QCD的近似共性不变形。对于上面的关联函数，在将它的强子表示的色散积分与大的虚动量处的算子乘积展开展开表示进行对比以抽取强子平均值时，这儿的算子乘积展开展开式和色散积分都十分复杂：

100、1.首先，大的y2 1/p2成分产生了一种新型的真空期望值形式的所谓“双定域幂修正(BPC)” ；2.其次，要从具有单极点h|j|连续谱m2hp2的项的背景中小心提取相应的h|j|h(m2hp2)2的项，但是前面的背景项在通常的布莱尔变换后并未被压制；3.最后，算子乘积展开高量纲展开中的项将导致结果依赖于重整化方案的选取。32第 3 章光锥求和规则基础现在，已经知道后两个困难可以通过对强子流引出的两个新动量p1=p, p2= p + q(相互独立) 的双布莱尔变换来克服9。这样处理后，色散关系大大化简了，但是算子乘积展开却更加复杂了，我们必须考虑双定域幂修正项的关于1p2的各阶无穷多项(qpp

101、2 1)，人们也曾提出其它几个处理技巧23。比如，在某些情况下，在前面的关联函数积分式中插入(qx)，但这会破坏色散关系的简洁性故并不可行；另一方法是写出前式在q2处的色散关系，然后用通常求和规则的方式从q2= 的可计算的行为重建出q2= 0处的行为。q2= (p1 p2)2= 0条件比较特殊24，需要对算子乘积展开进行修正以包括相应于“t道”(x大，y大，且|x y| 1P1,2)中表示大距离贡献的所谓双定域幂修正项。若令p1= p2= p，则修正的算子乘积展开的结构易于理解。正是由于这一特殊条件存在，这儿的过程稍稍不同于形状因子的情形：对剩下的变量进行普通的色散处理，则我们感兴趣的项就可以

102、表示成乘有双极点因子1(m2p2)2的项了。将最初的SVZ求和规则推广到三点函数时，这种处理十分成功，有着大量的应用。可以藉此求得介子、核子的中等动量传输时的形状因子、D介子衰变形状因子、重子磁矩、轴常数、gNN、gBB以及其它一些可观测量。但是，应用到复杂情形也要付出一定代价。三点求和规则的一些特殊困难严重限制了它们计算的精度和应用的广度。这些困难是：1.短距离真空凝聚的算子乘积展开展开在大动量/大质量时失效破坏了求和规则的算子乘积展开展开。比如，对于介子的电磁形状因子F(Q2) 常数1 1Q2+ 常数2 g2G2M4+ 常数3Q2 qq2M8+ .(3.6)当Q2 3 5GeV2时，F(Q

103、2)开始不断增大。该公式只有在0.5 Q21.5 GeV2时才可以运用。又如，对于重轻衰变B e 的形状因子A1(q2= 0) 常数1 1m3/2b+ 常数2 m1/2b qq + 常数3 m3/2b qgGq + . (3.7)当不变轻子对的质量q2很大时，展开参数是末态介子的能量m2bq22mb，从而仍有A1(q2 )不断增大。2.从基态向激发态的“非对角”跃迁破坏了三点求和规则的谱表示。当传输动量为0，即q2= (p2 p1)2= 0时，有贡献的为p2= m2h处的双极点项。但是从基态到激发态的跃迁产生的是不被布莱尔变换压制的单极点项(无法处理)1(m2h p2)2 h|J|h +1(m

104、2h p2)1(m2h m2h) h|J|h + .(3.8)33第 3 章光锥求和规则基础3.1.2光锥量子场论3.1.2.1光锥场论物理思想在粒子物理唯象领域的各个时代，强子的束缚态的结构始终是问题的关键所在。例如，在核子形状因子产生过程中，碰撞截面不仅依赖于其中的夸克流，它也依赖于夸克与初末态强子的耦合。现在，B工厂中大量遍举衰变过程既依赖于不同味道的夸克之间的弱跃迁，又依赖于描述B介子的波函数，且轻强子由夸克和胶子组成。不像深度非弹性散射测到的领头阶扭度的结构函数，这些遍举过程对分布振幅量级的强子结构十分敏感，对于各种夸克流的贡献和多部分子分部振幅的贡献之间的相容性也十分敏感。电弱理论

105、中，在可靠的计算弱衰败分布振幅时，一个还属未知的问题是如何求出强子矩阵元。算子乘积展开的系数函数可用于计算多种实验量，但是，从本质上来说，这些系数函数仍然是未知的，只能靠估计得到。一般来说，计算形状因子和遍举散射过程详细的依赖于一个一般洛伦兹参照系里的被散射的强子的分布振幅结构。甚至连计算质子磁矩也需要推动参照系里的波函数。因此，人们需要一种可用于QCD的实际的计算方法，它不仅要能确定它的谱，还要能给出可用于一般强子物理的非微扰的强子矩阵元。解相对论束缚态问题，直观上是解规范固定的哈密顿量的本征值问题。光锥哈密顿量理论中的自然规范是光锥规范A+= 0，这时，胶子有两个横向自由度。人们猜想，应该

106、有一个多粒子Fock态可供展开，目前这个问题还没解决，如果解决了，我们就能够用基本的自由度来计算强子结构了。不仅如此，即使在最简单的阿贝尔的量子电动力学场论中，我们对强子耦合区域的束缚态解的问题仍然知之甚少。在非阿贝尔的量子色动力学场论中，计算束缚态必须同时解决几个理论上的困难：禁闭问题，真空结构，(无质量夸克)手征对称性自发破缺，用未束缚的粒子数描述相对论性的组份的复合体的波函数必须能够描述一个具有任意动量和螺旋度及其它任意量子数的系统。建立在等时对易量子化基础上的传统的Fock 态展开方法在处理相对论性量子场论的复杂真空时立即便显得难以应付，而且，将强子波函数从强子静止参照系推动到运动参照

107、系的问题的复杂性堪比解决束缚态问题本身。因此，人们在近代的量子场论教科书中几乎找不到一点哈密顿量的迹象。这正反映出当前哈密顿形式已经过时，其中已经混杂了很多难以克服的困难。而等时哈密顿方法中的平方根算子尤其是一个严重的数学困难。即使解决了这些困难，如上所述，人们也只是在静止参照系里得到了本征问题的解。实际上，从某种意义上看，作用量原理与哈密顿原理互为补充、各有长处。在可解模型中，二者能够互相转译；在此之外，那就依赖于要解决的问题34第 3 章光锥求和规则基础的类型了。作用量原理方法很适合求截面，哈密顿方法则适合于求束缚态，对于复合体系其中的各个组份粒子又从属于各自的束缚态时，哈密顿方法在描述组

108、份夸克模型、深度非弹性散射、遍举过程等等情形之间的联系时似乎是必不可少的。在组份夸克模型中，介子由正反夸克构成，重子由三个夸克或三个反夸克构成。这些组份之间通过唯象势联系，这可以解释强子的质量，衰变率，磁矩等等性质。但是，组份夸克模型中没有明显的手征对称性自发破缺的效应，实际上它是完全禁止这种手征对称性的，因为按强子的标度，其中的夸克质量很大，占到介子的一半或重子的三分之一强。上下夸克330MeV ，奇异夸克190MeV 的值远远大于几个(或几十个)MeV 的流夸克的质量，即使是上下夸克与奇异夸克的质量比在夸克模型和流夸克模型里也是十分不同的。如果要在某个模型中添加一个束缚的胶子，为了限制该胶

109、子对分类机制可能会造成的影响，人们必须再给该胶子分配一个夸克质量量级相同的质量，但这会破坏QCD的规范不变性。幸好，独立于洛伦兹参照系构建的“光锥量子化”开启了一条避开上面困难的道路。这时，不会出现平方根算子，真空结构也十分简单。在光锥量子化的真空里，不会自发产生有质量费米子。实际上，有很多理由可以解释为何要在固定的光锥时间上量子化相对论性的场理论。1949年，狄拉克25说，在所谓“波前哈密顿动力学中” ，包含了某种洛伦兹推动在内的庞加莱群的生成元中，独立于相互作用的生成元的数目最大。事实上，与传统的等时哈密顿公式不同，在与光锥相切的平面(类光平面)上量子化时，不用考虑特殊的洛伦兹参照系。人们

110、构造出以不变质量平方M2为本征值的算子，相应的本征矢量则描述具有任意四动量和不变质量M的束缚态，这能计算出散射振幅和其它动力学量。该法最显著的优点是光锥真空十分简单。在许多理论里，自由哈密顿量的真空态也是总光锥哈密顿量的本征态，而该光锥真空态上的福克(Fock)态展开提供了一组可将完整理论对角化的完备的相对论性多粒子基底。与等时量子化相比，简单的光锥福克态表示直接联系着下面的事实：由于Fock真空是完全哈密顿量的本征态，所以光锥上的物理真空结构更为简单。这是因为，总光锥动量满足P+ 0，并且保持守恒，从而物理本征态的所有成分直接与该态而不是与不连通的真空起伏相关。在Tamm-Dancoff方法

111、(TDA)或有时也在分立光锥量子化(DLCQ)方法里，人们通过截断福克空间获取近似场论。由于组份夸克模型曾取得了成功，人们假设：几个激发态描述了基本的物理，福克在空间添加更多的激发态仅仅使初始近似更加精确。威尔逊26强调，费曼的部分子模型取得的的成功使人们看到了波前法最终成功的希望。强子物理最重要的任务之一是，从协变的理论中求出谱和物理粒子的波函35第 3 章光锥求和规则基础数。DLCQ就是以此为目标的方法。从它诞生之日27,28起，人们已经利用它解决了许多问题，也留下了一些开放的问题。现在，DLCQ 是量子场论中解决束缚态最强有力的工具29,30。它的困难如下，正如传统的非相对论多体理论一样

112、，DLCQ的出发点也是哈密顿量。动能是简单的单体算子，势能至少是两体算子，比较复杂。如果能解出哈密顿方程的一个或多个本征值和本征函数，就能够解决问题了。通常，人们将本征态展开为单粒子态乘积，而这些单粒子波函数又是任意“单粒子哈密顿量”的解。在两体相互作用的哈密顿量的矩阵元中，由于哈密顿量能最多改变2个粒子的态，这些矩阵元的大多数为0，哈密顿量结构是分成五块的对角矩阵，但是，每一块内部的维数却是无穷的。通过人为截断，块矩阵维数变为有限，如单粒子的量子数。但是，一个有限维矩阵可在计算机上对角化，从而近似地解出相应的问题。当然，最后还要证明物理的结果对截断和其它共形参数非常敏感。早期的一维空间总的计

113、算显示，结果迅速收敛于一些精确的本征值；对多至30个粒子的精确本征值和本征函数的计算，本法一直很成功。由此也可看出，分离平面波，适用于多体问题。3.1.2.2光锥场论量子化大距离下QCD真空非微扰效应始终是个没有解决的问题。它在低能下对真空结构产生重大影响，但是随着能量增加，这些问题对短距离下相互作用的影响可以忽略不计。因此在无穷大动量坐标系来看，理论的真空结构就简单多了。无穷大动量坐标系是一种以接近光速运动的参考系的极限，最初是为了解决理论中的真空涨落和拓扑复杂性以及在流代数中所遇到的类似问题而提出的，后来发现，如果选取一种新的时间 = t + z轴和Z = t z轴，对和Z进行时空编序和正

114、规量子化时，其结果是一样的。在这一节，我们将概括性地介绍光锥上的正则量子场论，这对于解决我们前面遇到的3点求和规则的问题有着重要的意义。在光锥上建立量子场论，主要分为以下几个步骤：1.明确理论的拉氏量L中的动力学自由度。2.在固定的光锥时间 = t + z( = 0)上，确立动力学场量之间的对易关系。3.由这些动力学场量产生态。4.将非独立的场量用上述独立的场量表示，写出光锥哈密顿量，以描述态随固有时的演化。5.推导按固有时编序的光锥微扰论。6.考察光锥量子化后系统的洛伦兹对称性，以了解态的具体特征。36第 3 章光锥求和规则基础首先将普通的逆变的4维时空坐标x= (x0,x1,x2,x3)

115、= (x0, x,x3) = (x0, x) .(3.9)变换为无穷大坐标系中光锥时空坐标x= (x+,x,x1,x2) = (x+,x, x) .(3.10)其中x+= x0+ x3,x= x0 x3, x= (x1,x2).(3.11)表示类时、类空和横向坐标。相应的度规张量则变化为g=0200200000100001,g=012001200000100001.(3.12)任意两个矢量的标量积在新的度规下表示为x p = xp= x+p+ xp+ x1p1+ x2p2=12(x+p+ xp+) x p.(3.13)量子色动力学中规范不变的拉氏密度为L=12Tr(FF)+12(iD m) +

116、 h.c.,=14FaFa+12(iD m) + h.c.,(3.14)其中,我们不熟悉的因子2是由色矩阵对易关系出来的，质量矩阵为色空间中对角矩阵m = mcc，场强为FA A+ igA,A,FaAa Aa gfarsArAs,(3.15)协变微分矩阵为Dcc= cc+ igAcc，迹为0的3 3维矩阵Acc(x)为Acc=1213A8+A3A1 iA2A4 iA5A1+ iA213A8 A3A6 iA7A4+ iA5A6+ iA723A8(3.16)给定拉氏量密度后，我们可以按通常的办法用独立场量和它们的共轭场量来表示能动量张量和场强张量。在给定的光锥时间，比如说 = 0时，独立的动37第

117、 3 章光锥求和规则基础力学场量取为和Ai，其共轭场量为+和+Ai,这儿，= 0 3，+=120+表示投影算子，满足+ = 1 ,+= 0 ,2+= +,2= .(3.17)共轭场量利用独立场量表示为=1i+iD + m+=e1i+gA +A+=0A=2i+i A+2g(i+)2i+Ai,Ai + 2+Ta+TaeA+2g(i+)2i+Ai,Ai + 2+Ta+Ta(3.18)这儿， = 0，而 = 0 在固有时 = 0处，独立场量用产生和湮灭算子展开为+(x)=k+0dk+d2kk+163(b(k,)u+(k,)eikx+ d(k,)v+(k,)e+ikx),Ai(x)=k+0dk+d2k

118、k+163(a(k,)i()eikx+ c.c)(3.19)其中，k = (k+,k)，旋量波函数为：u(p,) =1p+(p+ m + p)(),for = +1,(),for = 1,(3.20)v(p,) =1p+(p+ m + p)(),for = +1,(),for = 1,(3.21)-旋量波函数为() =121010and() =120101.(3.22)假设产生湮灭算子之间的对易关系为b(k,),b( p,)=d(k,),d( p,)=a(k,),a( p,)= 163k+(k p),b,b = d,d = = 0,(3.23)38第 3 章光锥求和规则基础这儿，表示夸克或胶子

119、的自旋，这些关系也表明场量与它们的共轭量之间的对易关系为( = x+= y+= 0, x = (x,x),):+( x),+( y)=+3( x y)Ai( x),+Ai(y)=iij3( x y).(3.24)利用上面量子化时产生的产生湮灭算子，就可以定义当固有时为 = 0时场论中的真空和福克态。我们定义真空为b|0 = d|0 = a|0 = 0，而福克态则定义为产生算子作用在真空上产生的态。这些态随固有时的演化则由光锥哈密顿量决定：光锥哈密顿量可以用前面的独立场量和它们的共轭场量来表示，这儿不再累述。为了标记这些福克态，我们需要知道光锥坐标系中这些福克态中的守恒量子数。我们从普通的坐标系

120、中庞加莱群的代数出发来逐步认识这一点。在普通时空中，任意自由粒子的能动量4矢量P= p和角动量张量M=xp xp在取如下的量子化条件1ix,p = 时，满足如下的庞加莱代数关系：1iP,M=gP gP,1iP,P = 0 ,1iM,M=gM+ gM gM gM.(3.25)由这些对易关系，容易知道它们形成了庞加莱群。问题是这些算子中到底有几个并且是哪几个算子能够同时对角化，或者说，如何将该庞加莱群的所有不可约幺正变换进行分类呢？狄拉克提出，相互对易的算子数目不会超过7个。我们首先引入Pauli-Lubansky矢量V PM，其中为全反对称张量，V与推广的4矢量正交PV= 0，且与其它原有的生成

