第4章统计物理学基础6h概要

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1、第四章 统计物理学基础 第五章 热力学基础,第二篇,热物理学, 理想气体的温度、压强 、内能, 能量均分定理, 概率、概率分布函数、分布率, 平均碰撞频率、平均自由程, 玻尔兹曼能量分布律,本章基本要求,第四章 统计物理学基础, 物质的微观模型、描述系统的状态参量, 麦克斯韦速率分布律,热力学系统： 大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。,外界：热力学系统以外的物体。,一、物质的微观模型,微观粒子体系的基本特征:,(1)分子(或原子)非常小,(4)分子或原子都以不同的速率不停地运动(是杂乱无章的),(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大,(3)分子之间存在相互作用力-分子力,4-1、

2、统计物理的基本概念,宏观量 从整体上描述系统特征和状态的物理量,一般可以直接测量。 如 压强 p、体积 V、温度 T（状态参量）等。,二、系统状态的描述,微观量 描述系统内微观粒子特征和状态物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。,微观量与宏观量有一定的内在联系. 就要找出这种联系？ 例如，气体的压强（宏观量）是大量分子撞击器壁的平均效果, 它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。,平衡态(equilibrium state): 在无外界影响的条件下， 系统所有可观测的宏观性质不随时间改变的状态。,非平衡态:不具备两个平衡条件之一的系统.,设一容器，用隔板将其隔开, 当隔板右移时，分子向

3、右边扩散,在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态。但随着时间的推移.,平衡条件: (1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换， (2) 系统的宏观性质不随时间改变。,终了 (平衡态),扩散 (非平衡态),（1）平衡态是一种热动平衡,处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变,（2）平衡态是一种理想概念,两点说明：,是在一定条件下对实际情况的抽象和近似，系统所受外界影响可以略去，宏观性质只有很小变化时，可近似看作是平衡态。,当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：,状态方程,物态方程 (状态方程),当质量M不

4、变时，有,理想气体:分子本身的体积/重力和分子间的作用力 都可以忽略不计的气体,例1 氧气瓶的压强降到106Pa时应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。,解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为,使用时的温度为T,分别对它们列出状态方程，有:,设可供 x 天使用，则有：,例2 、一自行车轮胎，在温度为00C时打入空气，直到胎内压强1.5atm. (1)由于摩擦与日晒，车胎温度升高到300C，问此时轮胎内压强为多少？

5、(2)在骑车过程中，胎被刺破一小洞而漏气，问当自行车停下胎的温度又降至00C时，胎内漏掉的气体是原有气体的百分之几？,解: (1)设自行车轮胎体积为V0,压强P0=1.5atm, T0=273K, T=303K.,胎被刺破前，胎内空气的质量一定，故可由,(2) 车胎漏气，由于车胎内气体压强最终要与大气压相等，即P1=1.0atm, T1=T0=273K.,设此时胎内空气质量为M ,漏气前质量为M, 为空气摩尔质量,设漏掉空气与原有空气的百分比为x，则,结论：,而当质量改变时，就只能用,当质量不变时，有,例3：,分子量 两气体，容积 ，摩尔数 管道相连打开阀门，求混合气体压强和平均分子量。,解：

6、,例题4：车胎打气，每次仅进空气 ，在318K时，胎与地面接触面积 ，问需打气几次？（车轮负荷50.0kg，内胎容积 ，空气温度270K，气压 ，胎原无气，外胎柔软）,每次打入空气质量？最后胎内总气体质量？相除得打气次数。,解：,负荷50.0kg,胎与地接触面积,318K,充气后要达到的体积、温度、压强：,每次打进空气状态：,每次打入空气质量,打气n次，胎内气体总质量,代入数值：,例5：,容器中氧气，M=0.1kg,P=10atm,t=470C。漏气，过一段时间，压强降为原来的5/8，温度降至270C，求漏气多少？,解：,270C,470C,0.1kg,三、分子热运动的无序性和统计规律性,什么

7、是统计规律性(statistical regularity),大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。,单个分子运动情况具有很大的偶然性。,大量分子的集体表现存在一定规律性。,每一面朝上的概率都是1/6, 扔骰（tu）子,从入口投入小球,与钉碰撞,落入狭槽,( 偶然 ),隔板,铁钉,伽尔顿板实验,大量偶然事件整体所遵循的规律 统计规律,再投入小球：,经一段时间后 , 大量小球落入狭槽。,分布情况：,中间多，两边少。,重复几次 ，结果相似。,单个小球运动是随机的 ,大量小球运动分布是确定的。,小球数按空间 位置 分布曲线, 统计规律的特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义 （2）它是不同于个体规

8、律的整体规律 （3）总是伴随着涨落,“涨落”现象,-测量值与统计平均值之间的偏离,( 涨落现象是统计规律的重要特征，涨落是偶然的、 杂乱无章的、随机的),对平衡态下的热现象进行微观描述，然后运用统计的 方法求得： (1)宏观量与微观量的统计平均值的关系，揭示宏观量的微观本质； (2)平衡态下微观量的统计分布。如：分子速度、能量的分布等,统计物理学的任务:,(2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.,（几率归一化条件）,概率的性质:,(1) 概率取值域为,四、 统计的基本概念,1.概率（Probability）,如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。,

