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1、定积分的计算,N-L公式(微积分基本定理) 设f(x)在a,b上连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则 说明:此公式不仅揭示了微分与积分的联系,同时指出了求定积分的方法:(1)求f(x)的原函数;(2)求原函数值差. 定积分的性质：,例1.求下列定积分 解:,（一）直接积分法,例2.求下列定积分 解:,（一）凑微分法,（二）定积分的换元积分法,定理,例3.求下列定积分 解: 说明: 换积分上下限.通过u=2x+1来计算. 当x=0时,u=1;当x=2时,u=5. 所以 注意: 定积分的换元法一定要换积分的上下限.,解:,解: 说明:因换元积分法比较麻烦,建议尽可能使用“凑微分”,例4,证
2、1） n=0时，显然成立,练一练 求下列定积分,练一练（解答）,（三）定积分的分部积分法,定理,例5.求下列定积分 解:,两个重要结论 设f(x)在-a,a上连续， (1)若f(x)为奇函数，则 (2)若f(x)为偶函数，则 证明(1),例6,移项，得递推公式,如n=8,有公式,如n=7,利用上面结论，求下列定积分 提高题： (1)用定积分求椭圆的面积？ (2)求证：,广义积分 一、无穷限函数的广义积分*,定义 假设对 f(x) 在a,b 有定义且可积， (1) 对于无a,+上的穷积分 如果 存在，我们称 收敛， 且定义： 否则，称 发散。,(2) 对于-，b的无穷积分 如果 存在，我们称 收
3、敛， 且定义： 否则，称 发散。,例1 求,解 首先我们考察求,例2 讨论广义积分 的敛散性。,例3 求广义积分 。,二、无界函数的广义积分,定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.,例5 计算广义积分,解,证,例7 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,瑕点,解,例8 计算广义积分,注意,广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。,广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。,如 无穷限积分,再如 瑕积分,例9。证明,证,无穷限的广义积分,无界函数的广义积分（瑕积分）,（注意：不能忽略内部的瑕点）,思考题,积分 的瑕点是哪几点？,三、小结,积分 可能的瑕点是,不是瑕点,的瑕点是,思考题解答,练 习 题,练习题答案,