121、元满足下面的对易关系1iV,P=0 ,1iV,M=gV gV,1iV,V=VP.(3.26)这样，就可以选择下面的6个作为相互对易的算子：(1)不变质量平方M2= PP,(2-4)三个类空动量P+及P,(5)总自旋的平方S2= VV,(6)V 中的一个分量，V+,我们将其称为Sz。39第 3 章光锥求和规则基础变换到光锥坐标系，我们引入新的算子B1= M+1=12(K1+ J2),B2= M+2=12(K2 J1),M12= J3,M+= K3.则不同于普通坐标系中的6个守恒量算子，在光锥坐标系下，我们得到了7个守恒量算子：M+,B,所有的P.(3.27)在光锥坐标系下，还有另外两个光锥角动量

122、算子S1= M1=12(K1 J2),S2= M2=12(K2+ J1),(3.28)但是，由于它们与P和HLC都不对易，我们在这里不关注它们。我们定义光锥哈密顿量为HLC= PP= PP+P2(3.29)至此，态就能够用与光锥哈密顿量对易的6个守恒量算子，即1个不变质量算子M、3个动量算子P+、P，1个推广的总自旋算子S2以及1个该自旋算子的纵向投影算子Sz来标记了| =?;M,P+,P,S2,Sz;h.(3.30)这里，h表示该态可能具有的电荷、宇称、重子数等其它的量子数。进一步，态| 应该能用一组完备的本征态d | =ndn |nn| = 1(3.31)来展开成| =ndn |nn/h(

124、q)，d(q)和a(q)分别表示产生裸轻子(电子和夸克)，裸反轻子(正电子和反夸克)，裸矢量玻色子(光子和胶子)的产生算子。为了简单，我们只标明了三个指标福克态的k+i，ki和分立螺旋度i，而将其它指标略去了。3.1.2.3光锥场论中的本征问题我们知道，在普通坐标系中，束缚态用相对论协变的Bethe-Salpeter方程来描述。在量子电动力学中，Bethe-Salpeter已经成功的用于求解氢原子的波函数。但是，这一方法使用起来非常复杂，尤其是当将它用于多体束缚态时，那几乎成了一项不可能完成的任务。另外一种直观的想法是将解束缚态问题直观的理解成求如下的质量为M、动量为P的系统的本征值问题H |

125、 =M2+P2|.(3.34)但是，由于上面的本征方程并不协变，它的真空十分复杂而且难以理解，并且该本征方程中出现的平方根算子在数学上也很难处理；即使上面的问题能够克服，我们也只能确定出系统在静止坐标系P = 0中的本征解，而从静止系向我们所需要的运动系的推动变换的难度一点都不亚于将哈密顿量进行对角化的难度。因此，我们必须另觅它法。在光锥坐标系中，所面临的本征问题有些类似，我们也是要求解如下的本征方程H | =M2+P22P+|,(3.35)这儿P=inki,P+=ink+i,k+i 0.(3.36)这个方程比较简单。这是因为，首先，算子P+为正值，不象原来的Pz可正可负，其次，不出现平方根算

126、子，而且推动算子是运动学的；再次，相应的本征值为0，也即，P|0 =0，而P+|0 = 0。在普通时空中量子化时，束缚态中的部分子由它的普通3动量来描述k =(kx,ky,kz)。由于k的每一个分量可正可负，因此，会存在总动量为0模的福克41第 3 章光锥求和规则基础态，这些态与0粒子态的混合共同构成系统的基态，即真空态。但是，在光锥坐标系中量子化后，形成0模态的粒子的k+几乎为0，因此，福克态的真空精确的就是光锥哈密顿量的本征态，这与普通坐标系中等时量子化后的结果很不相同。由于k+i 0，P+ 0，我们如下定义关于推动不变的纵向动量份数xi=k+iP+,0 xi 1.(3.37)本征福克态|

127、n =?n : xi,ki,i中各个组成粒子的4动量为ki (k+,k,k)i=(xiP+,ki,m2i+ k2ixiP+),i = 1,.,Nn,(3.38)这些粒子满足在壳条件(kk)i= m2i。而且，作为本征态的福克态本身也是在壳的，因为它们的不变质量平方fM2=ePeP可以写为(Nni=1ki)P+P2=Nni=1(ki+ xiP)2+ m2ix)P2=Nni=1(k2+ m2x)i.(3.39)在实际坐标系时，P=0，而xi和ki则由上面的方程(3.36)知需要满足限制条件Nni=1xi= 1,Nni=1ki=0. ,(3.40)3.1.2.4光锥场论中的领头扭度分布振幅随能标的演

128、化一旦求得n的具体形式，我们就能利用它确定出强子的许多性质以及与它有关的许多物理量。如深度非弹性散射的结构函数，形状因子等等。但是在许多过程特别是大动量转移的遍举过程中，由于价夸克福克态的贡献占主导，所涉及的只是其中价夸克态的分布振幅，因此，我们通常引入如下的光锥分布振幅32(xi,Q)=(lnQ22)F/Q2d2k163(Q)(x,k),(3.41)(Q)(xi,k)=Z2(Q)Z2(Q0)(Q0)(x,k).(3.42)这儿，(lnQ22)F/是由顶角和传播子引起的修正，其中，F= CF(1 + 410dxx1 x).(3.43)上面的福克态不是别的，它恰好就是在固有时为z = z0+ z

129、3= 0时，描述束缚态的Bethe-Salpeter波函数的傅里叶变换(在动量空间的投影)(x,k)=d2z163eik zdzei2xzp+0|T(z2)p+(z2)|p |z+=0.42第 3 章光锥求和规则基础(3.41)的两边对Q2求导，就得到Q2Q2(xi,Q) = (lnQ22)F/(xi, q)Q2162F(xi,Q)lnQ22.(3.44)如前所述，(xi, q)是光锥坐标系下动量空间的Bethe-Salpeter波函数，因此，它满足束缚态方程 = SK，其中S表示重整化的两粒子传播子，K表示所有两粒子不可约的q q q q核。在领头阶单胶子相互作用下，Bethe-Salpet

130、er波函数满足的束缚态方程为(xi, q) =4CFm2 (q2+ m2)/x1x210dyd2l163s(q2) u(x1,q)x1u(y1,l)y1d v(y2,l)y2v(x2,q)x2(y1 x1)y1 x11m2 (q2+ m2)/x1 (l2+ m2)/y2 (q l)2/(y1 x1)+(1 2)(yi,l).(3.45)由顶角和传播子修正引起的领头阶效应包含在跑动耦合常数中。波函数在q 时的主要行为可以由忽略相对于q的m,l并对l q积分得到，由于在l小时福克态(xi, q)呈现出波峰，这一点是可以做到的。实际上，容易看出，当q 时，在直到q2的对数阶上(xi, q) 1/q2

131、，这表明对该近似的修正的量级是1/lnQ2 s(Q2)。因此，上面的束缚态方程的在领头阶就简化为(xi, q)Q2162=(3.46)s(Q2)410dyx1y2(y1 x1)(h1h2+1y1 x1) + (1 2)d2l162(yi,l)y1y2,这里，当福克态中的两粒子螺旋度平行或反平行时有h1h2= 1(0)。综合以上各式，得到(xi,Q) x1x2(xi,Q)的演化方程x1x2Q2Q2(xi,Q) = CFs(Q2)410dyV (xi,yi)(yi,Q) x1x2(xi,Q), (3.47)其中，V (xi,yi) = 2x1y2(y1 x1)(h1h2+y1 x1) + (1 2

132、)= V (yi,xi),(3.48)而(yi,Q) =(yi,Q) (xi,Q)，注意xi= yi处的发散被F中的发散抵消了。当Q2 时，分布振幅(xi,Q)在固定的xi处的行为是由其相应的福克态的定义中的非定域算子T(z)(0)在光锥附近z2= O(1/Q2) 0的展开式决定的，而光锥坐标系中庞加莱群生成元的C-G系数恰好为雅克比函数，因此，分布振43第 3 章光锥求和规则基础幅的解形式中必定含有某种形式的雅克比函数(如不同阶的盖根宝函数)。详细的求解可以参考文献56，这里只给出分布振幅的解为(xi,Q) = x1x2n=0anC3/2n(x1 x2)(lnQ22)n,(3.49)其中n=

133、CF(1 + 4n+121k2h1h2(n + 1)(n + 2).(3.50)利用盖根宝函数的正交性，可以求出系数为an(Q22)n=2(2n + 3)(n + 1)(n + 2)11d(x1 x2)C3/2(x1 x2)(xi,Q0).(3.51)3.1.2.5光锥场论中初始能标时的光锥分布振幅由上节我们知道，首扭度分布振幅(x,Q)满足QCD演化方程。当能标Q2趋于无穷大时，分布振幅主要由展开式的第一项即2扭度分布振幅主导。但是，只有当初始条件(x,Q0)已知时，演化方程才能完全解出来。利用波函数与可观测量之间的关系，我们可以获得强子波函数的一般性质。比如对于介子，可以通过两个衰变过程

134、和0 的衰变振幅，来得到满足限制条件1+ 2= 0的价态波函数q q(x,k)。为了得出介子的光锥自旋波函数，将普通的瞬子形式的SU(6)夸克模型变换至光锥形式。瞬子形式的自旋态|J,ST与光锥形式的自旋态|J,F之间的关系为|J,F= SUJS|J,ST，UJS表示自旋为12粒子的Winger-Melosh转动61。应用该转动，就可以得出无穷大动量参照系下的介子光锥自旋波函数。此时，光锥自旋波函数除了普通的螺旋度为1+ 2= 0的分量外，还含有2个高扭度1+2= 1的分量，后者尽管会受到幂次压低，但仍然对遍举过程有贡献。运用上一章的求和规则，可以求出初始能标时的光锥分布振幅(x,Q0)的前3

135、个矩，进而求出分布振幅的近似形式。虽然由此我们仍不能完全定下初始光锥分布振幅，但已经知道它与渐进的光锥分布振幅并不相同。光锥场论中的BHL模型波函数31对于空间分布振幅，可以采用BHL描述方式。它将静止系的等时波函数与无穷大动量系的波函数联系起来。例如，我们以(xi,k,si)表示非微扰区域中只依赖于离壳能量的2夸克福克态波函数，假设普通坐标系(C.M.)中的能量与无穷大动量坐标系(光锥坐标系L.C.)中的离壳能量相等，E =M2 (ni=1q0i)2,ni=1qi= 0C.M.M2ni=1(k2+mx)2,ki= 0,ni=1xi= 0L.C.(3.52)44第 3 章光锥求和规则基础在运动

136、学上即xi=k+p+?q0+ q3inj=1q0j,ki? qi.(3.53)对于两粒子束缚态，光锥波函数与等时波函数的关系为L.C(k2+ m24x1x2 m2)? C.M( q2)(3.54)运用上面的对应关系，谐振子波函数对应的光锥波函数直接得出为(2)(xi,k,si) = AeR2(k2+ m2x1+k2+ m2x2)(3.55)其中，两个参数A,R2由波函数满足的限制条件(比如，波函数的归一化条件，几率条件等等)定出。3.1.3光锥求和规则八十年代末发展起来的光锥求和规则(LCSR)，力图解决或将三点求和规则的问题转移至它处，它对算子乘积展开展开的各阶进行重新求和，根据相关算子的扭

137、度而不是量纲来进行展开；在物理的一方面，在无穷大动量参照系里对部分的横向动量展开取代了SVZ求和规则中的短距离展开，这样，在QCD关联函数中，就考虑进了与近似共性对称性相关的一些附加信息。在技术层面上，光锥求和规则方法是QCD求和规则与遍举过程联姻的产儿，SVZ中的真空凝聚被光锥强子分布函数代替，它具有各种各样的扭度，并有直接的物理重要性。光锥求和规则的关键思想是，将关联函数用矩函数Mn10dx(2x 1)n(x)展开，不是按照算子的量纲，是按照算子的扭度即按照共性分波(它们的每一个都包含了各种那个量纲的算子的集合)来展开。这类似于量子力学中的分波展开。量子力学中势场的旋转对称性使我们可以将角

138、向自由度与径向自由度分离，角坐标被含在O(3) 群的不可约表示的球谐振子函数中，而1维径向坐标则被含在1维薛定谔方程的解中。类似于此，QCD中的共形对称性使我们可以将分布振幅的横向自由度与纵向自由度分离，纵向自由度被含在相应于光锥上的莫比乌斯变换的共性群的共线子群SL(2,R)的不可约表示的盖根宝多项式函数C3/2n中，而横向动量(有标度依赖性)则被含在重整化群方程的解函数之中(在重整化群方程中，由共形旋量j = n+2标记的不同分波之间没有混合)。虽然QCD中的量子修正破坏了共形对称性，使得不同共形旋量j 的不同分波之间只在领头对数阶时没有混合，但是，共形旋量在硬过程中直到2s阶的微小修正条

139、件仍是一个好的量子数。因此，人们自然期望不同共形旋量分波的这种等级式的贡献在低能标时仍然能够成立，在B重子衰变情形下，这意味着只有前几个45第 3 章光锥求和规则基础谐振子项数值上重要。这一假设得到了CLEO上测量形状因子的实验33的支持，实验表明，在能标为1 GeV时，介子分布振幅已经很接近它的渐进形式。由于盖根宝多项式在高阶时震荡剧烈，它们随某个连续光滑函数的演化需受到强烈的压制。例如，对b夸克的相对论性质量，盖根宝多项式中n = 4,6都是不重要的(除非系数an反常的非常大) ，唯一对“S波”贡献6x(1x) 的潜在修正很重要的是n = 2的项。参数a2(1 GeV)由CLEO的实验资料

140、给出，或由附加的其它的求和规则给出。保守的取值范围是0 a2(1 GeV) sh0上的色散积分形式上表示出来。上面公式中的因子2来自于与介子十分类似的介子的贡献。另一方面，为了推导求和规则，我们必须在深度欧氏空间q2= Q2 和|(p q)2| 计算关联函数(3.56)，然后运用色散关系将该结果解析延拓到类时区域。最后，将两种方47第 3 章光锥求和规则基础法得到的关联函数匹配，就可以得到所需要的求和规则。3.2.2光锥展开在深度欧氏空间q2= Q2 ，|(p q)2| 区域，关联函数(3.56)的主要贡献来自于光锥区域x2= 0。我们在第二章算子乘积展开一节已经清楚地说明了这一点，此时，x2

141、 1/Q2 0，但是短距离条件x = 0不再成立，因为此时x0 x3 /(2) 1/Q2。我们先看关联函数(3.56)领头阶的算子乘积展开。为了简单，我们只看电磁流中u夸克部分，并且略去电荷因子。利用光锥条件x2= 0下的自由无质量夸克传播子iS0(x,0) = 0 | Tu(x) u(0) | 0 =i x22x4,(3.59)收缩关联函数中的u夸克场，并利用 i5，我们得F(p,q) = id4xx2x4eiqx0(p) | u(x)5u(0) | 0.(3.60)在x = 0附近如下展开非定域算子矩阵元： u(x)5u(0) =r1r! u(0)(D x)r5d(0) .(3.61)将其

142、中的各种矩阵元作如下分解：0(p)| uD1D2.Dr5u|0 =(i)rp1p2.prpMr+(i)rg12p3.prpMr+ .(3.62)其中，右侧第一项全反对称且迹为0(在p2= 0时)，它只包括一个4矢量。除此之外，还有很多含有一个或多个gik的项，我们只写出了其中的一项。将(3.61) 代入(3.60)，对x积分并利用(3.62)和(?)，就得到F(Q2,(p q)2) =1Q2r=0rMr+4Q4r=2r2r(r 1)Mr+ . .(3.63)由于在p = 0的很大一部分遍举运动学区域里比值变量 1，上面级数展开式的所有项均应保留。我们指出，F(Q2,(p q)2)在用定域算子展

143、开时，展开式不能在任意阶截断，必须考虑定域算子中的所有矩阵元Mr, Mr.并将它们求和。另一方面，公式(3.63)的右面各项明显不同，第二项含有Mr，与此相似的项与第一项比都会被因子1/Q2压低。我们引入一个新的量“扭度” ， “扭度=量纲自旋” ，可以看出，第一项与第二项的扭度不同。由于第一项的量纲为3、自旋为1，因此第一项的扭度为2，但后面各项的扭度却逐渐升高了。进一步取各项的矩阵48第 3 章光锥求和规则基础元，我们发现算子的2扭度分量只对公式(3.63)中含Mr、对称且迹为0的第一项有贡献；将公式(3.63)两端乘以g12，我们发现Mr会有来自于量纲最低的4扭度算子 u(D)25u的贡

