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1、,材料力学,(9),2019年10月28日,返回总目录,范钦珊,FAN Qin-Shans Education & Teaching Studio,第9章 斜弯曲、弯矩轴力共同作用 时的正应力分析与强度计算,基础篇之九,材料力学,下一章,上一章,返回 总目录,Chapter 7 Analysis of normal stresses and calculation for the strength of beams under skew bending and under the combined actions of bending moment and axial force, 斜弯曲的应
2、力计算与强度设计,返回,返回总目录,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算, 弯矩与轴力同时作用时横截面 上的正应力,当外力施加在梁的对称面(或主轴平面)内时，梁将产生平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对称面(或主轴平面)，梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲(skew bending)。,产生斜弯曲的加载条件, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,还有一种情形也会产生斜弯曲，这就是所有外力都作用在对称面(或主轴平面)内，但不是同一对称面(梁的截面具有两个或两个以上对称轴) 或主轴平面内
3、。,产生斜弯曲的加载条件, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力,为了确定斜弯曲时梁横截面上的应力，在小变形的条件下，可以将斜弯曲分解成两个纵向对称面内(或主轴平面)的平面弯曲，然后将两个平面弯曲引起的同一点应力的代数值相加，便得到斜弯曲在该点的应力值。, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析
4、与强度计算, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,任意点A（x,y）的正应力:, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,最大正应力与强度条件,由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处。, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩
5、形截面的角点处。, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,在最大正应力作用点只有正应力作用，因此，斜弯曲时的强度条件与平面弯曲时完全相同，即下式依然适用：,最大正应力与强度条件, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,上式不仅对于矩形截面，而且对于槽形截面或工字形截面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。,最大正应力叠加公式应用限制, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,？,对于圆截面，上述
6、公式是否正确, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为，两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点，最大压应力也不发生在同一点。, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,对于圆截面，因为过形心的任意轴均为截面的对称轴(也就是主轴)，所以当横截面上同时作用有两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，这一合矢量仍然沿着横截面的对称轴方向，合弯矩的作用面仍然与对称面一致，所以平面弯曲的公式依然适用。, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章
7、斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,于是，圆截面上的最大拉应力和最大压应力计算公式为, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,还可以证明，在斜弯曲情形下，横截面依然存在中性轴，而且中性轴一定通过横截面的形心，但不垂直于加载方向，这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别之一。,斜弯曲情形下横截面上的中性轴, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,例题 1,一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可以简化为简支梁。图中l=2 m。大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力160MPa 。起吊
8、的重物的重量FP80kN，并且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角5。,试校核: 吊车大梁的强度是否安全？, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,解：1. 首先，将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加,将FP分解为x和y方向的两个分力FPz和FPy，将斜弯曲分解为两个平面弯曲，, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,解：2. 求两个平面弯曲情形下的最大弯矩,根据前几节的例题所得到的结果，简支梁在中点受力的情形下，最大弯矩Mmax=FPl / 4。将其中的FP分别替换为FPz和FPy ，便得到两个
9、平面弯曲情形下的最大弯矩：, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,解：2. 求两个平面弯曲情形下的最大弯矩,根据前几节的例题所得到的结果，简支梁在中点受力的情形下，最大弯矩Mmax=FPl / 4。将其中的FP分别替换为FPz和FPy ，便得到两个平面弯曲情形下的最大弯矩：, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力,在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘各点承受最大压应力；下边缘各点承受最大拉应力。, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲
10、与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力,在Mmax(FPz)作用的截面上，截面上角点a、c 承受最大拉应力；角点b、d 承受最大压应力。, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力,两个平面弯曲叠加的结果是：角点c承受最大拉应力；角点b承受最大压应力。因此b、c两点都是危险点。, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力,两个平面弯曲叠加的结果是：角点c承受最大
11、拉应力；角点b承受最大压应力。因此b、c两点都是危险点。这两点的最大正应力数值相等，即, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力,其中l=4 m，FP=80 kN， =5。另外从型钢表中可查到32a热轧普通工字钢的Wz=70.758cm3， Wy=629.2cm3。将这些数据代入上式得到.,因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,解：4. 讨论,如果令上述计算中的0，也就是载荷FP沿着y轴方向，这时产生平面弯曲
12、，上述结果中的第一项变为0。于是梁内的最大正应力为,这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。,可见，载荷偏离对称轴(y)一很小的角度，最大正应力就会有很大的增加，这对于梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁的侧面斜方向起吊的原因。, 斜弯曲的应力计算与强度设计,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算, 弯矩与轴力同时作用时 横截面上的正应力,返回,返回总目录,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,斜塔将会怎样倒塌？破坏将从哪里开始？, 弯矩与轴力同时作用时横截面
13、上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线方向的纵向力时，杆件的横截面上将同时产生轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时
14、的 正应力分析与强度计算,如果作用在杆件上的纵向力与杆件的轴线不一致，这种情形称为偏心加载。如图所示即为偏心加载的一种情形。这时，如果将纵向力向横截面的形心简化，在杆件的横截面上就会产生轴力和弯矩。, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,危险截面, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,在梁的横截面上同时产生轴力和弯矩的情形下，根据轴力图和弯矩图，可以确定杆件的危险截面以及危险截面上的轴力FN和弯矩Mmax。, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力
15、共同作用时的 正应力分析与强度计算,危险点,轴力FN引起的正应力沿整个横截面均匀分布，轴力为正时，产生拉应力；轴力为负时产生压应力：,弯矩Mmax引起的正应力沿横截面高度方向呈线性分布：,应用叠加法，将二者分别引起的同一点的正应力相加，所得到的应力就是二者在同一点引起的总应力。, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,由于轴力FN和弯矩Mmax的方向有不同形式的组合，因此横截面上的最大拉伸和压缩正应力的计算式也不完全相同。,式中MFPe；e为偏心距；A为横截面面积。, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同
16、作用时的 正应力分析与强度计算,最大正应力点的强度条件与弯曲时相同，即, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,例题 2,钻床立柱为空心铸铁管，管的外径为D140 mm，内、外径之比dD0.75。铸铁的拉伸许用应力为35 MPa，压缩许用压应力为90 MPa。钻孔时钻头和工作台面的受力如图所示，其中FP15 kN，力FP作用线与立柱轴线之间的距离(偏心距)e400 mm。,试校核：立柱的强度是否安全？, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第9章 斜弯曲与弯矩轴力共同作用时的 正应力分析与强度计算,解：1.确定立柱横截面上的内力分量,FNFP15 kN MzFPe6 kN.m, 弯矩与轴力同时作用时横
