统计学第9章一元线性回归

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1、不要过于教条地对待研究的结果， 尤其当数据的质量受到怀疑时。 Damodar N.Gujarati,第 10 章 一元线性回归,统计应用 回归分析在投资风险中的应用,与一只股票相关的风险可以通过两种方式进行衡量 系统风险(systematic risk)，可由市场解释的股价变动随着股市的上涨或下跌，该股票趋于同一方向变化 特定风险(specific risk)，由于其他因素引起的股价变动 系统风险通过一个称为的指标来刻画 等于1，表明特定股票的变化与市场同步 小于1，表明这只股票要比市场更加稳定 大于1，说明这只股票要比市场的变化大得多 值通过建立特定股票的收益(因变量)对市场平均收益(自变量

2、)的回归模型进行计算,第10章 一元线性回归,10.1 变量间关系的度量 10.2 一元线性回归 10.3 利用回归方程进行估计和预测 10.4 残差分析,学习目标,1. 相关关系的分析方法 一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 回归方程的显著性检验 利用回归方程进行估计和预测 用 Excel 进行回归,10.1 变量间关系的度量,10.1.1 变量间的关系 10.1.2 相关关系的描述与测度 10.1.3 相关系数的显著性检验,变量间的关系,函数关系,是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取

3、某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,函数关系 (几个例子),某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为 y = px (p 为单价) 圆的面积S与半径R之间的关系可表示为S=R2 企业的原材料消耗额y与产量x1 、单位产量消耗x2 、原材料价格x3之间的关系可表示为 y = x1 x2 x3,相关关系 (correlation),变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周

4、围,相关关系 (几个例子),父亲身高y与子女身高x之间的关系 收入水平y与受教育程度x之间的关系 粮食单位面积产量y与施肥量x1 、降雨量x2 、温度x3之间的关系 商品的消费量y与居民收入x之间的关系 商品销售额y与广告费支出x之间的关系,相关关系 (类型),相关关系的描述与测度 (散点图),相关分析及其假定,相关分析要解决的问题 变量之间是否存在关系？ 如果存在关系，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？ 为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定 两个变量之间是线性关系 两个变量都是随机变量,散点图 (s

5、catter diagram),散点图 (例题分析),【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据进行定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据,散点图 (例题分析),散点图 (不良贷款对其他变量的散点图),散点图 (5个变量的散点图矩阵),不良贷款,贷款余额,累计应收贷款,贷款项目个数,固定自产投资,相关关系的描述与测度

6、(相关系数),相关系数 (correlation coefficient),度量变量之间关系强度的一个统计量 对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为 r 也称为线性相关系数(linear correlation coefficient) 或称为Pearson相关系数 (Pearsons correlation coefficient),相关系数 (计算公式), 样本相关系数的计算公式,或化简为,相关系数的性质,性质1：r 的取值范围是 -1,1 |r|

7、=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关 r = 0，不存在线性相关关系 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱,相关系数的性质 (取值及其意义的图解),r,相关系数的性质,性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间 的相关系数相等，即rxy= ryx 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的 数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小 性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意味着， r=0只表示两个变 量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没 有

8、任何关系 性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不 一定意味着x与y一定有因果关系,相关系数的经验解释,|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|0.8时，可视为中度相关 0.3|r|0.5时，视为低度相关 4. |r|0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关 5. 上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上,相关系数 (例题分析),用Excel计算相关系数,相关系数的显著性检验,相关系数的显著性检验 ( r 的抽样分布),1. r 的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化 当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r 的抽样分布趋于正态

9、分布，尤其是在总体相关系数很小或接近0时，趋于正态分布的趋势非常明显。而当远离0时，除非n非常大，否则r的抽样分布呈现一定的偏态 当为较大的正值时，r 呈现左偏分布；当为较小的负值时，r 呈现右偏分布。只有当接近于0，而样本容量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的随机变量,相关系数的显著性检验 (检验的步骤),1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 等价于对回归系数 b1的检验 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0,计算检验的统计量：,确定显著性水平，并作出决策 若tt，拒绝H0 若tt，不拒绝H0,相关系数的显著性检验 (例题分析),

10、对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检验(0.05) 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量,3. 根据显著性水平0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069 由于t=7.5344t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系,相关系数的显著性检验 (例题分析),各相关系数检验的统计量,相关系数的显著性检验 (需要注意的问题),即使统计检验表明相关系数在统计上是显著的，并不一定意味着两个变量之间就存在重要的相关性 因为在大样本的情况下，几乎总是导致相关系数显著 比如，r=0.1，在大样本的情况下，也可能使得r通过检验，但实际上，一个变

11、量取值的差异能由另一个变量的取值来解释的比例只有10%，这实际上很难说明两个变量之间就有实际意义上的显著关系,10.2 一元线性回归,10.2.1 一元线性回归模型 10.2.2 参数的最小二乘估计 10.2.3 回归直线的拟合优度 10.2.4 显著性检验,什么是回归分析？ (regression),从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,趋向中间高度的回归,回归这个术语是

12、由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及其父母的身高时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子身材也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身高高。 Galton把这种孩子的身高向平均值靠近的趋势称为一种回归效应，而他发展的研究两个数值变量的方法称为回归分析,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机

13、变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,回归模型的类型,一元线性回归模型,一元线性回归,涉及一个自变量的回归 因变量y与自变量x之间为线性关系 被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示,回归模型 (regression model),回答

14、“变量之间是什么样的关系？” 方程中运用 1 个数值型因变量(响应变量) 被预测的变量 1 个或多个数值型或分类型自变量 (解释变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计,一元线性回归模型,描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型 一元线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,回归模型中为什

15、么包含误差项,理由1：理论的含糊性。即使有决定y的行为的理论，而且常常是不完全的，影响y的变量不是无所知就是知而不确，因此不妨设作为模型所排除或忽略的全部变量的替代变量,误差项是未包括在模型中而又影响着y的全部变量的替代物，但为什么不把这些变量引进到模型中来？换句话说，为什么不构造一个含有尽可能多个变量的复回归模型？古扎拉蒂在计量经济学一书中列出了7点理由,回归模型中为什么包含误差项,理由2：数据的欠缺。即使我们明知被忽略变量中的一些变量，并因而考虑用一个复回归而不是一个简单回归，我们却不一定能得到关于这些变量的数量信息 理由3：核心变量与周边变量。影响y的全部或其中的一些变量，合起来的影响如

16、此之小，充其量是一种非系统的或随机的影响。从实际考虑以及从成本上计算，把它们一一引入模型是划不来的。所以人们希望把它们的联合效应当作一个随机变量来看待,回归模型中为什么包含误差项,理由4：人类行为的内在随机性。即使我们成功地把所有有关的变量都引进到模型中来，在个别的y中仍不免有一些“内在”的随机性，这是无论我们花多少力气都解释不了的。随机项也许能很好地反映这种随机性 理由5：糟糕的替代变量。虽然经典回归模型假定变量y和x能准确地观测，但实际上数据会受到测量误差的扰乱。由于这些变量不可直接观测，故实际上我们用替代变量。这时误差项又可以用来代表测量误差,回归模型中为什么包含误差项,理由6：节省原则。我们想保持一个尽可能简单的回归模型。如果我们能用两个或三个变量就“基本上”解释了y的行为，并且如果我们的理论完善或扎实的程度还没有达到足以提出可包含进来的其他变量，那么为什么要引进更多的变量呢？让