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1、概率论与数理统计,教师: 崔冉冉 河南工业大学理学院,教材：概率论与数理统计第三版 王松桂 等编 科学出版社,参考书：1.概率论与数理统计 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社 2. 概率论与数理统计 魏振军 编 中国统计出版社,序 言,?,概率论是研究什么的？,人们所观察到的现象大体上分成两类： 1.确定性现象或必然现象 事前可以预知结果的：即在某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过去的状态，完全可以预知其将来的发展状态。 2.偶然性现象或随机现象 事前不能预知结果：即在相同的条件下重复进行试验时，每次所得到的结果未必相同，或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的状态。
2、,随机现象特点：不确定性与统计规律性 概率论研究和揭示随机现象的统 计规律性的科学 研究方式：从数量的侧面研究随机现象统计规律（通过数据去研究） “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”,概率论起源,概率统计是一门古老的学科，它起源于十七世纪资本主义上升的初期。物质生活的丰富，人们开始重视精神娱乐。在桥牌活动中，经常要判断某种花色在对方手中的分配；在掷色子中，要判断哪点出现的次数最多。概率论与数理统计正是从研究这类问题开始的。 尽管发展较早，但形成一门严谨的学科是在本世纪三十年代，前苏联数学家柯尔莫奇洛夫给出了概率的公理化定义后，才得以迅速发展。随着计算机的问世，六十年代后，形成了许多新的统计分支：
3、时间序列分析，统计推断等等。目前它几乎遍及所有的学科技术领域。,第一章 随机事件,1.1基本概念 1.1.1 随机试验与事件 1.1.2 随机事件及其运算,1.1.1 随机试验与事件,随机试验（试验）的特点： 1.可在相同条件下重复进行； 2.每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。 试验常用“E”表示,E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几; E2 ：工商管理部门抽查产品是否合格； E3: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数; E4 ：已知物体长度在a和b之间，测量其长度； E5: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命; E6: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小
4、于200小时。,（随机）试验的例子,样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间。记为：,样本点: 试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。,E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几; E2 ：工商管理部门抽查产品是否合格； 合格品，不合格品 E3: 观察某市某月内交通事故发生的次数; E4 ：物体长度在a和b之间，测量其长度； E5: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命; E6: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小 于200小时。 小于200小时，不小于200小时,（随机）试验的例子,随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事件”.记作A、B、C。 任何事件均可表示
5、为样本空间的某个子集. 基本事件：一个随机事件只含有一个试验结果。 事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。 两个特殊事件: 必然事件 ：样本空间包含了所有的样本点，且是自身的一个子集，在每次试验中总是发生。 不可能事件 ：不包含任何的样本点，也是样本空间的一个子集，在每次试验中总不发生。 注意：样本点和基本事件的区别。,解： 为基本事件,例1.1.1 掷一颗色子，用 表示所掷点数。B表示“偶数点”，C表示“奇数点”，D表示“四点或四点以上”。 写出样本空间，指出哪些是基本事件，表示B，C，D。,1.1.2、事件的关系与运算,既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按
6、集合间的关系、运算及运算规则来处理。,是试验E的样本空间，A，B，C 是事件 1.包含关系：“ 事件 A发生必有事件B发生” 记为 AB，称 A包含于B。 AB AB且BA.,2.和事件： “事件A与事件B至少有一个发生”，记作 AB,推广：n个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作,3.积事件:事件A与事件B同时发生，记作 ABAB A和B的公共部分,推广：n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An,互斥的事件（也称互不相容事件）： 即事件A与事件B不可能同时发生。AB ,4.差事件 ：AB称为A与B的差事件,表示事件A发 生而事件B不发生,A去除A和B的公共部分,互逆的
7、事件： AB , 且AB ,注意：对立一定互斥，互斥不一定对立,事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（A）=？ 考虑事件在一次试验中发生可能性的大小的数字度量概率。,?,1.2 事件的概率,定义1.2.1 在相同条件下，事件A在n次重复试验中发生m次，则称比值
8、m/n称为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A).,1.2.1 事件的频率,频率的性质： (1) 非负性； 0 fn(A) 1； (2) 规范性： fn( )1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B). 注意：称为“n次试验发生的频率”，是因为随着n的取值不同， fn(A)的值有可能不同。,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 5981 0.498
9、4 K. Pearson 24000 12012 0.5005 从表中不难发现：事件A在n次试验中发生的频率具有随机波动性。当n较小时，波动的幅度较大；当n较大时，波动的幅度较大；最后随着n的逐渐增大，频率fn(A)逐渐稳定于固定值0.5.,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率。 但是在一定条件下做重复试验，其结果可能不同；并且没有必要，不可能对每个事件都做大量的试验，从中得到频率的稳定值。 我们从频率的性质出发，给出度量事件发生的可能性大小的量概率的定义及性质。,1.2.2. 概率的公理化定义,定义1.2.2 若对随机试
10、验E所对应的样本空间中的每一事件A，定义一个实数P(A)与之对应，集合函数P(A)满足条件： (1)非负性： P(A) 0； (2) 规范性： P()1； (3) 可列可加性：若事件A1，A2，, 两两互斥，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,概率的性质： (1) P()=0 ； (2) 有限可加性：设事件A1，A2，An 两两斥，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(3) 互补性：P(A)1 P(A);
11、 (4)单调不减性：若事件 ，则 P(B-A)=P(B)-P(A) ，P(B)P(A) 注意：一般情况下， P(B-A)=P(B)-P(AB),(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形； (6) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P( )P(AB ) .,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,EX,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,例 在110
12、这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A=取到的数能被2整除; B=取到的数能被3整除,故,若某试验E满足： 1.有限性：样本空间 2.等可能性： 则称E为古典概型也叫等可能概型。,1.3 古典概型,古典概型中的概率的求法:,试验E的结果有有限种：样本点是有限个:1，,n =12 n i是基本事件，且各自发生的概率相等。于是，有 1=P()=P(12 n) =P(1)+P(2 )+P(n) =n P(i), i=1,2,n。 从而， P(i)= 1/n，i=1,2
13、,n.,因此，若事件A 包含 k 个基本事件，即,则,例1: 掷色子两次，求两次之和为7的概率。,解： = (1,1),(1,2),(1,6) (2,1), , (6,6),A=(1,6),(6,1),(2,5)(5,2),(3,4),(4,3),古典概型的两类基本问题,乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。（也可推广到分若干步） 加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。（也可推广到若干途径） 这两公式的思想贯穿着整个概率问题的求解。,复习：排列与组合
14、的基本概念,1、抽取问题 例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类。 求A=抽到两只甲类三极管的概率，按下列三种方案抽取三极管两只： (1).随机抽两只； (2).无放回抽两只； (3).有放回抽两只。 解：,例3：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类。不放回抽两只。求下列事件的概率： B=抽到两只同类, C=至少抽到一只甲类, D=抽到两只不同类。 解：B=甲甲 乙乙（两种情况互斥） C=乙乙的补事件， D是B的补事件，,例4 有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类。有放回抽5次，求E=恰有2次抽到甲的
15、概率。 解：,延伸到一般：设N件产品中有K件甲类（次品），N-K件乙类（正品）, KN。有放回抽检产品n次（n和N无关）。求事件A=所取产品中恰有k件甲类（次品）的概率。例1.3.7,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,2、分球入盒问题 例5：将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？,?,例6（生日问题）：某人群有n个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？,设每个人在一年(按365天计)