144、献。基于以上考虑，我们认为，公式(3.60)中的非定域算子应该在光锥x2= 0上按照扭度来展开。公式(3.60)中的矩阵元在光锥条件下x2= 0(并且p2= 0)下展开的第一项为0(p)| u(x)5u(0)|0x2=0= ipf210dueiupx(u,),(3.64)这儿，(u,)称为介子的光锥分布振幅，满足归一化条件：10(u,)du =1。其中，归一化时出现的标度来自于光锥分布振幅对标度的对数依赖性(3.41)，注意，我们已将标度由Q改写为。如果x = 0，上式就转化为介子的衰变常数定义式(p)|j()|0 = ipf,(3.65)这里，(u)以及其它一些没有明显写出的光锥分布振幅，起

145、着类似于求和规则中的真空凝聚项的作用。下一步，将公式(3.64)代入(3.60)，对x积分，并添上刚才省略的电荷因子以及d夸克部分，得到2扭度近似下的关联函数：F(tw2)(Q2,(p q)2) =2f310du (u,) uQ2 u(p q)2,(3.66)这儿， u = 1 u。至此，我们已经得到了关联函数在深度类空区域的光锥展开式。为了与类时区域中强子谱比较，我们求助于色散积分，将类空区域中的函数解析延拓到全空间，当然也包括类时空间。则上面的光锥展开写为：2f310du (u,) uQ2 u(p q)2=10dsImF(tw2)(Q2,s)s (p q)2,(3.67)其中1ImF(tw

146、2)(Q2,s) =2f310du(u)( uQ2 us).(3.68)3.2.3色散积分，Borel变换及求和规则现在，我们就可以利用色散积分写下求和规则了。首先定义0(p) | jem| 0(p q) = F(Q2)m1()qp.(3.69)49第 3 章光锥求和规则基础利用上面的(3.69)，前面介子衰变常数的定义式(3.58)以及通过解析延拓得到的类时空间中的算子乘积展开(3.67)，关联函数的唯象学强子谱与算子乘积展开匹配的方程在领头阶写为：2fF(Q2)m2 (p q)2+sh0ds1ImF(Q2,s)s (p q)2=10dsImF(tw2)(Q2,s)s (p q)2,(3.7

147、0)其中，我们已经运用色散积分，将关联函数中插入强子谱的连续谱和激发态的项表示为上面式子中左侧第二项的色散积分的形式。利用“夸克强子对偶假设”1ImF(Q2,s) =1ImF(tw2)(Q2,s)(3.71)近似表示方程(3.70)左端的连续谱和激发态，消去它们，对两端的(p + q)2进行Borel变换，就得到了求和规则：F(Q2)=f3f1u0duu(u,)exp( uQ2uM2+m2M2),(3.72)这儿，u0= Q2/(s0+ Q2)，s0表示介子第一激发态的阈值。利用非定域算子的共形对称性，介子的光锥分布振幅展开为：(u,) = 6u u1 +n=2,4,.an()C3/2n(u

148、u),(3.73)其中，C3/2n是盖根宝函数，可重整的系数满足an() = an(0)(s()s(0)n/0,(3.74)而其中的反常量纲为n= CF3 2(n + 1)(n + 2)+ 4(n+1k=11k).(3.75)当反应过程的能标，an()为0，分布振幅变为渐进形式：(as)(u) = 6u u .(3.76)为了提高结果(3.72)的精确度，不仅需要在上面的求和规则中包括O(s)阶的微扰修正，还需要考虑高扭度光锥分布振幅的贡献。从物理的角度来看，高扭度光锥分布振幅考虑了正反夸克态中的横向动量，也考虑了介子波函数中高福克态的贡献。有几个方面的因素能够产生光锥展开中的高扭度项。首先

149、，非定域算子(3.64)的含4扭度的光锥分布振幅展开式为：(p)| u(x)5u(0)|0 = ipf10dueiupx(u) + x2g1(u)50第 3 章光锥求和规则基础+f(xx2pp x)10dueiupxg2(u),(3.77)这儿，g1,2(u)表示4扭度光锥分布振幅。其次，夸克传播子在光锥上展开时也会产生相应于夸克- 夸克-胶子非定域算子矩阵元(见图3.1c)，这时展开式中的分布振幅是高扭度的。再次，夸克传播子还会带来4夸克非定域算子，它们中一些已经画在图3.1d中。这些效应，与图3.1e中的4夸克凝聚图的贡献一起，可以被因子化为(在6扭度近似下)夸克凝聚与两粒子分布振幅的乘积

150、。当反应中传输动量Q2大小中等时，这些效应可能会变的重要起来，那时候，就必须分情况逐一考察。而非因子化的4夸克贡献以及其它一些高扭度贡献由于受到Q2的高幂次的压制故而可以忽略。3.3应用总结光锥求和规则和求和规则的思路一样，都是基于计算一个相关的夸克流关联函数，然后通过色散关系把关联函数和所感兴趣的强子参数联系起来。求和规则方法早在QCD建立之前就已经被使用，但是广泛用于计算各种强子量，则是在1979年提出SVZ求和规则之后。光锥求和规则是为了更好地解决遍举过程的强子矩阵元和重到轻的形状因子而发展起来的一种简化的求和规则。求和规则方法应用举例：1.确定轻介子(如)的形状因子。2.强子之间的有效

151、强耦合常数。3.重轻衰变过程的形状因子。与SVZ求和规则比较，光锥求和规则具有以下特点：1.关联函数中的T乘积夹在轻介子态和真空态之间。这样可以少插入一次轻介子态的完备基，从而少使用一次夸克-强子对偶近似，这减少了理论的不确定性，也使计算更加简单。2.传统QCD求和规则的关联函数在近距离处按照不同量纲的算子的真空凝聚展开，非微扰效应用真空凝聚来参数化；而光锥求和规则的算子乘积展开是在光锥附近把非定域算子按照不同扭度的光锥波函数展开，非微扰效应被参数化在一系列的光锥波函数中。这样的展开含有更高量纲的算子的贡献。求和规则方法展望：1.对于求和规则来说，目前主要的问题是尽量减少输入参量和具体物理过程

152、中不确定性。此时，单单依靠求和规则是不够的，我们还需要一并考虑其它的非51第 3 章光锥求和规则基础微扰方法，例如：格点QCD方法可以用来确定真空凝聚和光锥分布振幅。2.强子物理方面的新实验也是有用的，如前所述，精确测量轻强子的形状因子将是我们能够确定光锥分布振幅展开式中的非渐进系数。3.进一步，更好的理解具有各种量子数的强子激发态，能够减少运用夸克强子对偶近似时带来的不确定性。4.展望未来，我们虽然无法完全预测，但是从目前以及未来B介子和D介子遍举衰变的实验中，我们将能够精确抽取电弱理论中的一些基本参数、预言新物理。52第 4 章E+ E J/ + C截面的光锥求和规则计算第第第 4 章章章

153、e+ e J/ + c截截截面面面的的的光光光锥锥锥求求求和和和规规规则则则计计计算算算4.1研究动机B工厂上正负电子湮灭产生两个粲偶素粒子的过程提供了一个很好的平台。藉此，我们可以研究量子色动力学中的微扰和非微扰效应。目前，两个B工厂Belle 和BaBar 已经测出了正负电子湮灭过程e+ eJ/ + c的截面，他们最近的实验结果为(e+ e J/ + c) B2= 25.6 2.8 3.4 fb (Belle)和(e+ e J/ + c) B2= 17.6 2.8+1.52.1fb (BaBar),其中，B2表示末态有多于两个带电的径迹的分支份数。非相对论量子色动力学方法（NRQCD）38

154、是研究该过程的通常方法。在只考虑NRQCD的领头阶的情况下，文献3941首次得出了一个比实验小得多的值 = 3.78 5.5 fb。显然，NRQCD的领头阶计算结果与实验测量值差别很大。为了解决这一问题，许多人用NRQCD方法进行了种种新的尝试。42,43将辐射修正包括进来，这消除了很大一部分差别；而且，正如文献4446指出的那样，将相对论修正包括进来，将会进一步提高计算的精度。文献46同时考虑了辐射修正和相对论修正，得出的截面为17.6+8.16.7fb。基于此，该文作者乐观的判断，NRQCD的理论预测和实验测量之间的巨大差别已经消除了。但是，对于遍举两个粲偶素产生的过程e+ e J/ +

155、c，如果理论计算的领头阶比实验小1个数量级，而次领头阶（NLO）修正/v2展开反而起着主导作用的话，人们自然会质疑在该过程中s展开和v2展开方法的有效性。文献43进一步指出，即使考虑了次领头阶修正，截面的标度依赖性仍然没有改进。因此，确定该过程的标度，或者至少更加可靠的估计该过程的标度依赖性就显得十分重要了。另一方面，上述两个B工厂Belle和BarBar的实验结果可以用微扰量子色动力学（pQCD）方法来解释，这时，对于粲偶素粒子需要取适当的分布振幅（DA）47。该文作者认为， “在解释(e+ e J/ + c)过程中遇到的困难并不是量子色动力学本身造成的，而是因为NRQCD方法中对c夸克动力

156、学的不恰当近似造成的” 。实际上，在pQCD方法中，遍举过程可以被因子化为两部分，一部分是微扰可算的强子部分子振幅，另一部分是微扰不可算的强子分布振幅。如果，我们将pQCD公式中的所有分布振幅都用一个简单的狄拉克函数来表示，那么，我们就能重新得到与NRQCD方法一致的截面，为几个fb。但是，人们通53第 4 章E+ E J/ + C截面的光锥求和规则计算常认为，强子的分布振幅不是非相对论性的。因此，这就表明，强子的分布振幅是相对论性的分布振幅，而不是非相对论性的分布振幅，它增强了遍举过程(e+ e J/ + c)的截面。进一步，光锥求和规则方法（LCSR）以适当方式将量子色动力学求和规则方法

157、（QCDSR）和遍举过程的pQCD理论结合起来，该方法是计算大转移动量时的形状因子的得力工具。例如，光锥求和规则曾被成功运用于计算跃迁过程的形状因子，而这个形状因子与遍举过程e+ e J/ + c的形状因子是非常类似的。在本章中，我们将尝试用光锥求和规则方法，计算遍举过程e+ e V + P的截面，其中，赝标介子为P = c,.，矢量介子为V = J/,.。在领头阶近似下，我们给出了高能标时的截面。与微扰QCD方法类似，光锥求和规则方法也面临着两个问题：一、究竟该采用何种粲偶素分布振幅的模型；二、由重整化演化带来的分布振幅的演化究竟会带来多大效应。我们将讨论粲偶素分布振幅的各种模型，并讨论由

158、重整化群演化带来的能标效应。在这一章，我们用光锥求和规则方法计算了遍举过程e+ e J/ + c的领头阶近似下的截面。我们首先给出了用光锥求和规则方法计算该过程的技巧，这主要是用光锥求和规则方法求出该过程的形状因子。我们发现，形状因子FV P(V = J/,P = c)主要依赖于在该过程相应的能标下的c介子的2扭度分布振幅，然后我们考虑了分布振幅随能标的演化。最后，我们给出了与两个B工厂Belle和BaBar的实验结果一致的数值计算结果，并讨论了结果对有效能标和各种分布振幅模型的依赖性。4.2遍举过程e+ e J/ + c的计算技巧一般，两体初态两体末态过程a(p1) + b(p2) c(p3

159、) + d(p4) 的截面为 =14E1E2vreld3 p3d3 p4(2)32E3(2)32E4(2)44(p1+ p2 p3 p4)|M|2,(4.1)其中，pi= (Ei, pi) (i = 1, ,4)为初态粒子和末态粒子的4动量，vrel= | p1E1 p2E2|。|M|2为湮灭过程矩阵元绝对值的平方，这里，我们已经对初末态粒子的色因子和自旋因子进行了求和，而对初态的色因子和自旋因子求了平均。末态有两个粲偶素产生的遍举过程e+ e J/ + c的洛伦兹不变的矩阵元可以写作M = id4x,(4.2)54第 4 章E+ E J/ + C截面的光锥求和规则计算其中，Jc(x) =C(

160、x)C(x)是c夸克的电磁流。于是，我们得到|M|2= 2Q2c|FV P|2(S 4m2J/)4S1 + cos2,(4.3)其中，表示该遍举过程的散射角，Qc=23表示粲夸克电荷，而形状因子FV P则定义为 = abcaqbPcFV P,(4.4)这里，a表示矢量介子J/的极化矢量，而S = q2。如果忽略掉J/粒子和c粒子之间微小的质量差，则该过程的截面简化为=2Q2c6(1 4m2J/S)3/2|FV P|2.(4.5)可见，主要任务就是求出形状因子FV P。目前，计算形状因子的方法有很多，比如，非相对论量子色动力学方法（NRQCD）3946，微扰QCD方法47，光锥微扰QCD方法49

161、,50。我们将运用光锥求和规则方法计算形状因子FV P。4.2.1用光锥求和规则方法计算形状因子FV P我们从如下的两点关联函数开始来求形状因子FV P(P,q)=id4xeiqx,(4.6)其中，q为中间过程虚光子的4动量, P是c介子的4动量。一方面，我们向关联函数(4.6)中插入强子态的完备基，可以得到(P,q) = qPFV PfJ/1m2J/ (q P)2+1s0dsImFs (q P)2, (4.7)其中，fJ/是由矩阵元 = fJ/mJ/定义的衰变常数，同前为矢量介子J/的极化矢量，s0是激发态和连续谱的阈值参数，其范围通常取为3.62GeV2 s0 s0区域的激发态和连续谱的贡

162、献。另一方面，由于该过程的转移动量很大，我们将公式(4.6)中的夸克流编时乘积在光锥x2= 0上进行展开。为此，我们首先收缩两个c夸克场量，将c夸克传播子写为C(x)C(0)=iS(x,0) = id4k(2)4eikxk + mck2 m2c.(4.8)那么，在3扭度精度上，公式(4.6)就简化为QCD(P,q)=2qPfc10dxc(x)m2c (xP q)2,(4.9)55第 4 章E+ E J/ + C截面的光锥求和规则计算其中，mc表示c夸克的质量，fc表示c介子的衰变常数，而c是c介子的领头扭度分布振幅，它的定义如下：=iPfc10dueiuPxc(u) + .(4.10)然后，对

163、公式(4.7)中左侧第二项表示的连续谱和激发态运用夸克强子对偶假设，并对公式(4.7) 和公式(4.9)中的变量(q P)进行Borel变换55BM21m2J/ (q P)2=1M2em2J/M2,BM21m2c (q xP)2,=1xM2e1xM2m2c+x(1x)P2(1x)q2,(4.11)我们就可以得到形状因子FV P的求和规则表达式FV P=2fcmJ/fJ/1dxc(x)xe1xM2m2c+x(1x)m2c+(1x)Q2+m2J/M2, (4.12)其中， =12m2c(s0 m2c+ Q2)2+ 4(m2c+ Q2)m2c (s0 m2c q2)，M2是Borel变换参数，两个4

164、动量分别为P2= m2c，q2= Q2= S = 112GeV2。我们发现，形状因子FV P强烈依赖于分布振幅c的具体形状, 尤其是依赖于分布振幅在端点 0.9附近的值。4.2.2c介子的领头扭度分布振幅形状因子中最关键的输入量是不依赖于具体规范也不依赖于具体物理过程的分布振幅c，它本质上是一个非微扰量，可以定义为对价福克态的波函数的积分56c(x,0)=26fc|k|2 0时，非微扰的分布振幅c(x,)可以由初始能标0时的分布振幅通过重整化群的演化来微扰的得到。现在，人们仍然难以从量子色动力学第一原理出发来得出光锥波函数（LCWF）。因此，人们通常是构造有一些唯象的波函数的模型，譬如BC模

165、型47，BKL模型57，BLL模型58，MS模型59，BHL模型31等等。本章中，对于c介子波函数，我们采用BHL模型6012c(x,k) = BHL(x,k)12(x,k) = Aeb2k2+m2cx(1x)12(x,k),(4.14)56第 4 章E+ E J/ + C截面的光锥求和规则计算表表表 4.1自旋波函数12(x,k), 其中，k= (kx,ky)，mc表示c夸克的组份质量。1212(x,k) kxiky2(m2c+k2)mc2(m2c+k2)mc2(m2c+k2)kx+iky2(m2c+k2)其中，mc表示c夸克的组份夸克质量，1和2分别表示夸克c和反夸克 c的螺旋度，12(x

