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1、韩老师编辑第三单元导数及其应用基础题 1、已知f(x)是函数f(x)的导函数,如果f(x)是二次函数,f(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,3),那么曲线f(x)上任一点处的切线的倾斜角的取值范围是( )A.(0,3B.3,2)C.(2,23D.3,) 答案： B 解析： 根据题意,由于f(x)是函数f(x)的导函数,如果f(x)是二次函数,f(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,3)说明了函数的最小值为3,那么则曲线f(x)上任一点处的切线的倾斜角的正切值大于等于3,则可知倾斜角的范围是3,2),选B.点评:本试题主要是考查了导数了几何意义的运用,属于基础题。 2、设函数f(x)=ax3+
2、2,若f(-1)=3,则a等于( )A.-1B.12C.1D.13 答案： C 解析： 由f(x)=ax3+2,得f(x)=3ax2,又f(-1)=3,3a=3,解得a=1.故选C. 3、函数f(x)=12x2-lnx的单调递减区间为( )A.(-1,1B.(0,1C.1,+)D.(0,+) 答案： B 解析： 由题意知,函数的定义域为(0,+) ,又由f(x)=x-1x0,解得0x1,所以函数的单调递减区间为(0,1 . 4、函数f(x)=12x-x3在区间-3,3上的最小值是( )A.-9B.-16C.-12D.-11 答案： B 解析： f(x)=12-3x2=0,得x=-2或x=2.又
3、f(-3)=-9,f(-2)=-16,f(2)=16,f(3)=9,所以函数f(x)在-3,3上的最小值为-16. 5、设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数,f(x)是f(x)的导函数,当x0,时,0f(x)0,则函数y=f(x)-sinx在-2,2上的零点个数为( )A.2B.4C.5D.8 答案： B 解析： f(x)是最小正周期为2的偶函数,f(x+2)=f(x)=f(-x),y=f(x)的图象关于y轴和直线x=对称,又0x0,0x2时,f(x)0,同理,2x0,又0x时,0f(x)1,y=f(x)的图象大致如图所示,又函数y=f(x)-sinx在-2,2上的零点个数函数y
4、=f(x)与y=sinx图象的交点个数,由图可知共有四个交点,故选B.6、 如图所示,图中曲线方程为y=x2-1,用定积分表达图中阴影部分的面积是( ) A.|02(x2-1)dx|B.02(x2-1)dxC.02|x2-1|dxD.01(x2-1)dx+12(x2-1)dx 答案： C 解析： 本题考查定积分的几何意义,所求面积为01(1-x2)dx+12(x2-1)dx=02|x2-1|dx. 7、若函数f(x)=x2+ax+1(aR)在x=1处取得极值,则a=( )A.1B.2C.3D.4 答案： C 解析： 本题考查应用导数求解函数的极值.f(x)=(x2+ax+1)=(x2+a)(x
5、+1)-(x2+a)(x+1)(x+1)2=x2+2x-a(x+1)2,x=1为函数的极值点,即1+21-a=0,解得a=3. 8、设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,且f(0)=0,f(-12)=0,则不等式f(x)0的解集为( )A.x|x12B.x|0x12C.x|x-12或0x-12D.x|-12x0或x12 答案： C 解析： 本题考查函数的奇偶性、单调性以及解不等式等, 属于基础题.由题意可画下面草图,f(x)的图象如图所示,根据图象得不等式f(x)0的解集为x|x-12或0x12. 9、函数y=x2+x在x=1到x=1+x之间的平均变化率为( )A.x+2B.x+3C.2x+
6、(x)2D.x=3x+(x)2 答案： B 解析： y=(1+x)2+1+x-1-1=x2+3x,所以yx=x+3,故选B. 10、已知函数f(x)=cosxex,则函数f(x)在点(0,f(0)处切线方程为( )A.x-y+1=0B.x+y-1=0C.x+y+1=0D.x-y-1=0 答案： B 解析： 本题考查导数的几何意义,由题意知f(x)=-sinxex-cosxex(ex)2,则f(0)=-1,故所求切线的斜率为-1,又,故所求切线方程为x+y-1=0. 11、已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),则不等式g(x)3
