第6章fir数字滤波器的设计

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1、1,2,内容提要,6.1 引言 6.2 线性相位FIR滤波器的特点 6.3 利用窗函数法设计FIR滤波器 6.4 利用频率采样法设计FIR滤波器 6.5 FIR滤波器和IIR滤波器的比较,本章学习要点,了解两类线性相位的概念，掌握FIR数字滤波器线性相位条件的推导与证明； 掌握相位条件FIR滤波器的幅度特点和零点特性； 掌握窗函数法和频率采样法设计FIR数字低通滤波器的基本原理、步骤和实现； 了解等波纹逼近法、简单整系数法设计FIR数字滤波器的方法； 掌握IIR及FIR数字滤波器的比较。,3,4,6.1 引言,一、IIR滤波器的优缺点 优点： 可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有

2、大量图表可查，方便简单。 精度高。 缺点： 相位的非线性，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正，使滤波器设计变得复杂。,5,信号通过3种系统后的输出,不发生相位失真的条件 群时延 （常数）,幅度失真,相位失真,无失真传输,6,二、FIR DF 优点,在满足幅度特性的同时，很容易做到线性相位特性。,设FIR滤波器单位冲激响应h(n)长度为N，其系统函数 H(z)为：,稳定和线性相位是FIR滤波器突出的优点。,收敛域包含单位圆，因此，H(z)永远稳定。,7,三、为何要设计FIR滤波器,（1）语音处理、图像处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度（信道具有线性相位特性），而FIR数字滤波器能够很

3、容易地实现线性相位。 （2）FIR数字滤波器的单位脉冲响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的。 （3）FIR数字滤波器可以用FFT算法来实现过滤信号。,四、本章讨论的主要内容 （1）线性相位FIR滤波器的条件和特点 （2）线性相位FIR滤波器的设计方法 窗函数法和频率采样法,8,6.2.1 FIR DF具有线性相位的条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为：,6.2 线性相位FIR滤波器的条件和特点,其中， 幅度特性，纯实数，可正可负，即,相位特性,注意：幅度特性幅频特性,9,例如：,10,11,1H(ej)线性相位概念,H(ej)线性相位是指 是的线性函数，即群时延,为常数第一类线性相位,为

4、起始相位第二类线性相位,12,2FIR滤波器具有线性相位的条件,13,14,3线性相位条件的证明,（1）h(n)偶对称的情况,由此可得,因此,15,（2）h(n)奇对称的情况,因此,16,将和式中偶对称的项两两合并。由于N是奇数，故余下中间 一项（ ），其余组合后共有 项，得,17,6.2.2 线性相位FIR滤波器幅度特性的特点,（1）h(n)=h(N-1-n)，N为奇数1型 均对(N-1)/2 呈偶对称,18,（2）h(n)=h(N-1-n)，N为偶数2型,由于N是偶数，故 无单独项。合并后可得,19,（3）h(n)=-h(N-1-n)，N为奇数3型,由 ，同理得到,20,（4）h(n)=-

5、h(N-1-n)，N为偶数4型,表6-1a 四种线性相位FIR滤波器的特性,22,实际使用时，一般来说， 1型适合构成低通、高通、带通、带阻滤波器； 2型适合构成低通、带通滤波器； 3型适合构成带通滤波器； 4型适合构成高通、带通滤波器。,23,表6-1b 四种线性相位滤波器,24,25,6.2.3 线性相位FIR滤波器零点分布特点,由式（6-9）和（6-16）得到： 如果H(zi)=0，则H(zi-1)=0。,此外，因h(n)是实数，H(z)的零点必成共轭对出现，所以 及 也一定是H(z)的零点。,所以，零点必是互为倒数的共轭对或者说共轭镜像。,26,图 6-5 线性相位FIR滤波器的零点位