166、,k)表示由Wigner-Melosh转动61产生的自旋空间波函数，它的具体形式见文献6264和表格4.1。上面c介子波函数定义式中，参数A和b2由两个限制条件定出。一个是波函数归一化条件26fc10dx|k|2的几率满足10dxd2k163|BHL(x,k)|2= Pc,(4.16)其中，Pc 0.862。我们假定非微扰的c介子分布振幅的初始能标为0= mc。输入组分夸克质量mc= 1.8 GeV47，衰变常数fc= 0.335 GeV65以及初始能标0= mc= 1.8 GeV，可以定出两个待定参数为A = 285.64291 GeV1,b2=0.19057 GeV2。在图4.1中，我们比

167、较了我们的BHL模型在0能标下的c介子分布振幅与其它的BC模型47，BKL模型57，BLL模型58的c介子的分布振幅。但是，形状因子(4.12)中的能量标度并不就是c介子分布振幅的初始能标0,当分布振幅跑动到不同于0的较高的能标时，通过适当的QCD演化，分布振幅的形状会发生改变，尤其是在端点附近的区域 x 1会发生明显的改变。而这样的改变，会大大改变(4.12)所示的形状因子。因此，为了得到可靠的e+ e J/ + c过程的截面，考虑分布振幅从初始能标0到某个典型能标的演化就显得十分重要。再下一节里，我们将讨论c介子分布振幅随着能标的演化。4.2.3c介子分布振幅随能标的演化我们依据文献56中

168、的方法讨论分布振幅随能标的演化。在光锥规范下，分布振幅c与强子波函数c直接相关，而后者是通常的光锥时间上的Bethe-57第 4 章E+ E J/ + C截面的光锥求和规则计算?图图图 4.1在初始能标0时，BHL模型的分布振幅与BC模型47，BKL模型57，BLL模型58的分布振幅的对比。Salpeter波函数的正能投影的傅里叶变换，即c(xi,)=(ln22)F/|k|22d2k163c(xi,k),(4.17)其中，积分号前的因子来自于顶角修正和自能修正带来的标度依赖性。将公式(4.17) 两边对2求导数，就可以得到分布振幅的演化方程了。在O(s)阶，我们得到演化方程为56x1x22c(

169、xi,) 2= CFs(2)410dyV (xi,yi)c(yi,) x1x2c(xi,), (4.18)其中，V (xi,yi)=2CFx1y2(y1 x1)(h1h2+(y1 x1)+ (1 2), (4.19)dy=dy1dy2(1 y1 y2),c(xi,)=x1x2c(xi,),CF= 4/3, 当夸克c和反夸克 c螺旋度相反时h1h2= 1，而c(yi,) =c(yi,)c(xi,)。跑动耦合常数s(2)的领头阶是s(2) =4b0ln(22)，其中b0= 25/3。58第 4 章E+ E J/ + C截面的光锥求和规则计算演化方程(4.18)的解可以清晰的写为c(xi,)=x1x

170、2n=0an(ln22)nC3/2n(x1 x2),(4.20)其中，函数V (xi,yi)的本征函数为盖根宝（Gegenbauer）多项式C3/2n，相应的本征值是“非单” （non-singlet）反常量纲n=CF(1 + 4n+1k=21k2h1h2(n + 1)(n + 2) 0.(4.21)系数an是非微扰量，它可以利用始能标0时的分布振幅c(xi,0) 和盖根宝多项式C3/2n的正交性关系求出。为了得到高能标时的分布振幅，人们通常只考虑(4.20)中的前3项或前4项（对于本文的情况，n = 0,2,4,6)。但是，在本章中，由于分布振幅的形状对于计算遍举过程e+ e J/ + c的

171、形状因子非常重要，我们将严格求解演化方程(4.18)。当盖根宝展开迅速收敛时，公式(4.18)与公式(4.20) 彼此等效。我们将分布振幅按严格演化方程(4.18)的演化作于图4.2中，其中，实线是初始能标为0= 1.80 GeV 时的分布振幅，虚线和点线分别为文献47和文献58采用的能标为 = 3.46 GeV 和 = 5.00 GeV 时分布振幅。可以看出，当能标抬高时，c介子的分布振幅中间压低而端点抬高，如果能标一直抬高下去，当能标趋于无穷大时，分布振幅的能标就趋向渐进形式as(x) = 6x(1 x)。4.3数值结果和讨论为了计算形状因子和遍举过程e+ e J/ + c的截面，我们将参

172、数取为fJ/= 0.416 GeV，fc= 0.335 GeV，mJ/= 3.096916 GeV ，mc=2.9798 GeV66,67。我们取c夸克的流夸克质量为mc= 1.2 GeV以便于和其他人的结果进行比较。我们取Borel参数的窗口为8 15GeV2，当在这个区间时，形状因子和截面都很平稳。至于遍举过程e+ e J/ + c的有效能标，文献47利用 0.80或者耦合常数 0.263得出有效能标应该取为 k2 3.46 GeV。而文献58则取有效能标为 S/2 5.00 GeV。因此，这里，我们将分别讨论有效能标为 = 3.46 GeV及有效能标为 = 5.00 GeV两种情况。至于

173、阈值参数s0，文献54取3.62GeV2 s0 区间上分布振幅。我们在图4.4中画出了相应于3个典型能标 = 0= 1.80 GeV， = 3.46 GeV和 =5.00 GeV时的截面。可以看出，随着有效能标抬高，相应的截面逐渐增大，并逐渐与B工厂BaBar和Belle的实验测量相一致了。因此，设定有效能标，适当考虑分布振幅随能标的演化，光锥求和规则方法对遍举过程e+ e J/ + c给出了另外一种可能的解释。为更加清晰地比较由不同分布振幅模型得到的截面，我们将这些截面列于表格4.2中，其中的误差是由于Borel参数M2改变引起的。可以看出，由于BLL模型的分布振幅比BHL模型的分布振幅比较

174、窄，因此，它的截面也比后者相应的截面要小很多。在上面的计算中，我们只考虑了光锥求和规则的领头阶近似，误差主要来自于Borel参数。当然，我们还应当包括一些高阶项的贡献，如对光锥求和规则的次阶修正，高阶福克态的贡献等等。因此，在做进一步研究之前，我们还不能估计所得截面的所有不确定性。4.4小结正负电子湮灭产生J/ + c的双粲偶素产生过程是一个很有趣的问题。NRQCD理论对该过程的预测与B工厂Belle和BaBar的实验测量的不一致在数年时间里成为一个十分重大的挑战，许多小组纷纷投身于解决这一挑战之中。运用各种方法研究这一过程是值得的，这有助于人们更好的理解粲偶素粒子的内部动力学。我们在本章中运

175、用光锥求和规则方法又一次研究了改过程。我们的基于光锥求和规则方法的结果表明，遍举过程e+ e J/ + c的截面强烈依赖于能标为时的c介子的分布振幅。注意到B工厂的能标远远大于c介子的初始能标0，所以必须要考虑分布振幅的随重整化群的演化。微扰辐射修正会使分布振幅显著改变，尤其是在能标为时的分布振幅的高能尾明显62第 4 章E+ E J/ + C截面的光锥求和规则计算?图图图 4.4光锥求和方法得到的e+ e J/ + c过程在不同有效标度下的截面。其中，实线、虚线、点线分别对应于c的能标为 = 0， =3.46 GeV及 = 5.00 GeV。左图和右图的分布振幅分别采用了BHL模型31和B

176、LL模型58。63第 4 章E+ E J/ + C截面的光锥求和规则计算的抬高了。目前，我们对分布振幅还知道的很少，因此，必须构造具有各种性质尤其是具有各种端点性质的分布振幅的模型。我们强调，基于光锥求和规则方法的c介子分布振幅随能标的演化能够合理的预测遍举过程e+ e J/ + c。与其它方法类似，为了计算这一末态有两个粲偶素粒子的过程，我们还需要更多的关于粲偶素的知识。我们的数值结果表明，遍举过程e+e J/+c的理论截面为13 26fb。通过选择适当的有效能量标度并考虑这些分布振幅随能标的演化，不同的分布振幅模型都可以给出与B工厂Belle和BarBar一致的结果。64第 5 章B介子衰

177、变到标量介子的形状因子第第第 5 章章章B介介介子子子衰衰衰变变变到到到标标标量量量介介介子子子的的的形形形状状状因因因子子子本章用手征流关联函数的光锥求和规则方法研究B(s)介子的半轻衰变过程B(s) Sl l,Sll。目前，人们对标量介子的结构仍不清楚，我们采用标量介子的夸克模型观点，分别讨论夸克模型下两种可能的方案。另一方面，在通常关于形状因子的光锥求和规则方法中，3扭度分布振幅会有很大的贡献，但是，由于我们采用了手征流关联函数，3扭度分布振幅将不会出现在结果中，这大大减小了结果的不确定性，我们的形状因子关系与软共线有效理论(SCET)的一致。利用光锥上的算子乘积展开条件，我们获得了一个

178、有效的运动学区域，在该区域上，我们进一步求出了上述半轻衰变过程的微分宽度，这些结果将可以在B工厂未来的实验中予以验证。5.1研究动机目前，实验上已经发现大量的标量介子，弄清楚它们的组成、确定它们的分类就成为摆在物理学家面前的一项迫切任务。不过，大家似乎还没有就此达成一致的意见73。在本文中，我们关心的是：标量介子能不能用夸克模型来系统并且自洽的进行描述。文献68依据实验上的一些数据，提出了两种可能的方案。第一种方案是，存在两组由2夸克束缚态组成的标量介子9重态。其中，第一组为基态标量介子9重态，包括同位旋标量粒子(600)和f0(980)，同位旋二重态粒子(+(800)，0(800)和( 0(

179、800)，(800)，同位旋矢量粒子(a+0(980)，a00(980)和a0(980)；第二组为基态粒子的相应激发态粒子9重态，包括同位旋标量粒子f(1370)和f0(1500)，同位旋二重态粒子(K+0(1430)，K00(1430)和(K00(1430)，K0(1430)，同位旋矢量粒子(a+0(1450)，a00(1450)和a0(1450)。在第一种方案中，所有的介子都是2夸克粒子，在第二种方案中，1 GeV以下的介子被认为是4夸克粒子，而1 GeV以上的介子f(1370)，f0(1500)，a0(1450)和K0(1430)被认为2夸克粒子组成的基态9重态，而它们相应的第一激发态的

180、能量为2.0 2.3 GeV。尽管我们还辨别不出各种对标量介子的解释中究竟哪一种解释更加合理，但是，上面提到的基于夸克模型的两种方案仍然令人很感兴趣，因为，它们为我们提供了一个系统研究标量介子结构的平台，据此我们就能够研究标量介子的衰变常数和分布振幅68。事实上，已经有人基于上面提到的两种方案研究了B介子衰变过程中的标量介子。文献68,110用QCD因子化方法详细讨论了B介子衰变到标量介子过程，并由此解释标量介子的结构。更多的人则以极大的兴65第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子表表表 5.1标准模型中领头阶近似下的威尔逊系数。其中，W粒子质量为mW=80.4GeV，夸克质量为mt= 17

181、3.8GeV，b夸克质量为mb= 4.8GeV92。C1C2C3C4C5C6C7C9C101.1190.2700.0130.0270.0090.0330.3224.3444.669趣关注半轻衰变过程B(s) Sl l,Sll。尤其是，人们对该过程的微分宽度很有兴趣，因为这与实验上的可观测量直接相关，因而对于确定标量介子的结构具有非常重要的作用。不幸的是，现在的各种方法中还没有一种能够给出整个运动学区域中的衰变形状因子，也没有那个小组能给出可靠并且有效的运动学区域。通常，大家先估计出在小的运动学区域或是中等运动学区域中的形状因子，然后利用朴素的极点模型，将该结果拟合推广以求出大运动学区域中的形状

182、因子。但这样的作法对于求微分宽度而言并不具有说服力。在传统的求和规则方法中，人们采用3点求和规则研究重介子到轻介子的衰变过程。与此不同，光锥求和规则方法从两点关联函数出发，将关联函数在光锥x2= 0上用非定域算子展开，然后再将非定域算子矩阵元参数化为一系列按扭度排布的分布振幅的积分的形式。经过这样的处理，我们就能得出形状因子的有效运动学区域，并且，其中包含了尽可能多的长程效应。但是，为了使结果更加可靠，能否很好地理解分布振幅就显得非常重要了。遗憾的是，通常用光锥求和规则方法计算形状因子时，会出现3扭度分布振幅，与2扭度分布振幅相比它们的贡献很重要。对于标量介子而言，有人已经用求和规则方法考察了

183、2扭度和3扭度的分布振幅，提出了分布振幅的盖根宝展开模型，但是其中的误差仍然很大。为了减少由这些长距离效应带来不确定性，人们81提出了手征流关联函数方法，这时候，3扭度分布振幅由于被抵消掉而对结果没有贡献。在本文中，我们将利用这一手征流技巧，在一个使算子乘积展开有效的运动学区域中，研究半轻衰变过程B(s) Sl l,Sll，其中我们将分别讨论两种标量介子方案下的结果。5.2B(s) S半轻衰变形状因子标准模型中，半轻衰变过程B(s) Sl l,Sll由如下的有效哈密顿量给出Heff=GF2Vub u(1 5)b(1 5)+GFVtbVts2Ceff9(mb) s(1 5)b66第 5 章B介子

184、衰变到标量介子的形状因子+C10 s(1 5)b52mbC7(mb)q2 siq(1 + 5)b.(5.1)这儿，Vub、Vtb和Vts表示Cabibbo-Kobayashi-Maskawa(CKM)矩阵。Ceff7,9和C10表示威尔逊系数，其中，Ceff9和C10不依赖于标度，而Ceff7和Ceff9则写成Ceff7()=C7() + Cbs(),Ceff9()=C9() + Ypert(s) + YLD(s).(5.2)这里，来自于散射过程b sc c s中的吸收部分的Cbs()将被略去，Ypert和YLD分别是来自于4夸克算子的短程和长程贡献，其中短程贡献为Ypert(s)=h(z,s

185、)C012h(1,s)(4C3+ 4C4+ 3C5+ C6)12h(0,s)(C3+ 3C4) +29(3C3+ C4+ 3C5+ C6),(5.3)C0= 3C1+ C2+ 3C3+ C4+ 3C5+ C6，而h(z,s)=89lnz +827+49x 29(2 + x)|1 x|1/2ln?1x+11x1? i, x 4z2/s 1h(0,s)=82789lnmb49lns+49i此处，z = mc/mb，s= q2/m2b而q2表示末态产生的双轻子对的质量。我们将上面公式中的威尔逊系数的领头阶列于表5.1中。进一步研究半轻衰变过程B(s) Sl l,Sll，则需要处理两个强子矩阵元S(p

186、)| q25b|B(s)(p+q)和S(p)| q25qb|B(s)(p+q)。我们将它们用3个形状因子fBS+(q2), fBS(q2)和fBST(q2)参数化为S(p)| q25b|B(p + q)=2ipfBS+(q2) ifBS+(q2) + fBS(q2)q,(5.4)S(p)| q25qb|B(p + q)=2pq2 2q(q p)fBST(q2)mB+ mS,(5.5)这儿，q表示衰变过程中的动量转移，我们已经将B(s)简单记为B，依赖于不同标量介子中夸克成分的不同，q2可以表示u夸克或者s夸克。运用光锥求和规则方法，就可以求出这儿参数化的形状因子。下面，我们就用标准的光锥求和规

187、则方法来求出这3个形状因子。首先，我们采用与文献84不同的如下的两个关联函数，将两个矢量流算子乘积的的编时乘积夹在真空态和在壳的标量介子态之间：S1(p,q)=id4xeiqxS(p)|T q2(x)(1 5)b(x),b(0)i(1 5)q1(0)|0,67第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子S2(p,q)=id4xeiqxS(p)|T q2(x)(1 + 5)qb(x),b(0)i(1 5)q1(0)|0,(5.6)这里q1表示u夸克、d夸克或者s夸克。为了求出上述关联函数的唯象的强子谱表示，我们向上面的关联函数中插入与流b(0)i(1 5)q1(0)具有相同量子数的一组B介子完备基。

188、分离出基态赝标B介子，就得到hS1(p,q)=S(p)| q25b|B(p + q)B(p + q)|bi5q1|0m2B (p + q)2(5.7)+hS(p)| q2(1 5)b|Bh(p + q)Bh(p + q)|bi(1 5)q1|0m2B (p + q)2,hS2(p,q)=S(p)| q2(1 + 5)qb|B(p + q)B(p + q)|bi5q1|0m2B (p + q)2(5.8)+hS(p)| q2(1 + 5)qb|Bh(p + q)Bh(p + q)|bi(1 5)q1|0m2B (p + q)2.应该强调的是，在关联函数中插入粒子时，除了应该插入基态赝标B介子和更

