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1、微分方程,第七章, 积分问题, 微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第七章,引例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x ,求该曲线的方程 .,引例2. 列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,
2、能停住 ,以及制动后行驶了多少路程 .,即求 s = s (t) .,制动时,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),( n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,例1. 验证函数,是微分方程,的通解
3、,的特解 .,解:,这说明,是方程的解 .,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,求所满足的微分方程 .,例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,方程的解满足关系式。,则有,设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),分离变量方程的解
4、法:,反之，当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时,的隐函数 y (x) 是的解.,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样, 当 F (x) = f (x)0 时，,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,说明由确定,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令
5、,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,练习:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,积分,例4.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,解: 根据题意, 有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t = 0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例5.,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开
6、跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,例6. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变,解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律.,设在,内水面高度由 h 降到,对应下降体积,因此得微分方程定解问题:,将方程分离变量:,两端积分, 得,利用初始条件, 得,则得容,器内水面高度 h 与时间 t 的关系:,可见水流完所需时间为,因此,内容小结,1. 微分方程的概念,微分方程;,定解条件;
7、,2. 可分离变量方程的求解方法:,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,解;,阶;,通解;,特解,y = x 及 y = C,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ),2) 根据物理规律列方程,3) 根据微量分析平衡关系列方程,(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.,3. 解微分方程应用题的方法和步骤,例4,例5,例6,思考与练习,求下列方程的通解 :,提示:,
8、(1) 分离变量,(2) 方程变形为,作业,P 298 5(1); 6 P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6,齐次方程,第三节,一、齐次方程,*二、可化为齐次方程的方程,第七章,一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例1. 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解),( C 为任意常数 ),例2. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显
9、然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,由光的反射定律:,可得 OMA = OAM = ,例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由,解: 将光源所在点取作坐标原点,并设,入射角 = 反射角,能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线，,从而 AO = OM,xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 ,按聚光性,而 AO,于是得微分方程 :,经它反射后都与旋转轴平行.,求曲线 L 的方程.,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),顶到底的距离为
10、 h ,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,*二、伯努利方程,第七章,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,在闭合回路中, 所有支路上的电
11、压降为 0,例2. 有一电路如图所示,电阻 R 和电,解: 列方程 .,已知经过电阻 R 的电压降为R i,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感 L 都是常量,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,因此所求电流函数为,解的意义:,可降阶高阶微分方程,第五节,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,第七章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大
12、 , 此力 F 均匀地减,直到 t = T 时 F(T) = 0 .,如果开始时质点在原点,解: 据题意有,t = 0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分, 得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,例3. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解: 取坐标系如图.,考察最低点 A 到,( : 密度, s :弧
13、长),弧段重力大小,按静力平衡条件, 有,故有,设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?,任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬 链 线,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,例5. 求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,M : 地球质量 m : 物体质量,例6.,静止开始落向地面,(不计空气阻力).,解: 如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的
14、物体, 受地球引力的作用由,求它落到地面时的速度和所需时间,两端积分得,因此有,注意“”号,由于 y = R 时,由原方程可得,因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为,内容小结,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,内容小结,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,思考与练习,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正
15、负号.,例6,例7,作业,P309 2 (2); P315 1 (3), (6); 2 (5); P323 1 (5), (7); 2 (3); 4,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外, 他对,双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,高阶线性微分方程,第六节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第七章,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建
