第二章特殊线性空间

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1、第二章 特殊的线性空间在线性空间中，定义了空间中两元素间的加法运算及数域中的数与空间中元素的数乘运算。本章将给出线性空间中向量间的内积运算，从而得到了内积空间；并定义一个从线性空间到实数R上的一个实值函数即范数的概念，得到赋范线性空间。2.1 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻画的，现在将把内积的概念推广到一般的线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。2.1.1内积空间的基本概念与性质定义1 设是数域上的线性空间，如果中每对向量按某一对应法则都有惟一确定的数与之对应，且满足：（1）；（2）；（3）；（4），等号成立当且仅当，则称为与的内积。

2、定义了内积运算的线性空间称为内积空间。特别地，若数域取复数域，则称定义了内积的有限维线性空间为酉空间。若数域取实数域，则称定义了内积的有限维线性空间为欧几里得空间，简称为欧氏空间。欧氏空间和酉空间都是常用的内积空间。例1 在中定义 ，显然满足定义1中的四条，因此是一种内积运算，所以是维欧氏空间。例2 在中定义 ，(其中),不难证明是酉空间。一般地，若，记，称为的共轭；记，称为的共轭转置。此外，若，称是埃尔米特（Hermite）矩阵；若，称是反埃尔米特矩阵。显然埃尔米特阵是实对称阵的推广。 由于在酉空间中经常要用到复矩阵，故先了解一下矩阵的共轭及共轭转置的性质：（1）；（2）；（3）； （4）；

3、（5）； （6）；（7）。例3 在中对任意定义，则为酉空间。证明 对任意,有（1）；（2）；（3）；（4），当且仅当时等号成立，所以为酉空间。例4 对任意定义，则为欧氏空间。例5 设为阶正定阵。对任意定义 ，则是维欧氏空间。证明 对任意,有（1）；（2）；（3）；（4）因为是正定阵，所以，当且仅当时等号成立，所以为欧氏空间。在例5中，如果取不同的正定矩阵，那么由其定义的内积是不同的，也就是说，在同一个线性空间里可以定义不同的内积，所得到的欧氏空间我们视为不同的内积空间。一般地，我们将例1与例2中定义的内积称为标准内积。以后若无特殊说明，（或）及其子空间的内积均采用标准内积。由内积的定义，我们不

4、难得到内积的如下性质。定理1 设是酉空间的内积，则（1）；（2）；（3），其中，。证明 （1）；（2）；（3）由性质（2）显然成立。一般地，在维内积空间中，若已知基向量之间的内积，那么任意两向量间的内积就都可以得到了。这是因为，若设是酉空间的基，且与是中两个向量，那么与的内积为 （2-1），其中，。显然若是欧氏空间，则。 2.1.2内积在基下的矩阵定义2 设是酉（欧氏）空间的基，令，称为内积在基下的矩阵，也称度量矩阵。由前面的讨论不难得到下面的定理。定理2 设是酉空间的一组基，且内积在这组基下的矩阵是，那么（1）矩阵是埃尔米特矩阵，即；（2）若设，则；（3），且，均有。证明 （1）设，则，由于

5、所以。（2）由式（2-1）知其显然成立。（3）若，则，从而 。推论 设是欧氏空间的一组基，且内积在基下的矩阵是，那么（1）矩阵是对称矩阵，即；（2）若设，则；（3），且，均有。例6 在中定义内积，则是欧氏空间，求（1）内积在基下的矩阵； （2）与的内积。解答 （1） ，所以内积在基下的矩阵为（2）法1 ；法2 因为 在基下的坐标分别为，从而。可以看到计算向量间的内积既可以利用内积的定义方式直接计算，也可以利用内积在基下的度量矩阵计算，结果是一样的。对于同一个内积空间，当取的基不同，则对应的度量矩阵一般来说也是不同的，下面我们给出它们的关系。定理3 内积在不同基下的度量矩阵是合同的。证明 设酉（

6、欧氏）空间的内积在两组基和下的矩阵分别为,令，且。又设与是中任意两个向量，它们在基下的坐标为与，那么有则与在下的坐标分别是与，从而由与的任意性，得即是合同矩阵。2.2标准正交基与向量的正交化由于向量与其自身的内积满足，故可以利用它定义向量的模（或范数），并将向量间的夹角、正交等概念推广到一般的内积空间。2.2.1向量的度量性质定义1 设是酉（欧氏）空间，称为向量的模（或范数）。如果，则称为单位向量。 如上面定义的向量的模与线性代数中空间的向量的模是一致的，性质也是相同的。定理1 设是酉（欧氏）空间的内积，则（1）；（2）；（3）。证明 不妨设是酉空间。（1）；（2）时显然成立，不妨设，有， 若

7、取，可得，即（3）因为，那么由本定理结论（2），可得故证毕。通常称定理结论（2）为柯西许瓦兹（CauchySchwarz）不等式。利用向量范数还可以定义向量间的距离和夹角。通常称为与的距离。在欧氏空间中两非零向量与的夹角规定为由于酉空间中的内积一般是复数，所以向量间不易定义夹角，但仍可以引入正交概念。定义2 设是酉（欧氏）空间，如果，则称向量与正交，记为。例1 已知与是中的两个向量，若规定内积，则，即与正交；若规定内积，其中，则，也就是与不正交。上例中，可以看到在一个线性空间中，如果定义了两个不同的内积，则得到两个不同的内积空间，向量在这两个内积空间的正交性不一定相同。定义3 设是酉（欧氏）空