189、高激发态赝标B介子，还应该插入标量B介子。由于标量B介子的能量稍稍低于第一激发态的赝标B介子，我们把他们统一简单记为Bh。运用B介子衰变常数的定义B|bi5q1|0 =m2BfBmq1+mb，形状因子定义式(5.4)和(5.5)，上面的关联函数就写成了hS1(p,q)=im2B (p + q)2m2BfBmq1+ mb2fBS+(q2)p+ (fBS+(q2) + fBS(q2)q1s0ds2h+(s)p+ (h+(s) + h(s)qs (p + q)2,(5.9)hS2(p,q)=1m2B (p + q)2m2BfBmq1+ mbfBSTmB+ mS2pq2 2q(q p)1s0dshT(

190、s)2pq2 2q(q p)s (p + q)2.(5.10)在这里，我们已经将关联函数强子谱求和公式(5.7)和(5.8)中对激发态和连续谱的求和表示成了色散积分的形式。由于我们的求和中包括了标量介子的贡献，因此，积分下限的阈值s0取在能量最低的标量B介子的质量平方附近。运用“夸克-强子”对偶假设h+,T(s) = QCD+,T(s)(s s0).(5.11)上面公式中的谱密度QCD+,T(s)可以由QCD计算关联函数来得到。另一方面，我们用QCD理论来直接计算关联函数。此时，由于B介子的动量处于大反冲的深度类空区域(p + q)2 m2b，两点关联函数满足光锥展开条68第 5 章B介子衰变

191、到标量介子的形状因子件x2 0，我们可以对它进行光锥上的算子乘积展开。进一步，由于关联函数中的重夸克远离质壳，我们可以忽略重夸克发射出的软胶子，这属于4扭度的贡献。为了收缩b夸克场，我们考虑背景场中的b 夸克传播子0|Tb(x)b(0)|0 = iS0(x,0)(5.12)igsd4k(2)4eikxdvk + mb(m2b k2)2G(vx)+1m2b k2vxG(vx).这里，G表示胶子场强，gs表示强相互作用耦合常数，S0(x,0) 则表示自由的b夸克传播子iS0(x,0) = id4k(2)4eikxk + mbm2b k2.(5.13)我们发现，将关联函数中b夸克场收缩为自由传播子并

192、化简后，只留下了非定域算子S(p)| q2(x)q1(0)|0，而另外的非定域算子 q2(x)q1(0)和 q2(x)q1(0)恰好抵消了，这一点与文献84十分不同，在那儿后面的两个非定域算子仍然保留着。接着，在光锥距离x2= 0上对矩阵元S(p)| q2(x)q1(0)|0进行算子乘积展开，我们就得到了文献68中所定义的标量介子分布振幅S(u,)。我们将在下一节更为详细的讨论标量介子分布振幅。暂时我们先直接利用后面得到的分布振幅的结果，则关联函数的算子乘积展开为QCDS1(p,q)=2ipmb10duS(u)m2b (q + up)2,(5.14)QCDS2(p,q)=2(pq2 q(q p

193、)10duS(u)m2b (q + up)2.(5.15)下面，我们将关联函数的唯象强子谱一侧与QCD算子乘积展开一侧进行匹配。一般来说，唯象强子谱一侧的激发态和连续谱是无法精确确定的，我们将运用“夸克-强子”对偶假设，假设其中的谱能够用QCD理论计算的结果来近似表示。为了这一目的，通常我们先将QCD算子乘积展开一侧的积分公式转化成色散积分的形式，即利用等式m2b (q + up)2= u(s (p + q)2)，将变量u变为变量s，这样，变换后的被积函数就相当于是唯象强子谱一侧的谱密度了。然后，方程两边消去关于激发态和连续谱的积分区域，就得到想要的求和规则了。但是，这样得到的求和规则中由于运

194、用了“夸克-强子”对偶假设，结果的不确定性较大。为了减小由这个假设带来的不确定性，我们对上面式子两端的变量(q + p)2进行Borel变换6BM21m2B (q + p)2=1M2em2BM2,BM21m2b (q + up)2=1uM2e1uM2m2b+u(1u)p2(1u)q2,(5.16)69第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子这儿，M2是Borel参数，标量介子在壳p2= m2S。最后，求和规则为：fBS+(q2)=mq1+ mbm2BfBmb1duS(u)ueFF,(5.17)fBS(q2)=mq1+ mbm2BfBmb1duS(u)ueFF,(5.18)fBST(q2)=mq

195、1+ mbm2BfB(mB+ mS)1duS(u)ueFF.(5.19)其中，新引人的参数定义如下=12m2S(s0 m2S q2)2+ 4(m2b q2)m2S (s0 m2S q2),FF=1uM2m2b+ u(1 u)m2S (1 u)q2+m2BM2.(5.20)容易看出，光锥求和规则得到的形状因子之间存在着简单的关系fBS(q2)=fBS+(q2),(5.21)fBST(q2)=(mB+ mS)mbfBS+(q2).(5.22)关于B S衰变过程的这些形状因子关系恰好与B P(P表示赝标介子)88过程得到的形状因子关系相同。在我们以前的工作中，我们也曾对于B V (V表示矢量介子)衰

196、变过程得到过类似的形状因子关系。总的来说，光锥求和规则计算重到轻的半轻衰变过程时，可以得到简单的形状因子关系，这在硬胶子修正的程度上，与软共线有效理论(SCET) 的结果一致。在数值计算中，我们将只讨论f+(q2)，利用关系(5.21)和(5.22)，另外两个形状因子fBS(q2)，fBST(q2)很容易得出。5.3标量介子的衰变常数及分布振幅衰变常数和光锥分布振幅是我们求和规则中的重要输入参量，因此，在这一节，我们将收集关于衰变常数和光锥分布振幅的的有用资料，并进行简单讨论。标量介子能够与矢量或标量场算子耦合，它们有两种可能的衰变常数定义68：S(p)| q2(0)q1(0)|0=pfS,(

197、5.23)S(p)| q2(0)q1(0)|0=mSfS,(5.24)这里，q1表示u夸克、d夸克或者s夸克；对于不同标量介子时，q2可以为u夸克或者s夸克。容易看出，fS不依赖于能量标度而fS依赖于能量标度。对于中性标量70第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子介子，比如说a00和f0(如果将它们当做纯s s束缚态的话)，由于电荷共轭不变性或者矢量流守恒定律，它们不能与矢量流耦合，它们的矢量流耦合常数为ff0= fa00= 0.(5.25)但是对于其它带电的标量介子，它们的衰变常数则由运动方程联系fS= SfS,(5.26)其中S=mSm2() m1(),(5.27)m2和m1表示标量介子

198、中相应组份夸克的跑动质量，由重整化群方程得到mi()=mi(0)(s(0)s()4/b,(5.28)这儿，b = (332nf)/3, nf表示夸克的味道数目。可以看出，标量介子的衰变常数要么是零，要么很小，是m2 m1的量级。扭度为2的标量介子分布振幅S(u,)定义为：S(p)| q2(x)q1(y)|0=p10dueiupx+ upyS(u,),(5.29)这儿， u = 1u，u表示标量介子中夸克携带的动量占介子总动量的份数。分布振幅满足归一化条件10duS(u,)=fS.(5.30)关于算子乘积展开，这里有几点说明。在B 半轻衰变过程中，人们通常采用手征极限条件，因此p2= m2= 0

199、，传输动量q2的有效的范围为0 q2 m2b 2mbQCD( 18 GeV2).(5.31)但是，在B S半轻衰变过程中，标量介子质量p2= m2S不能忽略，因此不能取手征极限条件，尤其是当标量介子为第二种方案时(此时，所有标量介子的质量均有mS 1 GeV)。此时，传输动量q2的有效的范围为0 q2 (mb mS)2 2(mb mS)QCD.(5.32)具体来说，对于质量小于1 GeV的标量介子，传输动量q2的有效范围为0 q211GeV2，对于质量大于1 GeV的标量介子，传输动量q2的有效范围为0 q271第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子8GeV2。这也解释了为什么我们上面得到的

200、形状因子关系(5.21)和(5.22)与软共线有效理论在大反冲时得到的结论一致。严格的说，标量介子分布振幅仅在能标 ms时成立。因为，从本质上说，标量介子中的夸克是离壳的，由于它携带了标量介子的总动量，它离壳的程度为m2S。因此，在标度mS以下的计算没有意义，因为此时这些离壳的夸克模式已经被积分积出来了。QCD中的拉格朗日量满足共形对称性，从而，由它得到的分布振幅可以展开为一系列其共形旋量量子数不断增加的盖根宝(Gegenbauer)多项式C3/2m(x)的和的级数的形式68S(u,)=fS()6u uB0() +m=1Bm()C3/2m(2u 1),(5.33)其中，与标度有关的盖根宝矩形式

201、为Bm() =1fS2(2m + 3)3(m + 1)(m + 2)10C3/2m(2u 1)S(u,)du.(5.34)分布振幅随标度演化则由如下的两个参数的重整化方程(RGE)得到fS()=fS(0)(s(0)s()4/b,Bm()=Bm(0)(s(0)s()(m)+4)/b,(5.35)其中单圈反常量纲为90(m)= CF(1 2(m + 1)(m + 2)+ 4m+1j=21j),这里，CF= (N2c 1)/(2Nc)。对于两夸克q q标量介子，电荷宇称守恒要求分布振幅在u 1 u变换下反对称，即S(u,) = S(1 u,)，因而，中性标量介子的领头扭度分布振幅简化为S(u,)=f

202、S()6u um=0B2m+1()C3/22m+1(2u 1).(5.36)可以由此推断，在SU(3)极限下，所有标量介子的2扭度分布振幅在u 1 u变换下都是反对称的。但是，赝标介子在相应变换下分布振幅却是对称的，例如，介子就没有偶数阶的盖根宝矩。事实上，零阶盖根宝矩B0= 1S在SU(3)极限下下恰好就是0。在下面对于标量介子的讨论中，我们将忽略偶数阶盖根宝矩，而只考虑前两个奇数阶盖根宝矩。72第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子需要指出的是，如果包括进了QCD的各种修正，光锥求和规则的结果将不会依赖于标度的选取。但是，由于我们在计算还没有包括进来QCD辐射修正，所以所得到的形状因子将

203、会依赖于能标的选取。这时候，我们以b夸克的典型的离壳程度作为我们的有效能标， =m2Bs m2b。各种参数在该能标下的值可以通过重整化群(5.28)和(5.35)的演化求出，而初始能标则选为mS之上的的某个值。文献68详细讨论了标量介子在两种方案下的分布振幅中的衰变常数和盖根宝矩，我们将它们在能标为1 GeV的结果列于表5.2和表5.3中，而将它们按重整化群(5.35)演化到有效能标为 = 2.4 GeV时的结果列于相应位置的括号里。在能标 = 2.4 GeV时，两种方案下标量介子的分布振幅见图5.1。表表表 5.2能标为 = 1 GeV68和 = 2.4 GeV(括号内，由重整化群(5.35

204、)得到)时标量介子在方案1中的衰变常数和盖根宝矩。Statef (GeV )B1B3a0(980)0.365(0.465) -0.93 0.10 (-0.59 0.07) 0.14 0.08(0.07 0.04)a0(1450) -0.280 (-0.357)0.89 0.20(0.56 0.14)-1.38 0.18 (-0.71 0.11)f0(980)0.370(0.472)-0.78 0.08 (-0.49 0.06)0.02 0.07(0.01 0.04)f0(1500) -0.255 (-0.325)0.80 0.40(0.51 0.28)-1.32 0.14 (-0.68 0.0

205、8)(800)0.340(0.433)-0.92 0.11 (-0.58 0.08)0.15 0.09(0.08 0.05)K0(1430)-0.300 (-0.382)0.58 0.07(0.37 0.05)-1.20 0.08 (-0.62 0.05)表表表 5.3能标为 = 1 GeV68和 = 2.4 GeV(括号内，由重整化群(5.35)得到)时标量介子在方案2中的衰变常数和盖根宝矩。Statef (GeV )B1B3a0(1450) 0.460(0.586)-0.58 0.12 (-0.37 0.08) -0.49 0.15 (-0.25 0.09)f0(1500) 0.490(0

206、.625)-0.48 0.11 (-0.30 0.08) -0.37 0.20 (-0.19 0.12)K0(1430)0.445(0.567)-0.57 0.13 (-0.36 0.09)-0.42 0.22 (-0.216 0.13)5.4数值结果及讨论在这一节，我们将给出B介子半轻衰变的8个典型衰变道B0 a+0(980)/a+0(1450)l l,B0s +(800)/K+0(1430)l l,B0 0(800)/K0(1430)ll和B0s f0(980)/f0(1500)ll的数值结果。我们采用了标量介子的两夸克描述的两种方案68，相应的衰变常数73第 5 章B介子衰变到标量介子的

207、形状因子?图图图 5.1能标为 = 2.4 GeV时标量介子在方案1(上)和方案2(下)中的领头扭度分布振幅68。可以看出，由于G宇称守恒，SU(3)极限下的标量介子领头扭度分布振幅S在互换u 1 u下反对称。74第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子?图图图 5.2能标为 = 2.4 GeV，传输动量为q2= 0时，B0 a+0(980)和B0sf0(1500)衰变过程中形状因子f+(q2= 0)对Borel参数M2的依赖关系。我们取阈值参数为s0= 33 GeV2，b夸克质量为mb= 4.8 GeV，所有的标量介子均在方案1下处理。75第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子和盖根宝矩列

208、于表5.2和表5.3中，我们没有涉及1 GeV以下的标量介子的四夸克描述方案。其它的输入参数选取如下：75,84,93:GF= 1.166 102GeV2,|Vub| = 3.96+0.090.09 103,|Vtb| = 0.9991,|Vts| = 41.61+0.100.80 103,mu(1 GeV) = 2.8 MeV,md(1 GeV) = 6.8 MeV,ms(1 GeV) = 142 MeV,mb= (4.8 0.1) GeV,me,= 0 MeV,m= 1776.82 MeV,mB0= 5.279 GeV,mBs= 5.368 GeV,fB0= (0.19 0.02) GeV

209、,fBs= (0.23 0.02) GeV.(5.37)表表表 5.4传输动量为q2= 0 GeV2时，我们用光锥求和方法求出的半轻衰变过程B(s) Sl l的形状因子f+和f与其它方法的结果的对比。这儿，与我们对比的其它方法有光锥求和规则方法(L)84，求和规则方法(SR)95，微扰QCD方法(p)92。其中，S1和S2分别表示我们的方法或其它方法的标量介子在方案1和方案2下的结果。B0s K+0(1430)B0 a+0(1450)B0s +(800)B0 a+0(980)方法f+ff+ff+ff+f本文(S1)+0.100.10+0.260.26+0.53 0.53 +0.56 0.56本

210、文(S2)+0.440.44+0.530.53SR95+0.24L(S2)84+0.420.34+0.520.44p(S1)920.320.31+0.29+0.39p(S2)92+0.56+0.68首先，我们在标量介子的第一种方案下进行详细讨论，最后，在本节末尾简略讨论第二种方案的情形。一般来说，阈值参数取在相应的最低激发态的赝标介子的质量的平方附近。但是，由于我们采用了手征流，在最低激发态介子质量之下还有标量介子对关联函数有贡献，因此，我们将阈值参数取在相应的标量介子的质量的平方附近94。由于标量介子的质量平方为(MB(13P0)2= (MB(11S0) + )2= (5.279 + 0.5

211、5)2= 33.98 GeV286，我们取阈值为sB00= sB0s0= 33 1 GeV2。需要注意的是，我们在采用手征流关联函数时所取阈值sB00= sB0s0= 33 1 GeV2小于人们在采用普通流关联函数时所取阈值sB00= sB0s0= 35 1 GeV284，这是因为在手征流时色散积分中出现的标量介76第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子子的质量轻于赝标介子第一激发态的质量(MB(13P0 MB(21S0)。不仅如此，最近文献87的作者提出了一种依赖于Borel参数的确定阈值的方法，我们的阈值与他们所确定的阈值一致。Borel参数的选取的标准是使光锥求和规则的结果能够不依赖于

212、该参数的选取。通常，M2的下限要使得高阶激发态和连续谱的贡献对于不同的q2时均小于30%，对于不同的衰变模式，高阶激发态和连续谱的贡献小于13 30%。对于目前情形，我们的求和规则有一个使得形状因子比较平稳的公共Borel窗口10 GeV2 M2 15 GeV2。我们将以具有代表性的两个衰变过程B0 a+0(980)和B0s f0(1500)为例讨论形状因子，其它的衰变过程的结果与这两个过程类似。固定参数sB00=32GeV2和M2= 12GeV2，我们得到q2= 0的2个结果：fB0a+0(980)+(0) = 0.56和fB0sf0(1500)+(0) = 0.14。利用形状因子关系(5.