7、x-3的解集是( )A.-1,12,+)B.(-,-1)1,2C.(-,-12,+)D.-1,2 答案： A 解析： 本题主要考查导函数值的符号与函数单调性的关系,由导函数的图象可知函数f(x)在(-,1上单调递减,在1,+)上单调递增,又不等式可化为(x-1)(f(x)-3)0,即x1f(x)3或x1f(x)3,又f(-1)=f(2)=3,所以x2或-1x1.综上,不等式g(x)3x-3的解集是-1,12,+). 12、设函数f(x)=ax2+b(a,bR,且a0),若03f(x)dx=3f(x0)则x0=( )A.3B.2C.1D.2 答案： A 解析： 本题考查微积分基本定理03f(x)
8、dx=03(ax2+b)bx=(13ax3+bx)|30=9a+3b,因为3f(x0)=3ax02+3b,所以9a+3b=3ax02+3b,即x02=3,解得x0=3. 13、设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(2017)= . 答案： 20182017 解析： 令ex=t,则x=lnt,所以f(t)=lnt+t,故f(x)=lnx+x,求导得,f(x)=1x+1,故f(2017)=12017+1=20182017. 14、已知函数f(x)=12x2-2ax-alnx(aR)在(1,2)上单调递减,则a的取值范围是 . 答案： 45,+) 解析： 因为函数f(x)=
9、12x2-2ax-alnx(aR)在(1,2)上单调递减,所以f,(x)=x-2a-ax=x2-2ax-ax0在(1,2)上恒成立,即ax22x+1在x(1,2)上恒成立,易知函数y=x22x+1在(1,2)上是增函数,所以x22x+12222+1=45,故a45. 15、设f(x)和g(x)分别是f(x)和g(x)的导函数,若f(x)g(x)0),则b-a的最大值为 . 答案： 12 解析： 由题意知f(x)=x2-2a,g(x)=2x+2b,函数f(x)与g(x)在区间(a,b)上单调性相反,则(x2-2a)(2x+2b)0在x(a,b)上恒成立,又0a0,于是x2-2a0在x(a,b)上
10、恒成立,易知x2-2a0.a0,f(x)=a(x-1)2-4-4且f(1)=-4a,f(x)min=-4a=-4,a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.2.g(x)=x2-2x-3x-4lnx=x-3x-4lnx-2(x0),g(x)=1+3x2-4x=(x-1)(x-3)x2,x,g(x),g(x)的取值变化情况如下:x(0,1)1(1,3)3(3,+)g(x)+0-0+g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当0x3时,g(x)g(1)=-40,g(x)在(3,+)上单调递增,g(3)=-4ln33,.故函数g(x)只有1个零点,且零点x0(3,e5). 18、知函
11、数f(x)=x3+bx+cx的图象在点(1,f(1)处的切线方程为6x-2y-1=0,f(x)为f(x)的导函数,g(x)=aex(a,b,cR,e为自然对数的底数).1.求b,c的值.2.若x0(0,2,使g(x0)=f(x0)成立,求a的取值范围. 答案： 1.由题意得f(x)=3x2+2bx+c,f(1)=3+2b+c=3.又f(1)=1+b+c,点(1,f(1)在直线6x-2y-1=0上,6-2(1+b+c)-1=0.由解得b=-32,c=3.2.g(x0)=f(x0),aex0=3x02-3x0+3,a=3x02-3x0+3ex0.令则h(x)=-3(x2-3x+2)ex.令h(x)
12、=0,得x=1或x=2.当x变化时,h(x)与h(x)在(0,2上的变化情况如下表所示:x(0,1)1(1,2)2h(x)-0+0h(x)3e9e2h(x)在x(0,2上有极小值h(1)=3e,又h(2)=9e2,h(0)=39e2,h(x)在x(0,2上的取值范围为3e,3),a的取值范围为3e,3). 19、已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线f(x)在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.1.求实数a,b的值;2.若函数来源:学|科|网Z|X|X|Kf(x)在区间m,m+1上单调递增,求实数m的取值范围. 答案： 1.因为f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),所以a+b=4.对f(x)求导,得f(x)=3ax2+2bx,则f(1)=3a+2b.由条件知f(1)(-19)=