6、置图,27,29,6.3 窗函数法设计FIR滤波器（Fourier 级数法）,一、设计思路与方法 1.由理想的频率响应 得到理想的 ； 2.将无限长的hd(n) 加窗截断 为有限长的h(n)； h(n)=hd(n)w(n) 例如， 。 3.由h(n) 所设计滤波器的频率响应 。,非因果，无限长,要注意线性相位的约束条件！,30,例：设计一个线性相位FIR数字低通滤波器。,理想低通滤波器的频率响应 无限长 偶对称 截短 保留,特点：,解决方法：,31,在一定意义上来看，窗函数 决定了我们能够“看到”多少个 原来的单位脉冲响应，“窗”这个用词的含义也就在此。,32,二、加窗对滤波器频率特性的影响,

7、图6-9 矩形窗 对理想低通幅度特性的影响,34,吉布斯（Gibbs）效应,由于对hd(n) 截短，导致了所设计滤波器幅频特性的起 伏波动，波动的幅度强弱完全取决于窗函数的类型，而与窗 的宽度N无关。这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。,N=7,N=21,N=51,N=101,36,1.加矩形窗对滤波器频响产生的影响,（1）出现过渡带，宽度等于WR()的主瓣宽度（对于 矩形窗 ）； （2）通带和阻带内产生波动，其振荡幅度取决于旁瓣 的相对幅度。 2.对窗函数的要求 主瓣宽度小，以获得较陡的过渡带； 与主瓣的幅度相比，旁瓣应尽可能小，把能量尽量集中在主瓣中，以减小通带和阻带中的波纹幅度。,37

8、,三、常用窗函数,（1）矩形窗,主瓣宽度：,38,（2）升余弦窗（汉宁窗Hanning Window）,主瓣宽度：,39,（3）改进的升余弦窗（汉明Hamming窗）,主瓣宽度：,40,（4）二阶升余弦窗（布莱克曼Blackman窗）,主瓣宽度：,41,Hamming,Blackman,图6-10 常用窗函数的时域波形,图6-11 常用窗函数的频谱,Hamming,Blackman,Rectangle,Hanning,图6-12 理想低通加窗后的幅度响应（N=51）,Hamming,Blackman,Rectangle,Hanning,44,（5）凯塞窗（Kaiser Window）,这是一种

9、适应性较强的窗，其窗函数的表示式为 式中，I0(x)是第一类变形零阶贝塞尔函数， 是一个可 自由选择的参数。 凯塞窗可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择。,45,表6-2 凯塞窗的性能,46,表6-3 几种窗函数基本参数的比较,要求：熟悉各种窗函数的技术指标和加窗后对滤波特性 的影响，能根据设计指标正确选择窗函数类型及其长度N。,四、窗函数法设计线性相位FIR滤波器的一般步骤,为了准确控制滤波器通带边缘，常需进行多次设计。,若Hd(ejw)不能用简单函数表示，则可用求和运算代替积分运算。,48,例 题,例6-4 用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器 （1）设计N为奇数时的h(n)。 （2）设计N

10、为偶数时的h(n)。 （3）若改用海明窗设计，求以上两种形式的h(n)表达式。,49,解： h(n)=hd(n)R(n) 注意：N取奇、偶，虽然两个表达式形式完全一样，但 在 0nN-1 上的取值上完全不同。,50,例 6-5 根据下列技术指标，设计一个FIR低通滤波器。,通带截止频率wp=0.2p，通带允许波动Ap=0.25dB； 阻带截止频率ws=0.3p，阻带衰减As=50dB。 解：查表6-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于 50dB的衰减。但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长 度N。 根据题意，所要设计的滤波器的过渡带为 由表6-3可知，利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽 w=

11、8p/N，所以低通滤波器单位脉冲响应的长度为,51,3 dB通带截止频率为 由式（6-29）可知，理想低通滤波器的单位脉冲响应为 海明窗为 则所设计的滤波器的单位脉冲响应为,52,例6-6 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器,设N=11，wc=0.2prad。 解：Matlab程序如下 %汉宁窗 N=11; n=0:1:N-1;Wc=0.2*pi; hd=ideal_lp(Wc,N);w_han=(hanning(N); h=hd.*w_han; db,mag,pha,grd,w=freqz_m(h,1);plot(w/pi,db); %矩形窗 w_han=(boxcar(N);