213、21)和(5.22)，可以得出其它相应的4个形状因子：fB0a+0(980)(0) = 0.56，fB0sf0(1500)(0) = 0.14和fB0sf0(1500)T(0) =0.20。图5.2中分别给出形状因子fB0+a0(980)+(q2)和fB0sf0(1500)+(q2)对于Borel参数M2的依赖性。而在可能的运动学区域的这两个反应过程的形状因子fB0+a0(980)+(q2)和fB0sf0(1500)+(q2)的曲线则画于图5.3中。为了更加全面的理解B S过程在大反冲时的动力学行为，我们将所有衰变道的在q2= 0时的形状因子列于表5.4和表5.5，并且列出了其它人的结果以

214、便比较。我们想补充的是，通过形状因子关系(5.21)和(5.22)，我们也能够得到形状因子f(q2)和fT(q2)的类似的行为。可以看出，B介子衰变到基态标量介子的形状因子比B介子衰变到激发态标量介子的形状因子大得多。我们认为，光锥求和规则应用于重轻衰变时，与b u,s衰变过程的费曼机制一致。这时候，由重夸克衰变产生的轻夸克趋向于运动到轻夸克的端点区域，以使该轻夸克能够与重介子中的旁观夸克形成束缚态，也就是说，在衰变过程中，软交换的贡献超过了硬交换的贡献。从光锥求和规则的解析表达式来看，当q2= 0时，只有u = 0.8 1范围内的分布振幅才对形状因子有贡献。但是，从分布振幅的图5.1来看，1

215、GeV以上的标量介子和1GeV以下的标量介子的分布振幅在该区域内十分不同，结果，两者的形状因子就很不相同了。对于1GeV以下的标量介子，其分布振幅在整个子区间为负值，因而积分后它的形状因子不会出现相消。但是，对于1GeV以上的标量介子，它们的分布振幅在整个子区间确既有正值又有负值，因而积分后它的形状因子会出现相消。总而言之，由于分布振幅不同，B介子衰变到激发态标量介子的形状因子明显小于衰变到基态标量介子的形状因子。因此，我们推断，b夸克衰变到激发态时释放出的能量总是大于它衰变到基态时释放出的能量。除了本文，微扰QCD方法92，QCD求和规则方法95,97,98和光锥求和方法84,96也按标量介

216、子的2夸克方案研究了B S衰变过程。比较一下结果是有77第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子?图图图 5.3光锥求和规则方法求出的B(s) S衰变过程的形状因子对传输动量q2的依赖关系。其中，我们取了能标为 = 2.4 GeV，阈值为s0= 33 GeV2，Borel参数为M2= 12 GeV2。所有的标量介子均在方案1下处理。78第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子?图图图 5.4半轻衰变过程B Sl l微分衰变宽度对q2的依赖关系。其中l = e, 。所有的标量介子均在方案1下处理。意义的。在下面的讨论中，当提到用其它方法来探讨形状因子时，我们都已经将他们的结果转换到了与我们的形状

217、因子一致的定义之下。文献96运用光锥求和规则方法以B0s f0(980)为例研究了B介子衰变到标量介子的情况。除了考虑领头阶分布振幅的贡献，他们还考虑了渐进形式的3扭度分布振幅的贡献，在q2= 0时，他们的结果为fB0sf0(980)+(0) = 0.19和fB0sf0(980)T(0) = 0.23，这里已经将误差部分略去。当考虑进QCD的次阶修正，作者通过与B 过程的计算对比得出，QCD的次阶修正将会使形状因子增大30%，即fB0sf0(980)+(0) =0.24和fB0sf0(980)T(0) = 0.31，这比我们的结果小了45%左右。我们认为，这种差别是由衰变常数ff0(980)的

218、取值不同造成的。当然，文献96中，领头2扭度分布振幅与次领头扭度3扭度分布振幅的能量标度并不相同，这也会对结果又一定影响，但是由能标造成的影响应该不会太大。如果所有的相关参数取值相同，他们的结果估计将会与我们的相同，与QCD求和规则的结果也将相同。微扰QCD方法92计算的跃迁到标量介子基态的结果小于我们的结果，但是相差的数值在误差范围之内；而计算的跃迁到标量介子激发态的结果则与其计算的跃迁到标量介子基态的结果相当，这一点，与我们的结果明显不同。由于微扰QCD方法在处理重轻衰变时是与硬交换机制一致的，他们的形状因子依赖于79第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子?图图图 5.5稀有衰变过程B(

219、s) Sll微分衰变宽度对传输动量q2的依赖关系。其中轻子为l = e, 。所有的标量介子均按方案1下处理。80第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子?图图图 5.6光锥求和规则方法求出的B(s) S衰变过程的形状因子对传输动量q2的依赖关系。其中，我们取了能标为 = 2.4 GeV，阈值为s0= 33 GeV2，Borel参数为M2= 12 GeV2。所有的标量介子均在方案2下处理。整个区间上的分布振幅，因此，他们的结果与我们的结果不同应当可以理解。实际上，在大反冲附近的运动学区域q2 0，上面的各种方法都可以用来求形状因子。但是，在现在对于B S衰变的研究中，还没有一个能使这些方法都能适

220、用的非大反冲的q2区域。文献84中，作者用光锥求和规则方法计算了形状因子，他们人为的认为q2区域应该取为0 q2 15 GeV2，这比我们这儿所选取的q2要大，为了得到整个运动学区域内的形状因子，他们采用双极点模型对形状因子进行了拟合。微扰QCD方法在处理这一问题时也采用了相似的方法。尽管人们在唯象学上大量采用这一方法进行拟合，但是对于目前的情况，我们必须小心。这是因为，人们通常认为极点模型适用于q2接近于极点质量平方m2pole附近的区域，但是对于B S衰变，极点质量m2pole= m2B已经远远离开了它的运动学区域。其次，如果一种方法在某一q2区域并不适用话，那么，选择不同的区域进行拟合将

221、会导致不同的结果。因此，采用极点模型值得怀疑，也许，我们更需要综合各种方法来获得整个q2区域的B S的形状因子。考虑到这一点，我们倾向于采用光锥求和规则方法成立的有效q2区域的形状因子来求相应过程的微分宽度，尽管这样做，我们的有效运动学区域并不能覆盖整个运动学区域。81第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子?图图图 5.7半轻衰变过程B Sl l微分衰变宽度对q2的依赖关系。其中l = e, 。所有的标量介子均在方案2下处理。82第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子?图图图 5.8稀有衰变过程B(s) Sll微分衰变宽度对传输动量q2的依赖关系。其中l = e, 。所有的标量介子均在方案

222、2下处理。利用上面的形状因子，我们将半轻衰变过程B(s) Sl l和B(s) Sll的微分宽度写为：ddq2(B(s) Sl l)=G2F|Vub|21923m3Bq2 m2l(q2)2(q2 m2l)2q2(m2B m2S q2)24q2 m2S(m2l+ 2q2)(q2 (mB mS)2)(q2 (mB+ mS)2)f2+(q2)+3m2l(m2B m2S)2(f+(q2) +q2m2B m2Sf(q2)2, (5.38)ddq2(B(s) Sll) =G2F|VtbVts|2m3B2em15365(1 4rls)1/2(1 +2rls)3/2SS+ 1/2SrlS,(5.39)其中s=q

223、2/m2B,rl= m2l/m2B,rS= m2S/m2B,S=(1 rS)2 2s(1 + rS) + s2,S=?Ceff9f+(q2) 2C7fT(q2)1 +rS?2+?C10f+(q2)?2,S=6|C10|22(1 + rS) s?f+(q2)?2+ (1 rS)2Ref+(q2)f(q2) + s?f(q2)?2.83第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子而ml表示末态轻子的质量。半轻衰变过程的微分宽度ddq2(B(s) Sl l)要求的运动学区域为m2l q2 (mB mS)2，而稀有衰变过程微分宽度ddq2(B(s) Sll)要求的运动学区域为4m2l q2 (mB mS)

224、2。我们将有效运动学区域m2l q2 (m2B(s)m2S)和4m2l q2 (m2B(s)m2S)中各个衰变道的微分宽度画于图5.4 和图5.5中。在数值计算时，我们已经取了轻子质量为0，即me= m= 0。对于重轻子，由于双轻子阈值4m2超出了我们的有效运动学区域，我们无法得到B(s) S+过程的微分宽度。我们发现，虽然与微扰QCD动力学不同，我们与他们的结果却比较接近。如果标量介子采用第二种方案(即所有1 GeV以下的标量介子为4夸克介子，而1 GeV以上的标量介子为2夸克介子)，理论上我们可以进行完全类似的讨论。但是，由于我们对4夸克介子知之甚少，我们将只限于讨论1 GeV以上的标量介

225、子的情形。B介子大反冲q2= 0 衰变时的形状因子完整列于表5.4和表5.5中，作为传输动量q2的函数的形状因子f+(q2)的曲线绘于图5.6中。下面我们将集中讨论f+(q2)。比较两种方案得到的形状因子，我们发现，方案2的形状因子集中在中心值0.40 0.70之间，虽然对于不同衰变道会稍有不同，但是随q2= 0的变化很不明显；但是，方案1的形状因子却广泛分布于0.10 0.60区域。当q2= 0时，我们与以前光锥求和规则方法84的结果比较一致，但是，我们的形状因子f+(0)比微扰QCD92的结果略小。与以前的求和规则方法相比，我们计算的形状因子fB(s)K+(1430)是他们的两倍左右。由图

226、5.7和图5.8可以看出，方案2求出的微分宽度与方案1十分不同，这是由两种方案中的形状因子所包含的QCD动力学不同造成的。如果1 GeV以上的标量介子真的是2夸克束缚态，我们的这一结果将有助于在未来的实验可以进行时区分两种方案。对于1 GeV以下的标量介子，尽管目前理论上的认识还十分有限，但我们仍然可以定性的进行讨论。最后，我们要指出，上面的讨论并不能推广到D(s)衰变到标量介子的情形。因为，D(s)在衰变过程中的反冲能不如B(s)介子时大，因此光锥求和规则方法不能运用。5.5小结我们在本章用光锥求和光锥方法讨论了半轻衰变过程B(s) S。由于引入了含有手征流的关联函数，相应的形状因子中不含有

227、3扭度分布振幅的贡献。因此，我们不会受到来自于3扭度分布振幅的不确定性带来的影响。我们的结果表明：1.B介子衰变到标量介子过程的形状因子之间存在着简单的关系(5.21) 和(5.22)，这与软共线有效理论的预测是一致的。2.我们获得84第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子了半轻衰变过程B(s) S的一个可靠的传输动量区域，当标量介子质量小于1GeV为时，该区域为0 q2 11GeV2；当标量介子质量大于1GeV时，该区域为0 q2 8GeV2。3.我们在标量介子两种方案的两夸克模型下计算了半轻衰变过程B(s) S的形状因子，我们发现B介子衰变到基态标量介子的形状因子比B 介子衰变到激发态标

228、量介子的形状因子明显偏大。尤其是对于对标量介子的第一种方案。4.运用上面得到的形状因子，我们进一步求出了在有效的传输动量区域的半轻衰变B(s) Sl l和稀有衰变B(s) Sll的微分宽度。将来，这些结果可以在实验上进行检验。85第 5 章B介子衰变到标量介子的形状因子表表表 5.5传输动量为q2= 0 GeV2时，我们用光锥求和方法求出的稀有衰变过程B(s) Sll的形状因子f+、f和fT与其它方法的结果的对比。这儿，与我们对比的其它方法有光锥求和规则方法(LCSR)84,96，求和规则方法(SR)84,96，光前夸克模型方法(LFQM)99，最小超对称模型方法(MSSM)100，协变光前方

229、法(CLF)101，协变夸克模型方法(CQM)102，微扰QCD方法(pQCD)92。其中，S1和S2分别表示我们的方法或其它方法的标量介子在方案1和方案2下的结果。B0K0(1430)B0s f0(1500)方法f+ffTf+ffT本文(S1)+0.170.17+0.24+0.140.14+0.20本文(S2)+0.490.49+0.69+0.410.41+0.59LFQM990.26+0.210.34CLF101+0.26SR(S2)97+0.310.310.26SR98LCSR(S2)84+0.490.41+0.60+0.430.37+0.56LCSR96pQCD(S1)920.340.

230、440.260.34pQCD(S2)92+0.60+0.78+0.60+0.82CQM102MSSM100+0.490.41+0.60B0 0(800)B0s f0(980)Methodsf+ffTf+ffTThis work(S1)+0.460.46+0.58+0.440.44+0.58This work(S2)LFQM99CLF101SR98+0.120.170.08LCSR96+0.19+0.23pQCD(S1)92+0.27+0.29+0.35+0.40CQM102+0.4086第 6 章B介子衰变到轴矢量介子的形状因子第第第 6 章章章B介介介子子子衰衰衰变变变到到到轴轴轴矢矢矢量量

231、量介介介子子子的的的形形形状状状因因因子子子本章的目的是系统计算B介子衰变到轴矢介子的形状因子。我们的方法类似于前一章中的方法，但是，我们考虑了轴矢介子分布振幅的横向极化和B介子衰变到轴矢介子的形状因子的横向极化。如果我们在关联函数引入了手征流，则光锥求和规则得到的形状因子中将只出现具有相同手征性的轴矢介子分布振幅，也就是说，相反手征性的轴矢介子分布振幅消失了。于是，我们很容易发现，形状因子之间存在着简单的关系。不仅如此，我们还发现，B介子衰变到轴矢介子的形状因子之间的关系与B介子衰变到矢量介子的形状因子之间的关系完全相同。联系到前一章，B介子衰变到标量介子的形状因子之间的关系与B介子衰变到赝

232、标介子的形状因子之间的关系也完全相同。6.1B A半轻衰变形状因子6.1.1B A1半轻衰变形状因子根据有效哈密顿量分析可知，B介子衰变到轴矢介子的半轻衰变过程中存在两类形状因子，矢量型形状因子和张量性形状因子。本节我们先来讨论矢量性形状因子，下节讨论张量性形状因子。矢量型形状因子定义为A(P,)| q5b|B(P + q)=qP2iA(q2)mB mA,(6.1)A(P,)| qb|B(P + q)=(mB mA)A1(q2)(6.2)+( q)P2A+(q2)mB mA+ ( q)qA+(q2) + A(q2)mB mA,这儿，q是B介子衰变到轴矢介子时的传输动量，是轴矢介子的极化矢量，极

233、化矢量的定义为0123= 1。另外一种经常用到的形状因子定义是：A(P,)| qb|B(P + q)=(mB mA)A1(q2) + ( q)P2A2(q2)mB mA(6.3)+( q)qA2(q2)mB mA+ 2mAA3(q2) A0(q2)q2,其中，A1A2A3之间满足关系A3(q2) =mBmA2mAA1(q2) mB+mA2mAA2(q2) 及A3(q2=0) = A0(q2= 0)。对比这两种形状因子定义，我们发现，它们之间存在如下的相互转换关系。A2(q2)=A+(q2)A3(q2)=mB mA2mAA1(q2) mB+ mA2mAA+(q2)(6.4)87第 6 章B介子衰

234、变到轴矢量介子的形状因子A0(q2)=mB mA2mAA1(q2) mB+ mA2mAA+(q2) q22mA(mB mA)A(q2)(6.5)当我们知道其了其中一种定义下形状因子的，由这些关系，很容易由这些关系得到另外一种定义下的形状因子。下面我就用光锥求和规则的方法来求第一种定义下的形状因子A、A1、A+和A。首先，我们引入如下的由手征流构成的位于真空和介子态之间的关联函数：A1(P,q)=id4xeiqxA(P,)|T q1(x)(1 5)b(x),b(0)i(1 + 5)q2(0)|0.(6.6)这里，轴矢介子在质壳上P2= m2A，q为B介子衰变过程中的动量转移。类似于求和规则，在深

235、度类空区域m2b(P +q)2 0我们能使用算子乘积展开在QCD中计算关联函数。在强子水平上，我们的目标是从关联函数中分离出一些强子尺度的物理量。因此，我们向上面的关联函数中插入一组与流具有相同量子数的强子态完备基，这包括基态、激发态以及连续谱。插入完备基后，我们就能将B介子作为一个极点分离出来hA1(P,q)=A(P,)| q1(1 5)b|B(P + q)B(P + q)|bi5q2|0m2B (P + q)2+hA(p,)| q1(1 5)b|Bh(P + q)Bh(P + q)|bi(1 + 5)q2|0m2B (P + q)2=(mB mA)A1+2A+(q2)mB mA( q)P+

