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1、朱连华 Tel：13675122648 南京信息工程大学数理学院统计系 E-mail:ahualian,概率论与数理统计,第一节 大数定律,一、问题的引入,二、基本定理,三、典型例题,四、小结,第五章 大数定律及中心极限定理,一、问题的引入,实例 频率的稳定性,随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数.,启示:从实践 中人们发现 大量测量值 的算术平均 值有稳定性.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,定理一（契比雪夫定理的特殊情况）,表达式的意义,二、基本定理,证明,由契比雪夫不等式可得,并注意到概率不能大于1, 则,定理一的另一种叙述:,定理二（伯努利大数定理）,关于辛钦定理
2、的说明:,(1) 与定理一相比, 不要求方差存在;,(2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.,定理三（辛钦定理）,第二节 中心极限定理,一、问题的引入,二、基本定理,三、典型例题,四、小结,一、问题的引入,实例:,考察射击命中点与靶心距离的偏差.,这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总和产生的影响不大.,问题:,某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加
3、而成的, 研究其概率分布情况.,二、基本定理,定理四（独立同分布的中心极限定理）,定理四表明:,李雅普诺夫,定理五(李雅普诺夫定理),则随机变量之和的标准化变量,定理五表明:,(如实例中射击偏差服从正态分布),下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.,提示：,德莫佛,拉普拉斯,定理六(德莫佛拉普拉斯定理),定理表明：正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.,下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.,三、典型例题,解,由定理四, 随机变量 Z 近似服从正态分布 N (0,1) ,例1,其中,一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 50030 500次纵摇角大于 3 的概率是多少？,解,将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为 X,则 X 是一个随机变量,例2,所求概率为,分布律为,直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理,四、小结,三个中心极限定理,独立同分布的中心极限定理,李雅普诺夫定理,德莫佛拉普拉斯定理,中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布.,