12、 %布莱克曼窗 w_han=(blackman(N);,53,仿真曲线,54,6.4 利用频率采样法设计FIR滤波器,一、设计方法 （1）对待设计的滤波器频响 在 之间 等间隔采样N点，得到 （2）将此Hd(k)作为所设计滤波器频响的采样值，即令 H(k)= Hd(k)，k=0,1,N-1 （3）对N点H(k)求IDFT，得到h(n)。将h(n)代入z变换 或DTFT公式，可得所设计滤波器的H(z)或H(ejw)。 也可以根据H(z)或H(ejw)的内插公式，由H(k)内插恢复 出H(z)及H(ejw) 。,要注意线性相位的约束条件！,55,与窗函数法比较：,（1）1型线性相位FIR滤波器（h

13、(n)=h(N-1-n)，N为奇数） ， 令 由于Hd(w)关于w=p偶对称，Hd(w) =Hd(2p-w)，因此Hk 也满足偶对称的要求。 相位,二、设计线性相位滤波器的条件,57,（2）其他类型线性相位FIR滤波器,频率采样法设计比较简单，所得的系统频率响应在每个 频率采样点上严格与理想特性一致，各采样点之间的频响则 是由各采样点的内插函数延伸叠加而成。,58,三、逼近误差,从时域方面分析 根据频域采样定理，h(n)和hd(n)的关系为： 由于时域混叠，引起h(n)和hd(n)有偏差，可增大N来减小。 从频域方面分析 采样点处H(ejw)与理想特性一致，采样点之间的频响则 是由各采样点的内

14、插函数延伸叠加而成。逼近误差和Hd(ejw) 的平滑程度有关。,内插函数,59,图 6-17 内插后矩形理想特性与梯形特性频率采样的响应,由图可见： 误差大小取决于理想频率响应曲线形状。 理想频率响应特性变化越平缓，则内插（采样）值越接 近理想值，逼近误差越小。,60,四、过渡带采样的最优设计,为了提高逼近质量，在理想特性不连续点处人为加入过 渡采样点（13个），虽然加宽了过渡带，但缓和了边缘上 两采样点之间的突变，将有效的减少起伏振荡，提高阻带衰 减。 过渡点的值，可由计算机通过线性最优化技术来确定。,例6-8 利用频率采样法设计一个线性相位FIR低通滤波 器，已知 （1）采样点数N=33，

15、wc=p/2； （2）采样点数N=34，wc=p/2 ，设置两个过渡点 |H1(k)|=0.5925， |H2(k)|=0.1099。 解：（1）首先选择滤波器的种类。由于要设计的是低 通，且N为奇数，故选择1型滤波器，于是有 由 ，确定通带内的采样点数 取整数k=8，应在通带内设置9个采样点（k=08），第 10个采样点已在通带截止频率之外，处于阻带内。,62,根据Hk=HN-k，可得Hk为 因此 将H(k)代入 内插公式即得所设计滤波器的频率响 应。,（2）选择滤波器的种类。由于要设计的是低通，且N为 偶数，故选择第2类滤波器，于是有 由 ，确定通带内的采样点数 取整数k=8，应在通带内设置9个采样点（k=08），第 10个采样点已在通带截止频率之外，可将第10、11点设为过 渡点。 根据Hk=-HN-k，可得Hk为 Hk=1(k=08)，0.5925(k=9)，0.1099(k=10), -0.1099(k=24), -0.5925(k=25)，-1(k=2633)，0(其它),64,65,因此,将H(k)代入 内插公式即得所设计滤波器的频率响 应。,66,例6-9 要求编程实现例题6-8中所要求的内容。,解：Matlab主要程序 %过渡带不设置采样点 N=3