236、A+(q2) + A(q2)mB mA( q)q+2iA(q2)mB mAqP1m2B (P + q)2m2BfBmq2+ mb+ .(6.7)应该强调的是，在上面的在第一步推导向关联函数中插入粒子时，除了应该插入基态赝标B介子和更高激发态赝标B介子，还应该插入标量B介子。由于标量B介子的能量稍稍低于第一激发态的赝标B介子，我们把他们统一简单记为Bh。在第二步推导时，我们用到了半轻衰变过程B A1的形状因子的定义式(6.1)和(6.2)，B介子的衰变常数的定义正如通常的取法为B|bi5q|0 =m2BfBmq2+mb。最后的点表示更大质量激发态和连续谱的贡献，如果将这些项表示为色散积分的形式，

237、由于我们在第一步的求和中包括了标量介子的贡献，因此，积分下限的阈值s0取在能量最低的标量B介子的质量平方附近。88第 6 章B介子衰变到轴矢量介子的形状因子我们的关联函数中重夸克离壳程度很大，为m2b (P + q)2，因此我们在计算中可以取微扰b夸克传播子的领头阶b(x)b(0)=iS(x,0) = id4k(2)4eikxk + mbm2b k2.(6.8)收缩关联函数中的b夸克场为自由传播子，我们发现，只有A(P,)| q1(x)5q2(0)|0形式的矩阵元保留下来，而其它的矩阵元，象A(P,)| q1(x)5q2(0)|0，A(P,)| q1(x)q2(0)|0和A(P,)| q1(x

239、u)4+fA12(P () ()P)5(u) +m2Ax216A2)12(P x x P)5()x(Px)2m2Ah(t)(u) 14() x x ()5m2APxh3(u)+i()x)m2A5h(p)(u)2.(6.10)于是关联函数化简为A1(P,q)=iduTr(1 5)(k + mb)(1 + 5)MA1m2b k2?k=uP(6.11)上式中，轴矢介子的横向和纵向投影算子分别为108MA=(6.12)ifA4E()n5(u)89第 6 章B介子衰变到轴矢量介子的形状因子fAfAmAE()5g(a)(u) Eu0dv (v) g(a)(v) n5()k+i()n(n+g(v)(u)8

240、Eg(v)(u)4k)?k=uP+ O(m2AE2)MA=(6.13)ifA4mA()n+)2n5(u) fAfAmAEi25nn+h(t)(u)iEu0dv (v) h(t)(v) 5nk+ 5h(p)(u)2?k=up+ O(m2AE2).而轴矢介子的4动量我们已经取为P= En+ m2An+/4E En，独立于坐标x的横向和纵向极化算子精确的为()=()()n+2n()n2n+(6.14)(0)=EmA(1 m2A4E2)nm2A4E2n+(6.15)对(6.11)求迹，我们发现只有垂直分量不为0，其它的分量为0，A1(P,q)=14duTr(1 5)(q + u P)(1 + 5) P

241、5fA(u)m2b (q + uP)2=24duTr(1 5)(q + u P)5P5fA(u)m2b (q + uP)2(6.16)因此，我们获得如下形式简单的关联函数的算子乘积展开QCDA1(P,q)(6.17)=fA10du(u)m2b (q + uP)22P (q + uP) 2( q)P 2iqP为了从算子乘积展开中消除掉与连续谱和激发态相应的部分的贡献，我们将算子乘积展开变换成色散积分的形式，即通过m2b (q + uP)2= u(s (P +q)2)将变量u代换为变量s。与此同时，将算子乘积中遇到的如下几个因子按如下形式进行变换(q P)=m2b q2 u2P22um2b (q

242、+ uP)22up (q + uP)=m2b q2+ u2P22um2b (q + uP)22uq (q + uP)=m2b+ q2 u2P22m2b (q + uP)22.(6.18)90第 6 章B介子衰变到轴矢量介子的形状因子然后，对比关联函数的唯象学强子谱表示与算子乘积展开表示，利用夸克强子对偶就能消去连续谱和激发态贡献。为了更好的压低连续谱和激发态的贡献，同时也为了压低负幂次项的修正的贡献，我们将上面得到的两种形式的关联函数进行Borel变换BM21m2J/ (q + p)2=1M2em2J/M2BM21m2b (q + uP)2=1uM2e1uM2m2c+u(1u)P2(1u)q2

243、(6.19)最后，就得到了如下形式非常简单的形状因子：A1(q2)=mq2+ mbm2BfBfAmB mA1du(u)um2b q2+ u2P2ueFF(6.20)A+(q2)=mq2+ mbm2BfB(mB mA)fA1du(u)ueFF(6.21)A(q2)=+mq2+ mbm2BfB(mB mA)fA1du(u)ueFF(6.22)A(q2)=mq2+ mbm2BfB(mB mA)fA1du(u)ueFF(6.23)这儿，=12m2A(s0 m2A+ Q2)2+ 4(m2b+ Q2)m2A (s0 m2A+ Q2)FF=1uM2m2b+ u(1 u)m2A+ (1 u)Q2+m2BM2(

244、6.24)M2是Borel变换参数，轴矢介子的动量为P2= m2A，B介子衰变过程中的传输动量为q2= Q2。其它的形状因子A3(q2) 和A0(q2)能够利用形状因子关系(6.4)和(6.5).来得到A3(q2)=mq2+ mbm2BfBfA2mA1du(u)um2b q2+ u2P2ueFF+mq2+ mbm2BfBfA2mA(m2B m2A)1du(u)ueFF(6.25)A0(q2)=mq2+ mbm2BfBfA2mA1du(u)um2b q2+ u2P2ueFF+mq2+ mbm2BfBfA2mA(m2B m2A)1du(u)ueFF+mq2+ mbm2BfBq2fA2mA1du(u

245、)ueFF(6.26)所有的形状因子都十分简单，也就是说，在形状因子中只出现了领头扭度的分布振幅。不仅如此，这些形状因子之间还存在与B V 过程的形状因子91第 6 章B介子衰变到轴矢量介子的形状因子之间完全一样的形状因子关系：A(q2)=A+(q2)A(q2)=A+(q2).(6.27)为了验证这一点，我们可以对于B V 衰变过程采用形式如(6.6)的手征流关联函数，并且，只考虑横向极化部分。按照与上面完全类似的推导，我们就能类似的形状因子和相应的形状因子关系。6.1.2B A2半轻衰变形状因子上一节的的步骤也可以用于推导张量型衰变过程的形状因子，该过程的形状因子定义为A(p,)| q5qb

247、形状因子的求和规则结果：TBA1(q2)=mq2+ mbm2BfBmbfA1du(u)ueFF(6.32)TBA2(q2)=mq2+ mbm2BfBmbfA(1 q2m2B m2A)1du(u)ueFF(6.33)TBA3(q2)=mq2+ mbm2BfBmbfA1du(u)ueFF(6.34)这些形状因子之间存在着与B V 衰变过程完全一样的形状因子关系TBA3(q2)=TBA1(q2)(6.35)92第 6 章B介子衰变到轴矢量介子的形状因子TBA2(q2)=(1 q2m2B m2A)TBA1(q2)(6.36)对于B介子衰变到S-波介子的情形，形状因子关系与此类似，只是其中mA和(mBm

248、A) 分别被mV合(mB+mV)取代。文献88在忽略矢量介子高扭度分布振幅近似后曾得到了类似的关系，但这儿我们没有做任何的近似，由于只考虑了横向极化的贡献，所以所有的形状因子关系都是精确成立的。文献88的第三部分将他们的关于B到S-波的形状因子关系与文献103107的进行了详细的对比分析，同样的分析对于这里的B到P-波情形一样适用，故这里从略。6.2轴矢量介子分布振幅我们将轴矢介子2扭度分布振幅按盖根宝多项式展开为A(u,)=6u u1 + a1()3 + a2()(152232),(6.37)这儿 = 2u1，对于轴矢介子a1(1260)，在能标为 = 1 GeV时，它的盖根宝多项式前面的前

249、几个盖根宝矩是a0= a2= 0,a1= 1.04,(6.38)轴矢介子a0(1260)的具体分布振幅见图(6.1)。6.3数值结果及讨论为了数值的分析半轻衰变过程B a1(1260)，我们输入以下的参数：b夸克组份质量mb= 4.85 GeV，轴矢介子中q2夸克质量mq2 0 GeV；B介子质量mB= 5.279 GeV、衰变常数取为fB= 0.19 GeV，轴矢介子a1(1260)质量mA=1.23 GeV、衰变常数fA= 0.239 GeV，衰变过程中的传输动量为q2= 0 GeV2，相应的对分布振幅的积分的下限为 0.7。由于我们采用了手征流，B介子阈值在标量B介子的质量附近，其中中心

250、阈值为：s0= 32 GeV2。我们初步计算了B a1(1260)衰变过程的矢量型形状因子A1(q2= 0)，A2(q2= 0)和A0(q2= 0)(6.2)，更多的如张量型形状因子及B介子衰变到其它轴矢介子的讨论我们会在后续的工作中陆续给出。需要补充的是，目前我们只是在零头阶上讨论了B a1(1260)衰变过程的形状因子及形状因子关系，也即我们主要是考虑了该衰变过程中的软贡献。如果继续讨论硬散射带来的高阶修正，这些结果可能会发生改变。对于B介子半轻衰变到S-波矢量介子的过程，有人已经估计出辐射修正的贡献约为30%左右，但对于B介子半轻衰变到P-波轴矢介子的过程，处理上可能胡比较复杂。我们93

251、第 6 章B介子衰变到轴矢量介子的形状因子?图图图 6.1轴矢介子a0(1260)在能标为 = 1.0 GeV 时的横向分布振幅。将在以后合适的时候继续考虑这一问题。那时，上述的形状因子关系也将破坏，从而独立的形状因子数目上升，人们对相应形状因子的认识又将面临新的挑战。6.4小结本章用手征流光锥求和工作方法初步讨论了B a1(260)半轻衰变过程的形状因子及形状因子关系。由于采用了手征流方法，高扭度分布振幅完全相互抵消，最终得到了形状因子的求和规则。我们发现，他们之间存在着简单的形状因子关系，这些形状因子关系与文献107用光前夸克模型的结论一致。如果我们进一步考虑辐射修正和硬共线胶子修正，这些

252、形状因子关系将会破坏。文献111和89详细讨论B V (V为矢量介子)半轻衰变过程中共的这种破坏效应，对于B A(A为轴矢介子)半轻衰变过程，还没有这方面的讨论。随着B工厂的能量逐渐升高，越来越多的轴矢介子被发现，我们的结果将被实验所检验。94第 6 章B介子衰变到轴矢量介子的形状因子?图图图 6.2半轻衰变过程B a0(1260)中的形状因子A1，A2和A0在大反冲点q2= 0 GeV2对Borel参数M2的依赖关系。其中，轴矢介子a0(1260)的横向分布振幅的能标为 = 1.0 GeV，阈值取为s0 = 30 GeV2,s0 =32 GeV2,s0 = 34 G

253、eV2，B介子衰变常数取为fB= 0.19 GeV。95第 7 章结论与展望第第第 7 章章章结结结论论论与与与展展展望望望在光锥求和规则框架下，我们研究了正负电子湮灭产生粲偶素对的遍举过程e+ e J/ + c的形状因子，然后利用该形状因子，求出了该过程的反应截面。尽管轻介子的分布振幅已经为人们所熟知并被广泛应用，但重介子c的分布振幅依然是陌生的，这反应了人们对于重介子c的动力学依然了解不多有待深入。基于此，我们采用谐振子势近似基础上的“BHL”模型的c波函数，并考虑它随有效能标的QCD演化，最终得到了与B工厂BaBar和Belle的实验相一致的截面。这表明，相对论性的“BHL”模型的c波函

254、数正确反应了重介子c的动力学，而在此之前，非相对论QCD方法的领头阶的结果之所以比实验小了一个量级，也正是因为他们所采用的非相对论的c介子的动力学不合适。另外，不只是我们的相对论性c介子波函数，其它几个模型的相对论性c介子波函数在光锥求和规则框架下也都能给出该过程的近似正确的结果，而这些模型所表示的c介子波函数是稍有不同的，尤其是在高能尾区域。因此，一方面我们对c介子的相对论性的动力学通过它的波函数的形式有了初步的了解；另一方面，我们对c介子的相对论性的结构究竟怎样还不是很确定，这需要将来其它的实验和理论的进一步筛选和确认。下一步，考虑到“BHL”模型波函数能够成功描述粲偶素介子c的动力学属性

255、，我们将尝试用光锥求和规则去求更为一般的e+ e V + P过程的截面，这儿，V 可以是各种矢量粲偶素介子如J/,，P可以是各种赝标粲偶素介子，如c等等。在光锥求和规则的框架下，推广以前B介子半轻衰变到介子的手征流方法，我们系统地研究了B 介子半轻衰变到轻标量介子的过程。由于采用了手征流形式的关联函数，所有形状因子的求和规则结果只依赖于领头扭度的标量介子分布振幅，我们发现这些形状因子并不独立，它们之间存在着相互关联的关系，这与软共线有效理论(SCET)一致。利用这些形状因子，我们进一步获得了这些半轻衰变过程的微分衰变宽度。所有这些解析的结果与B介子半轻衰变到介子的情形类似，而数值的结果则有待于

256、将来在B工厂的相关实验中进行检验。但是，我们的结果与B介子半轻衰变到介子又有不同。(1)首先，我们确定出了该衰变过程中与的情形不同的传输动量q2的运动学区域0 q2(mbmS)22(mbmS)QCD，对于衰变到质量大于1 GeV和质量小于1 GeV的标量介子，运动学区域分别相当于0 q2 8 GeV2和0 q2 11 GeV2，均小于实验上允许的运动学区域；而在衰变到时，相应的运动学区域为0 q297第 7 章结论与展望m2b 2mbQCD 18 GeV2。这是由于标量介子的质量远大于介子的质量造成的。但是，这就产生一个问题，如何才能得到实验上的整个运动学区域内的结果呢？对于B 情形，由于要拟

257、合的区域接近于B介子的极点质量，人们采用极点模型拟合光锥求和规则的结果，推广就可以得到整个运动学区域上的形状因子；但是对于B S(S为标量介子)情形，要拟合的区域却远小于B介子的极点质量，因此，极点模型拟合可能存在问题，除非找到其它的可用于偏离极点质量区域的新的拟合方法，否则我们无法通过它来得到拟合后的整个运动学区域上的形状因子。(2)其次，考虑到微扰QCD方法在q2= 0时严格成立，光锥求和规则方法在0 q2 某个中等能量平方时成立，而格点QCD在q2很大时成立，为了得到实验上的整个运动学区域内的形状因子，这就需要求助于格点QCD的帮助来得到q2很大时的形状因子，综合考虑这些方法的结果，我们

258、就可以得到全空间的形状因子、进而得到相应衰变过程的微分衰变宽度和总宽度，从而能够与实验进行完整的比较。(3)再次，我们对标量介子的动力学远不如对介子的动力学那样了解。目前，文献68,110的作者用求和规则方法讨论过标量介子的光锥分布振幅，但是，他们的分布振幅误差较大，这就导致用光锥求和规则方法计算形状因子和微分宽度的误差也会比较大，因此，获得更加准确的标量介子光锥分布振幅具有非常重要的意义。考虑到求和规则方法只适合求出分布振幅的前几个矩从而得到的分布振幅不确定性较大，有待格点QCD方法确定标量介子分布振幅的矩，与求和规则的结果相互验证，降低分布振幅的不确定性。另外，也可以尝试用上文中提到的模型

259、来构造标量介子分布振幅，并通过物理过程检验它们的正确性。在光锥求和规则的框架下，推广以前B介子半轻衰变到矢量介子的手征流方法，我们初步研究了B 介子半轻衰变到轴矢介子a1(1260)的过程。但是，由于轴矢介子具有复杂的极化行为，为了获得简单的形状因子，我们只考虑了横向极化分量。这大大简化了推导的过程，并得到了简单的形状因子之间的关系(如果对于B V 作类似的处理，结果也十分类似)。它们与B V 的形状因子之间的关系完全一致，从而也与软共线有效理论(SCET)的形状因子关系一致。不仅如此，下一步，我们将系统的研究B介子半轻衰变到P波轴矢介子的过程，由于P波轴矢介子分为3P1和1P1两类，因此，我

