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1、 -192- 第十六章第十六章 差分方程模型差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广， 可以用到各种不同的数学工具。 下面我们对差 分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。 1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t只取非负整数。记 t y为变量y在t点的取值，则称 ttt yyy= +1 为 t y的一 阶向前差分，简称差分，称 ttttttt yyyyyyy+= +121 2 2)(为 t y的二 阶差分。类似地，可以定义 t y的n阶差分 t n y。 由 t yt、及 t y的差分给出的方程称为 t y的差分方程，其中含 t y的最高阶差分的阶 数称为该差分方程的阶。差分
2、方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 0 2 =+ ttt yyy也可改写成0 12 =+ +ttt yyy。 满足一差分方程的序列 t y称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时， 称此解为该差分方程的通解。 若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 )( 110 tbyayaya tntntn =+ + L （1） 为n阶常系数线性差分方程，其中 n aaa, 10 L是常数，0 0 a。其对应的齐次方程为 0 110 =+ +tntntn yayayaL （2） 容易证明，若序列 )1( t
3、 y与 )2( t y均为（2）的解，则 )2( 2 )1( 1ttt ycycy+=也是方程（2）的 解，其中 21,c c为任意常数。若 )1( t y是方程（2）的解， )2( t y是方程（1）的解，则 )2()1( ttt yyy+=也是方程（1）的解。 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I）先求解对应的特征方程 0 0 1 10 =+ aaa nn L （3） （II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。 （i）若特征方程（3）有n个互不相同的实根 n , 1 L，则齐次方程（2）的通解 为 t nn t cc+L 11 （ n cc, 1 L为任意常数） （ii
4、）若是特征方程（3）的k重根，通解中对应于的项为 tk kt cc)( 1 1 +L， ), 1(kiciL=为任意常数。 （iii）若特征方程（3）有单重复根i=，通解中对应它们的项为 tctc tt sincos 21 +，其中 22 +=为的模， arctg=为的幅角。 （iv）若i=是特征方程（3）的k重复根，则通解对应于它们的项为 ttccttcc tk kk tk k sin)(cos)( 1 21 1 1 + +LL -193- )2 , 1(kiciL=为任意常数。 （III）求非齐次方程（1）的一个特解 t y。若 t y为方程（2）的通解，则非齐次方 程（1）的通解为 tt
5、 yy+。 求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的)(tb 也可使用待定系数法。例如，当)()(tpbtb k t =，)(tpk为t的k次多项式时可以证明： 若b不是特征根，则非齐次方程（1）有形如)(tqb k t 的特解，)(tqk也是t的k次多项 式；若b是r重特征根，则方程（1）有形如)(tqtb k rt 的特解。进而可利用待定系数法 求出)(tqk，从而得到方程（1）的一个特解 t y。 例 1 求解两阶差分方程tyy tt =+ +2 。 解 对应齐次方程的特征方程为01 2 =+，其特征根为i= 2, 1 ，对应齐次方程 的通解为 tctcyt
6、2 sin 2 cos 21 += 原方程有形如bat +的特解。代入原方程求得 2 1 =a， 2 1 =b，故原方程的通解 为 2 1 2 1 2 sin 2 cos 21 +ttctc 例 2 在信道上传输仅用三个字母cba,且长度为n的词，规定有两个a连续出现 的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词的个数。 解 令)(nh表示容许传输且长度为n的词的个数，L, 2 , 1=n，通过简单计算可 求得：3) 1 (=h，8)2(=h。 当3n时， 若词的第一个字母是b或,c则词可按) 1( nh 种方式完成；若词的第一个字母是a，则第二个字母是b或c，该词剩下的部分可按 )2( nh种方
7、式完成。于是，得差分方程 )2(2) 1(2)(+=nhnhnh，), 4 , 3(L=n 其特征方程为 022 2 = 特征根 31 1 +=，31 2 = 则通解为 nn ccnh)31 ()31 ()( 21 +=，), 4 , 3(L=n 利用条件3) 1 (=h，8)2(=h，求得 nn nh)31 ( 32 32 )31 ( 32 32 )( + + + =，), 2 , 1(L=n 在应用差分方程研究问题时， 我们常常需要讨论解的稳定性。 对常系数非齐次线性 差分方程 （1） ， 若不论其对应齐次方程的通解中任意常数 n cc, 1 L如何取值， 在+t 时总有0 t y，则称方
8、程（1）的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非齐次方 -194- 程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。 1.2 常系数线性差分方程的Z变换解法 常系数线性差分方程采用解析解法比较容易， 而且对其解的意义也容易理解， 但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用Z变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。 设有离散序列)(kx，), 2 , 1 , 0(L=k，则)(kx的Z变换定义为 = = 0 )()()( k k zkxkxZzX （4） 其中z是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部。 )(zX的Z反变换记作 )()( 1 zXZkx = 1.
