《2017－2018学年高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数教学案 北师大版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017－2018学年高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数教学案 北师大版选修2-2（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 计算导数 对于函数yx22.问题1：试求f(1)，f.提示：f(1)li li (2x)2.fli li (1x)1.问题2：求f(x0)的值提示：f(x0)li li (2x0x)2x0.问题3：利用f(x0)可求f(1)和f吗？提示：可以只要令x01，x0.问题4：若x0是一变量x，则f(x)还是常量吗？提示：因f(x)2x，说明f(x)不是常量，其值随自变量x而改变1导函数若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)li ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，简称为导数2导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函
2、数函数导函数yc (c是常数)y0ysin xycos_xyx(为实数)yx1ycos xysin_xyax (a0，a1)yaxln_a特别地(ex)exytan xyyloga x (a0，a1)y特别地(ln x)ycot xy1f(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f(x0)表示的是函数f(x)在xx0处的导数，它是一个确定的值，是函数f(x)的一个函数值2对公式yx的理解：(1)yx中，x为自变量，为常数；(2)它的导数等于指数与自变量的(1)次幂的乘积，公式对R都成立 利用导函数定义求导数例1求函数f(x)x25x在x3处的导数和它的导函
3、数思路点拨先用导函数的定义求f(x)，再将x3代入即可得f(3)精解详析f(x)li li li (2xx5)2x5.f(3)23511.一点通利用定义求函数yf(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数yf(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；(2)计算yf(xx)f(x)；(3)当x趋于0时，得到导函数f(x) .1利用导数定义求f(x)1的导函数，并求f(2)，f(3)解：yf(xx)f(x)110，0.x趋于0时，趋于0.所以f(x)0.所以有f(2)0，f(3)0.2求函数y的导函数解：y，所以y .利用导数公式求导数例2求下列函数的导数(1)yx13，(2)y，(3)ylog3x，
4、(4)y .思路点拨(1)(3)直接套用公式，(2)(4)先将分式、根式转化为幂的形式，再求解精解详析(1)y(x13)13x13113x12；(2)y()(x)xx；(3)y(log3x)；(4)y(x)xx.一点通求简单函数的导函数有两种基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式3函数ysin的导数是_解析：ysincos x，所以ysin x.答案：sin x4若f(x)x2ex，则f(1)_.解析：f(x)2xex，f(1)2e1.答案：2e15求下列函数
5、的导数：(1)yx2 014；(2)y；(3)y5x；(4)y.解：(1)y(x2 014)2 014x2 013；(2)y9x4；(3)y(5x)5xln 5；(4)y()导数的综合应用例3点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离精解详析根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即f(x0)1.y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为.一点通利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值
6、问题解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题，利用导数求解6过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标是()A.B.或C. D.解析：由y4，得x，故点P的坐标为或.答案：B7曲线y与yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是_解析：由联立得交点为(1,1)，而；(x2)2x，斜率分别为：1和2，切线方程为：y1(x1)，及y12(x1)令y0得与x轴交点为(2,0)及，S1.答案：8已知直线ykx是yln x的一条切线，求k的值解：设切点坐标为(x0，y0)yln x，y.f(x0)k.点(x0，y0)既在直线ykx上，也在曲线yln x上，把k代入式得y01，再把y0
7、1代入式求出x0e.k.1f(x0)与f(x)的异同：区别联系f(x0)f(x0)是具体的值，是数值在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值.f(x)f(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数2在应用正余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x)cos x，(cos x)sin x，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化(2)对于公式(ln x)和(ex)ex很好记，但对于公式(logax)和(ax)axln a的记忆就较难，特别要注意ln
8、 a所在的位置 1设函数f(x)cos x，则()A0B1C1 D.以上均不正确解析：注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故答案为A.答案：A2下列各式中正确的是()A(logax) B(logax)C(3x)3x D.(3x)3xln 3解析：由(logax)，可知A，B均错；由(3x)3xln 3可知D正确答案：D3已知f(x)x，若f(1)4，则的值是()A4 B4C4 D.不确定解析：f(x)x1，f(1)(1)14，4.答案：B4设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a()A1 B.C D.1解析：因为y2ax，所以切线的斜率ky|x12a.又由题设条件
9、知切线的斜率为2，即2a2，即a1，故选A.答案：A5若f(x)x2，g(x)x3，则适合f(x)1g(x)的x值为_解析：由导数的公式知，f(x)2x，g(x)3x2.因为f(x)1g(x)，所以2x13x2，即3x22x10，解得x1或x.答案：1或6正弦曲线ysin x(x(0,2)上切线斜率等于的点为_解析：y(sin x)cos x，x(0,2)，x或.答案：或7求与曲线yf(x)在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程解：y，y()(x)x.f(8)8.即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为.适合条件的直线的斜率为3.从而适合条件的直线方程为y83(x4)即3xy200.8求下列函数的导数：(1)ylog2x2log2x；(2)y2sin .解：(1)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).(2)y2sin 2sin 2sin cos sin x，ycos x.在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间7