260、们将分别予以讨论，预期这些结果将可以被将来B工厂上的实验检验。总之，本文用光锥求和规则方法得到了正负电子湮灭产生双粲偶素过程e+ e J/ + c的截面，结果与B工厂BaBar和Belle的实验符合。我们还计算了B介子半轻衰变到轻标量介子和轴矢介子的过程。如果我们所采用的P波标量介子和轴矢介子的动力学描述正确，我们现在以及将来关于B S和B A的结果将可以被将来的实验所检验。这对于准确理解P波介98第 7 章结论与展望子动力学，检验光锥求和规则方法的适用范围都是有意义的。99参考文献参参参考考考文文文献献献1 H. D. Politzer, Phys. Rept. 14, 129 (1974)

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291、rXiv:0710.1508 hep-ph.98 N. Ghahramany and R. Khosravi, Phys. Rev. D 80, 016009 (2009).99 C. H. Chen, C. Q. Geng, C. C. Lih and C. C. Liu, Phys. Rev. D 75, 074010 (2007)arXiv:hep-ph/0703106.100 M. J. Aslam, C. D. Lu and Y. M. Wang, Phys. Rev. D 79, 074007 (2009)arXiv:0902.0432 hep-ph.101 H. Y. Cheng

292、, C. K. Chua and C. W. Hwang, Phys. Rev. D 69, 074025 (2004)arXiv:hep-ph/0310359.102 B. El-Bennich, O. Leitner, J. P. Dedonder and B. Loiseau, Phys. Rev. D 79,076004 (2009) arXiv:0810.5771 hep-ph.103 B. Stech, Phys. Lett. B 354, 447 (1995) arXiv:hep-ph/9502378.104 J. M. Soares, Phys. Rev. D 54, 6837

293、 (1996) arXiv:hep-ph/9607284.105 J. M. Soares, arXiv:hep-ph/9810402.106 J. M. Soares, arXiv:hep-ph/9810421.107 J. Charles, A. Le Yaouanc, L. Oliver, O. Pene and J. C. Raynal, Phys. Rev. D 60,014001 (1999) arXiv:hep-ph/9812358.108 K. C. Yang, Phys. Rev. D 78, 034018 (2008) arXiv:0807.1171 hep-ph.109

294、M. Beneke and T. Feldmann, Nucl. Phys. B 592, 3 (2001) arXiv:hep-ph/0008255.106参考文献110 C. D. Lu, Y. M. Wang and H. Zou, Phys. Rev. D 75, 056001 (2007) arXiv:hep-ph/0612210.111 M. Beneke and T. Feldmann, Nucl. Phys. B 592, 3 (2001) arXiv:hep-ph/0008255.107附录B介子衰变到赝标介子的弱形状因子附附附录录录B介介介子子子衰衰衰变变变到到到赝赝赝标标

295、标介介介子子子的的的弱弱弱形形形状状状因因因子子子在这个附录，我列出了用手征流光锥求和规则方法推导B介子半轻衰变到赝标介子过程的形状因子及形状因子关系。推导的思路与B介子半轻衰变到标量介子的过程类似。不同之处在于，我们运用了投影算子形式的分布振幅。A.1B P1半轻衰变的形状因子首先，定义该过程中矢量型形状因子为；P(p)| q(1 5)b|B(p + q)=2pfBP+ (fBP+ fBP)q.(A.1)采用如下的关联函数：P1(p,q) =(A.2)id4xeiqxS(p)|T q1(x)(1 5)b(x),b(0)i(1 5)q2(0)|0,利用投影形式的光锥分布振幅111P(p)| q

296、(y)q(x)|0 =(A.3)ifP410duei(upy+ upx)p5(u) P5(p(u) pz(u)6),关联函数化简为A1(P,q)=iduTr(1 5)(k + mb)(1 5)MS1m2b k2?k=uP,(A.4)其中，投影算子定义为111MP=(A.5)ifP4p5(u) P5(p(u) inv(u)6+ ip(u)6k).运用类似于第五章第六章中的推导，得到最终求和规则为：fBP+=mq2+ mbm2BfBmbfP1duP(u)ueFF,fBP=mq2+ mbm2BfBmbfP1duP(u)ueFF.(A.6)相应的形状因子关系为：fBP(q2)=fBP+(q2).(A.

297、7)109附录B介子衰变到赝标介子的弱形状因子A.2B P2半轻衰变的形状因子首先，定义该过程中张量型形状因子为；P(p)| q(1 + 5)qb|B(p + q)=2pq2 2q(q p)ifBPTmB+ mP.(A.8)我们采用如下的手征流关联函数P2(p) =(A.9)id4xeiqxV (P,)|T q1(x)(1 + 5)qb(x),b(0)i(1 5)q2(0)|0,同样的得到如下的形状因子：fBPT=mq2+ mbm2BfB(mB+ mP)fP1duP(u)ueFF.(A.10)相应的形状因子关系为：fBST(q2)=(mB+ mS)mbfBS+(q2).(A.11)110附录B

298、介子衰变到矢量介子的弱形状因子附附附录录录B介介介子子子衰衰衰变变变到到到矢矢矢量量量介介介子子子的的的弱弱弱形形形状状状因因因子子子在这个附录，我列出了用手征流光锥求和规则方法推导B介子半轻衰变到矢量介子过程的形状因子及形状因子关系。推导的思路与B介子半轻衰变到轴矢介子的过程类似。B.1B V 1半轻衰变的形状因子首先定义矢量型形状因子：V (P,)| qb|B(P + q)=qP2V (q2)mB+ mV,(B.1)V (P,)| q5b|B(P + q)=i(mB+ mV)V1(B.2)( q)P2iV+(q2)mB+ mV i( q)qV+(q2) + V(q2)mB+ mV,这儿，q

299、是B介子衰变到矢量介子时的传输动量，是矢量介子的极化矢量，极化矢量的定义为0123= 1。另外一种经常用到的形状因子定义是：V (P,)| q5b|B(P + q)=i(mB+ mV)V1 ( q)P2iV2(q2)mB+ mV(B.3)i( q)qV2(q2)mB+ mV+ 2mVV3(q2) V0(q2)q2,其中，V3(q2) =mB+mV2mVV1(q2) mBmV2mAV2(q2) ，V3(q2= 0) = V0(q2= 0),对比这两种形状因子定义，我们发现，它们之间存在如下的相互转换关系。V2(q2)=V+(q2),(B.4)V3(q2)=mB+ mV2mVV1(q2) mB m

300、V2mVV+(q2),(B.5)V0(q2)=mB+ mV2mVV1(q2) mB mV2mVV+(q2) q22mV(mB+ mV)V(q2). (B.6)当我们知道其了其中一种定义下的形状因子，由这些关系，很容易得到另外一种定义下的形状因子。下面我就用光锥求和规则方法来求形状因子。首先，我们引入如下的由手征流构成的位于真空和介子态之间的关联函数：V 1(P,q) =(B.7)id4xeiqxV (P,)|T q1(x)(1 5)b(x),b(0)i(1 + 5)q2(0)|0,这里，矢量介子在质壳上P2= m2V，q为矢量介子的动量转移。类似于求和规则在深度类空区域m2b (P + q)2

301、 0我们使用算子乘积展开在QCD中计算关联函111附录B介子衰变到矢量介子的弱形状因子数。利用投影形式的光锥分布振幅111V (P,)| q(x)q(0)|0 = i410duei(upx)(B.8)fVmV(P xP x(u)+ g(v)(u) + Px5g(a)(u)4)+f(/P (u) im2V z(P x)2Pxh(t)(u) im2V xh(s)(u)2).类似于第六章中的相应过程的推导，我们得到：V 1(P,q)=iduTr(1 5)(k + mb)(1 + 5)MV1m2b k2?k=uP,(B.9)上式中，矢量介子的横向和纵向投影算子分别为111MV=fV4E n(u) if

302、VmV4g(v)(u)Eu0dv (v) g(v)(v) nk+in5n+g(a)(u)8 Eg(a)(u)4k?k=up,(B.10)MV=fV4mV( n+)2EE n(u) ifmV4mV( n+)2Ei2nn+h(t)(u)iEu0dv (v) h(t)(v) nk+h(s)(u)2?k=up,(B.11)继续运用与第六章中类似的推导，我们得到最终的求和规则：V1(q2)=mq2+ mbm2BfBfVmB+ mV1du(u)um2b q2+ u2P2ueFF, (B.12)V+(q2)=mq2+ mbm2BfB(mB+ mV)fV1du(u)ueFF,(B.13)V(q2)=mq2+

303、mbm2BfB(mB+ mV)fV1du(u)ueFF,(B.14)V (q2)=mq2+ mbm2BfB(mB+ mV)fV1du(u)ueFF,(B.15)这儿，=12m2V(s0 m2V+ Q2)2+ 4(m2b+ Q2)m2V (s0 m2V+ Q2),FF=1uM2m2b+ u(1 u)m2V+ (1 u)Q2+m2BM2,112附录B介子衰变到矢量介子的弱形状因子M2是Borel变换参数，矢量介子的动量为P2= m2V，B介子衰变过程中的传输动量为q2= Q2。其它的形状因子利用形状因子关系V2(q2)=V+(q2),(B.16)V3(q2)=mB+ mV2mVV1(q2) mB

304、mV2mVV+(q2),(B.17)V0(q2)=mB+ mV2mVV1(q2) mB mV2mVV+(q2) q22mV(mB+ mV)V(q2),(B.18)得到。利用(B.17)和(B.18)，形状因子V3(q2)和V0(q2)为：V3(q2)=+mq2+ mbm2BfBfV2mV1du(u)um2b q2+ u2P2ueFFmq2+ mbm2BfBfV2mV(m2B m2V)1du(u)ueFF,(B.19)V0(q2)=+mq2+ mbm2BfBfV2mV1du(u)um2b q2+ u2P2ueFFmq2+ mbm2BfBfV2mV(m2B m2V)1du(u)ueFF+mq2+

305、mbm2BfBq2fV2mV1du(u)ueFF.(B.20)相应的形状因子关系为V(q2)=V+(q2),(B.21)V (q2)=V+(q2).(B.22)B.2B V 2半轻衰变的形状因子上一节的的步骤也可以用于推导张量型衰变过程的形状因子，该过程的形状因子定义为：V (P,)| qqb|B(P + q)= 2iqPTBV1(q2),(B.23)V (P,)| q5qb|B(P + q)= (m2B m2V)TBV2(q2)(B.24)2( q)PTBV2(q2) +q2m2B m2VTBV3(q2)+( q)qTBV2(q2) + (1 q2m2B m2V)TBV3(q2).研究如下的

306、两点关联函数：V 2(P,q) =(B.25)113附录B介子衰变到矢量介子的弱形状因子id4xeiqxV (P,)|T q1(x)(1 + 5)qb(x),b(0)i(1 + 5)q2(0)|0,运用与第六章完全类似的推导，只考虑横向极化部分，我得到最终的求和规则为：TBV1(q2)=mq2+ mbm2BfBmbfV1du(u)ueFF,(B.26)TBV2(q2)=mq2+ mbm2BfBmbfV(1 q2m2B m2V)1du(u)ueFF,(B.27)TBV3(q2)=mq2+ mbm2BfBmbfV1du(u)ueFF.(B.28)相应的形状因子关系为：TBV3(q2)=TBV1(q

307、2),(B.29)TBV2(q2)=(1 q2m2B m2V)TBV1(q2).(B.30)114致谢致致致谢谢谢屈子曾云：路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！求索人生的真义，求索科学的真理。选择科学践行人生，从梦想到现实，从现实到实现。已故哲人马克思曾说：在科学上，没有平坦的大道，只有沿着陡峭山路勇敢攀登的人，才能到达光辉的顶点。已故恩师阮图南又说， “学习，就像小鸡啄米，看似复杂，其实简单。你需要去做长期细致的积累，而积累只不过是简单的体力劳动。 ”有幸在科大和高能所这样氛围浓厚的环境里，聆听大师教诲，锻炼科学素养，结交人生挚友，我真心感谢所有的人。首先要感谢科大近代物理系的各位老师，尤其是已

308、故恩师阮图南、井思聪和依然勤奋工作在一线的张永德、阎沐霖、马文淦和卢建新老师，是你们最先带我步入科学的殿堂，领略她迷人的风采。我还要感谢王安民、孙腊珍、张仁友、高道能和杨为民老师，是你们让我近距离了解了近代物理的各个分支，坚定了我走科研之路的信念。特别要感谢将我带入科研之门的两位恩师完绍龙教授和黄涛研究员。完老师为人心胸豁达、谦逊儒雅，与之交流如沐春风；完老师为事勇于担当、鞠躬尽瘁，与之共事胸意畅明。领悟长者风范、自律为人处事、步入科研之门是我从完老师那儿获得的最大馈赠。黄老师学问高屋建瓴、纵横自如，与之讨论顿觉通透；黄老师处事层次分明、疏密有致，与之相处豁然开朗。不断开拓视野、深入反思调整、

309、认真细致勤奋是我从黄老师那儿汲取的难忘教益。其次要感谢一起合作研究、交流讨论的各位老师和同学。感谢华北电力大学的王志刚师兄、重庆大学的吴兴刚师兄、烟台大学的李作宏师兄和高能所的左芬博士，与他们的合作帮助我克服了许多科研上的困难、加深了我对高能物理和求和规则理论的理解和认识。王志刚师兄和吴兴刚师兄勤奋乐观、雷厉风行，李作宏师兄豪爽细致、追求完美，左芬师兄才思敏捷、理解深刻，这些都给我留下了深刻的印象。还要感谢与吕才典老师、贾宇老师、Bowdin教授和Brodsky教授的有益交流，几位老师或平易近人、或耐心细致、或学识渊博、或才思敏捷，让我获益良多。在高能所的两年多时光里，理论室的各位老师或谦虚勤

310、奋、或激烈争锋，大家为了一个共同的真理不分你我、燃烧激情，给我留下了难以磨灭的印象。感谢所有一起学习讨论过的高能所的谢聚军、李宝春、许甲、王玉明、李润辉、旺晓霞、周锐、邹之田、于福生、刘晓海、晴文、杨秀婷、何松和科大115致谢的丁桂军、宁波、王兆龙、王一、黄伟、杨平、罗敏捷、李文伟同学。与你们一起讨论让我不断进步不断学习。感谢在闲暇时光陪我一起玩耍的好朋友徐玉存、余俊、钱金平、秦国斌、徐杰、焦建兵、周家稳、孙亮、凌坤、韩玮、杨岸、杨萧、高驰、陈一鸣、谢道阔，周兴龙、陈娟、刘琦、桂龙成、徐甫坤、李明华、李明涛，与你们在一起，让我感受到了生活的激情与洒脱、浪漫与美好，从而能够以更好的状态恢复到科研

311、工作之中去。感谢完老师同组的各位同学，陈清、姚晓波、李恒梅、谢传梅、黄备兵、蒋璋、王智拓、杨孝森、吕敏、蓝元培、陈亮、孙亮、陈萌苏、尤付益、陈晨、严忠波、詹丽君、郭珂，感谢大家在物理和生活上给我的帮助。最后，还要感谢一起生活并成为很好朋友的科大的胡波，高能所的张子良、马敏阳、梁立欢、胡选侯、李杰、杜江峰，你们在生活的方方面面给我提供了无尽的帮助，兄弟铭记在心。最后，特别感谢远在家乡却一直默默支持着我的父亲、母亲和姐姐，你们的支持和鼓励，是我努力工作的最大动力。 “谁言寸草心、报得三春晖” ，我唯有继续努力工作，不负众人期望。孙艳军2010年11月116在读期间发表的学术论文与取得的研究成果在在

312、在读读读期期期间间间发发发表表表的的的学学学术术术论论论文文文与与与取取取得得得的的的研研研究究究成成成果果果1 “The cross section of the process e+ e J/ + cwithin the QCD light-cone sum rules”，Y. J. Sun, X. G. Wu, F. Zuo and T. Huang, Eur. Phys. J. C 67, 117 (2010)arXiv:0911.0963 hep-ph.2 “B(s) S transitions in the light cone sum rules with the chiral current”，Y. J. Sun, Z. H. Li, T. Huang, submitted to Phys. Rev. D (2010) arXiv:1011.3901hep-ph3 “Form factors of B(s) a1(1260) process in the light cone sum rules with thechiral current”，in preparation.4 “B(s) A transitions in the light cone sum rules with the chiral current”，in calculation.117

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