9、2.1 几个常用离散函数的Z变换 （i）单位冲激函数)(k的Z变换 = = = 0 0 11 )()( k k kk zzkkZ 即单位冲激函数的Z变换为 1。 （ii）单位阶跃函数)(kU的Z变换 = = = 00 1)()( kk kk zzkUkUZ， 即 ) 1|(| 1 )( =z z z kUZ （iii）单边指数函数 k akf=)(的Z变换（a为不等于 1 的正常数） = = 0 )|(| k kkk az az z zaaZ 1.2.2 Z变换的性质 （i）线性性质 设)()( 11 zFkfZ=，)()( 22 zFkfZ=，则 )()()()( 2121 zbFzaFkb
10、fkafZ+=+ 其中ba,为常数。收敛域为)( 1 zF和)( 2 公共区域。 （ii）平移性 设)()(zFkfZ=，则 )0()()1(fzFzkfZ=+， )()()( 1 0 = =+ N k kN zkfzFzNkfZ， ) 1()()1( 1 zfzFzkfZ+= ， )()()( 1 1 = += N k kN zkfzFzNkfZ 例 3 求齐次差分方程 -195- 0)(2) 1(3)2(=+kxkxkx，0)0(=x，1) 1 (=x 的解。 解 令)()(zXkxZ=，对差分方程取Z变换，得 0)(2)(3)( 2 =+zXzzXzzXz， 2123 )( 2 + +
11、= + = z z z z zz z zX， 对上式取z反变换，便得差分方程的解为 kk kx)2() 1()(=。 2 蛛网模型 2.1 问题提出 在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自 由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引 起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品；一段时间之后，随着产 量的下降，带来的供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的生产； 随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将会 反复出现。 如何从数学的角度来描述上述现象呢？ 2.2 模型假设
12、 （i）设k时段商品数量为 k x，其价格为 k y。这里，把时间离散化为时段，一个时 期相当于商品的一个生产周期。 （ii）同一时段的商品的价格取决于该时段商品的数量，把 )( kk xfy = （5） 称之为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其价格就越低，故可以假 设：需求函数为一个单调下降函数。 （iii）下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定，把 )( 1kk ygx= + （6） 称之为供应函数。 由于价格越高可以导致产量越大， 故可假设供应函数是一个单调上升 的函数。 2.3 模型求解 在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形，设两条曲线相交于 ),( 00
13、0 yxP， 则 0 P为平衡点。 因为此时)( 00 ygx =，)( 00 xfy =， 若某个k， 有 0 xxk=， 则可推出 0 yyl=， 0 xxl=，), 1,(L+=kkl 即商品的数量保持在 0 x，价格保持在 0 y，不妨设 01 xx ，下面考虑 kk yx ,在图上的变 化), 2 , 1(L=k。如下图所示，当 1 x给定后，价格 1 y由f上的 1 P -196- 点决定，下一时段的数量 2 x由g上的 2 P点决定， 2 y又可由f上的 3 P点决定。依此类 推，可得一系列的点),( 111 yxP，),( 122 yxP，),( 223 yxP，),( 234
14、 yxP，图上的箭头 表示求出 k P的次序，由图知： ),(),(lim 000 yxPyxPk k = + ， 即市场经济将趋于稳定。 并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定，若给定的f与g的图形如下图所 示，得出的L, 21 PP就不趋于 0 P，此时，市场经济趋向不稳定。 上两图中的折线L, 433221 PPPPPP形似蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进 行市场经济分析中，f取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平，g取决于 生产者的生产、管理等能力。 当已经知道需求函数和供应函数之后，可以根据f和g的性质判断平衡点 0 P的稳 定性。利用结论：当| 01 xx较小时， 0
15、P点的稳定性取决于f与g在 0 P点的斜率，即 当 | )( | )( | 00 ygxf （8） 时， 0 P点不稳定。 这一结论的直观解释是：需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。 设| )( | 0 xf=，| )( | 1 0 yg= ，在 0 P点附近取f与g的线性近似，由（5） ， （6） 式得 -197- )( 00 xxyy kk = （9） )( 001 yyxx kk = + （10） 上两式中消去 k y，得 01 )1 (xxx kk += + （11） （11）式对L, 2 , 1=k均成立，有 01 )1 (xxx kk += + 01 2 )1)()()(xxx kk += 0 2 2 3 1 2 )1 ()()()(xxx kk += 0 2