9、2. 概率分布函数:(X),随机变量:,在一定条件下, 变量以确定的概率取各种不相同的值。,1).离散型随机变量,( 取值有限、分立),(3)互斥事件的概率等于分事件概率之和,(4)相容事件的概率等于分事件概率之积,表示方式,概率:,例:抽到扑克牌梅花5的概率是1/4*1/13=1/52（同时出现）,概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。,概率密度(X)又称为概率分布函数（简称分布函数）,-随机变量x的概率密度(x),2). 连续型随机变量,( 取值无限、连续, 如分子速率、能量),随机变量 x 取值在xx+dx 间隔内的概率为dP(x),就称为概率密度,3.统计平均值（无限次测量）,

10、对于离散 型随机变量,算术平均值,统计平均值,随机变量的统计平均值 等于一切可能状态的取值i与其相应概率Pi的乘积的总和。,对于连续型随机变量X,试比较:,（有限次测量时）,（无限次测量时）,4-2 理想气体的压强公式、 温度公式和内能,一、理想气体的微观模型和统计假设,1 . 理想气体微观模型,2.统计假设, 分子数密度处处相等；, 分子沿各个方向运动的几率均等。,亦即：分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。,一定量的处于平衡态的某种理想气体。设其容器的容积为V,总分子数为N, 每个分子的质量均为m。,平衡态下器壁各处压强相同，选A1面求其所受压强。,二理想气体的压强公式,i分子动量增

11、量,i分子对器壁的冲量,i分子相继与A1面碰撞的时间间隔:,单位时间内 i 分子对A1面的冲量:,即，i 分子对A1面的平均冲力:,考虑一个分子i，以速度 奔向一面元A1，与面元碰撞后返回,单位时间内i分子对A1面的碰撞次数:,所有分子对A1面的平均作用力,压强,又因为在平衡态下：,分子的平均平动动能,理想气体的压强公式,(3) 质量为M 理想气体贮存于某容器中，温度为T，根据理想气体微观模型和 统计假设,求分子速度在o-xyz坐标中沿各个方向速度的统计平均值为多少？,思考: (1)在推导理想气体的压强公式中，没有考虑气体分子间的 相互碰撞，如果考虑这一因素，对所得的结果有无影响？,(对宏观系

12、统没有影响。全同粒子),（2）能不能用实验直接验证理想气体的压强公式 ，如果不能，这是因为什 么原因？,答：不能，公式右边分子的平均平动动能（微观量）是无法用实验观测的。,答：在推导理想气体压强公式时，如果考虑分子之间的相互碰撞，对压强公式的最后结果不会有影响。就大量分子的统计效果来讲，当速度为 的分子因碰撞而速度发生改变时，必然有其他的分子因碰撞而具有 的速度（力学中的速度传递），同时，根据假设，分子本身的大小可以忽略，所以其他被碰的分子到器壁的距离也与速度为 的分子在不发生碰撞的情形下到器壁的距离完全一样。,此式给出了宏观量与微观量的统计平均值间的关系,揭示了温度的微观本质.,三、分子的平

13、均平动动能与温度的关系,例3,在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩 气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积 减少一半，试问这时气体分子的平均平动动能变化多少？,解：,1、自由度 i（Degree of freedom）,确定一个物体的空间位置 所需要的最少独立坐标数目。,四、能量按自由度均分定理,如: 火车:在一线上运动,其自由度为1,飞机：在空间飞行 自由度为3,（经度、纬度、高度）,（经度、纬度）,轮船：在一曲面上运动,自由度为2,以刚性分子为例,平动自由度t=3,translational motion,2、能量均分定理,刚性分子的自由度数小结,气体分子沿x,

14、y, z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能 均匀分配在每个平动自由度上。,平衡态下，不论何种运动，对应于每一个可能自由度的平均动能都是,能量按自由度均分定理,如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为,如果某种气体的分子有个 t 个平动自由度, r 个转动自由度, s 个振动自由度.则分子具有：,注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份振动的动能外， 还有一份等量的势能。,结论：分子的平均总能量,如温度不太高,不计气体分子振动，则分子的平均动能为,五、理想气体的内能,分子间相互作用可以忽略不计,理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和（内能区别于机械能，内能永远

15、不会为零）,1mol理想气体的内能为：,一定质量（M)理想气体的内能为：,理想气体内能完全取决于温度,温度改变，内能改变量为：,例4. 质量为1kg的氧气，其温度由300K升高到350K。若温度升高是在下列3种不同情况下发生的： (1)体积不变，(2)压强不变， (3)绝热。问该理想气体内能改 变各为多少？,解：,理想气体内能仅与温度有关，与压强和体积无关 因为这三种过程温度变化都相同，所以内能变化相同。,例5：就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成(它们的分子量分别为28、32、40)。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能

16、。,解： 在1摩尔空气中，有,摩尔数,O2质量,摩尔数,N2质量,Ar质量,摩尔数,1mol 空气在标准状态下 ( T=273K ) 的内能:,平衡态下，理想气体系统中以分子速度为随机变量的气体分子速度分布函数，叫麦克斯韦速度分布律。 若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。,温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率分布规律。早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。,一、分子速率分布的实验测定,4-3麦克斯韦分子速率分布律,速率筛转动，不同速率的分子将投射并粘附在淀积屏上。,测定分子速率分布的实验,所以，两转盘就叫速率筛。,下面列出了Hg分子在某