8、间中的非零向量组，如果两两正交，那么称是正交向量组。如果是两两正交的单位向量，那么称其为标准正交向量组。定理2 正交向量组必是线性无关向量组。证明 设是正交向量组。令，则由得 因为，故，则必有，因此是线性无关向量组。2.2.2标准正交基定义4 如果标准正交向量组是酉（欧氏）空间的一组基，那么称为酉（欧氏）空间的标准正交基。 定理3 设是酉（欧氏）空间，为酉（欧氏）空间的标准正交基，那么（1）内积在标准正交基下的矩阵为单位阵；（2）若是从标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵，则（或）。证明 （1）设内积在标准正交基下的矩阵为。 由 的标准正交性，得所以。（2）由本定理结论（1），内积在标准正交

9、基与下的矩阵都是单位阵，而内积在不同基下的度量矩阵是合同的，因此当是酉空间时， ，即；当是欧氏空间，则有成立。证毕。根据定理3结论（1），当时，显然有。定义5 设，若，则称为酉（正交）矩阵，全体阶酉（正交）矩阵构成的集合记为。酉矩阵具有如下性质。定理4 设,则（1）；（2）；（3），其中是的特征值；（4）和的列分别构成的标准正交基。证明（1）（2）略。（3）由，得，则，因此。又设是的特征值，则存在，使得，于是则 所以，即。（4）仅证明的列构成的标准正交基，其余类似。设，由，知是的一组基。又，即从而 即是标准正交向量组，因此的列构成的标准正交基。 前面我们看到，如果酉（欧氏）空间的基用标准正交基

10、，那么向量的内积表达式非常简单，因此通常使用时我们更希望用标准正交基。下面讨论如何从酉（欧氏）空间的一组基出发，求出的标准正交基，即向量的标准正交化问题。2.2.3 向量的正交化定理5 （Schmidt正交化法）设是酉（欧氏）空间的线性无关向量组，则在中存在正交向量组使得，其中为单位上三角阵（即对角线元素都是1的上三角阵）。证明 令 ； ；，不难证明是中正交向量组，而且上面的等式也可以记作：；，所以。推论1 设是酉（欧氏）空间的线性无关向量组，则在中存在标准正交向量组使得，其中为正线上三角阵（即对角线元素都是正数的上三角阵）。证明 由定理6的证明知中存在正交向量组与单位上三角阵使取，则是中标准

11、正交向量组，且，其中 为正线上三角阵。推论2 设是酉（欧氏）空间的标准正交向量组，则可以扩充成中的一组标准正交基。证明 令，显然是的线性子空间，且是子空间的一组基。若设，则。当时，就是酉（欧氏）空间的标准正交基。当时，由第一章第三节基的扩充原理知中存在个向量使得是中的一组基。对标准正交化可以得到中的一组标准正交基，设为。由于是酉（欧氏）空间的标准正交向量组，所以，故就是由扩充而成的中的一组标准正交基。例2 在中定义内积，求的一组正交基。解答 取的一组基，现在将其正交化，； ； 综上，就是的一组正交基。例3 将标准正交向量组扩充成的一组标准正交基。解答 法1取,显然是的一组基，对正交化得； ；再

12、对标准化得就是由扩充成的的一组标准正交基。法2 由题设可知，故只需找一个与都正交的向量，即可得到的一组正交基。因此必满足，设，则 ，解得，取，并标准化得，因此就是由扩充成的的一组标准正交基。2.3 正交子空间2.3.1子空间的正交第二节我们研究了正交向量组，那么利用正交向量组生成的线性子空间有什么特点呢？先看一个例子。例1设酉（欧氏）空间的一个正交向量组。令，那么，必有证明 ，有，其中。由于是正交向量组， 即，所以因此成立。我们看到如例1构造的与，任意从与中各取出一个向量均正交，由此我们有如下定义和定理。定义1 设是酉（欧氏）空间的子空间，如果均有则称向量与子空间正交，记为。定义2 设与都是酉

13、（欧氏）空间的子空间，如果均有则称子空间与正交，记为。定理1 设与是酉（欧氏）空间的两个子空间，则与正交的充要条件是生成与的两个向量组互相正交，即。证明 略。例2 设，则证明 设，那么，其中，而且， 根据本节定理1得故结论得证。定理2 若与是酉（欧氏）空间的正交子空间，则是直和。证明 若，则，有，所以，于是，即是直和。根据直和的性质，显然有下面的推论。推论 若与是酉（欧氏）空间的正交子空间，则。要注意的是，即使两个子空间与的和是直和，与也不一定正交。例如在中，取，则是直和，但显然不与正交。2.3.2 正交补空间在本节例1中，若酉（欧氏）空间的一组正交基，那么子空间不仅正交，显然还满足，此时我们

14、称是的正交补子空间。定义3 设与都是酉（欧氏）空间的子空间，如果且，则称是的正交补子空间，记为或。在第一章中，对于矩阵，它有相应的核空间与值域空间，而且与是的子空间，与是的子空间，不仅如此，它们还有如下结论。定理3 设，则（1），且； （2），且。证明 （1）因为 ，使得； ， 成立，所以因此成立， 是直和，且满足又因为 所以 ，故成立。（2）将（1）中的换成，即可。证毕。通常我们称将内积空间表示成其子空间与的和的过程为正交分解。定理4 设是酉（欧氏）空间的子空间，则存在惟一的，使得。证明 设是的标准正交基，由本章第二节定理5推论2知可以将扩充为的标准正交基。令，则，且。下面证明惟一性。若还存在，使得， 且，那么，显然有，由直和分解表达式的唯一性，知，使于是说明，那么 ，因此。同理可证，故，即的正交补空间惟一。例3设是次数不大于3的实数域上的多项式空间，定义内积，又设是次数为零的多项式空间，求的正交补空间。解答