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1、版权所有, 2000,2002 (c) 华中理工大学力学系,华中科技大学 力学系,李 国 清,材 料 力 学,copyright, 2000,2002 (c) Dept. Mech., HUST , China,机械、土木大平台课程,第三章 梁的弯曲,梁中的剪应力 矩形截面梁中的弯曲剪应力,3.3 梁的弯曲剪应力,梁的横力弯曲,梁的剪力图,叠层梁的横力弯曲,层间光滑无磨擦,每层弯曲有各自的中性层,两种梁的横力弯曲比较,梁中的剪应力,梁的纵向截面之间有剪切作用，剪应力不为零,叠层梁的层间交界面上 伸长正应变不连续,剪应力互等定理,梁的横截面剪应力不为零,矩形截面梁的弯曲剪应力,矩形截面梁的截面法
2、 儒拉夫斯基假设 微元体的静力平衡 矩形截面梁的弯曲剪应力,矩形截面梁的截面法(1),矩形截面梁的截面法(2),儒拉夫斯基假设,矩形横截面上的剪应力与剪力平行 横截面上沿宽度方向剪应力均匀分布,微元体的静力平衡,沿矩形截面宽度线上的剪应力(Pa) 横截面上的剪力(N) 为所求剪力作用层以下(或以上)部分截面面积对中性轴的静面矩的绝对值( m3 ) 整个横截面对中性轴的惯性矩(m4) 矩形截面的宽度(m),矩形截面梁的弯曲剪应力,整个图形对Z轴的惯性矩,矩形截面梁的弯曲剪应力,图示阴影部分对Z轴的静面矩,上、下边缘剪应力为0,剪应力沿矩形高度呈抛物线分布,中性层剪应力最大,讨论,讨论(1)弯曲正
3、应力和剪应力,任意截面上,危险截面上,讨论 2分析流程,底部微元体示出x方向受力,求剪应力的过程 顶部微元体示出y方向受力,求纵向截面挤压应力的过程,讨论(3)受均布载荷的悬臂梁a,任意截面的应力,任意截面的应变,讨论(4) 受均布载荷的悬臂梁b,为了便于比较,将应力和应变进行正则化 即各项应力除以q/b各项应变除以q/(bE),讨论(5) 薄壁截面弯曲剪应力,腹板和翼板的剪应力方向以及剪应力求解形式的异同,截面上剪应力的合力,以工字形截面梁为例,高级问题,推广到其他薄壁截面的剪应力问题,翼板上沿与厚度垂直方向的剪应力大小,讨论(6) 圆截面弯曲剪应力,弦端点m、n的剪应力方向 弦上其余各点的
4、剪应力方向 弦上各点的剪应力大小,例： 薄壁圆环形截面平均半径R0，壁厚t，截面承受剪力Q,如图，试求截面上最大剪应力。,解：半个圆面积对中性轴的静面矩为 于是对半个圆环面积,整个圆环截面对中性轴的惯性矩是,可得 最大剪应力,式中A=为薄壁圆环形截面的面积。可见薄壁圆环形截面上的最大剪应力为平均剪应力的2倍。,小结,横力弯曲梁中的剪切变形相对较小,横力弯曲梁中平面假设近似成立 横力弯曲梁中纵向纤维间挤压正应力相对较小,纵向纤维间相互无挤压近似成立 矩形截面梁中的剪应力由下式计算:,弯曲正应力,弯曲剪应力,3.4 梁的强度计算,弯曲正应力强度条件,式中为材料在单向受力时的许用应力。,许用拉应力s
5、t与许用压应力sc不相同时,弯曲剪应力强度条件,一、正应力强度条件,5.8 梁弯曲时的强度计算,注意：,1. 对于抗拉和抗压强度相等的材料(如低碳钢),要求：绝对值最大的正应力不超过材料的许用应力,2. 对于抗拉和抗压强度不相等的材料(如灰铸铁),要求：最大拉应力不超过材料的许用拉应力,最大压应力不超过材料的许用压应力,二、切应力强度条件,式中,中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩,b,横截面在中性轴处的宽度,5.8 梁弯曲时的强度计算,梁强度设计时，控制因素是什么？,讨论,细长梁的强度控制因素通常是弯曲正应力。根据正应力强度条件设计的梁截面，一般都满足剪应力强度条件,下列几种情况需要校核梁的
6、剪应力强度条件。 1）梁的跨度较小，或有较大的集中载荷靠近支座作用。如此梁内最大弯矩较小而剪力却相对很大； 2）薄壁截面梁的腹板部分通常可能出现较大的剪应力； 3）木梁顺纹方向抗剪能力很差，可能沿中性层发生剪切破坏；如果是组合梁，在焊接或胶合的纵向截面处要校核其剪力流，在铆接或螺栓连接的纵向截面处，须对铆钉、螺栓等连接零件进行剪切强度校核。,例 T形截面铸铁梁所受载荷如图（a）所示。截面尺寸如图（d）所示。已知铸铁抗拉许用应力 ，抗压许用应力 ，形心主惯性矩 ，试求梁允许的最大载荷qmax。,解：作出梁的剪力、弯矩图如图（b）、（c）所示。,最大弯矩发生在B处，为负弯矩；而AB跨内的弯矩极值点
7、D处之弯矩虽然小于B处，但却是一正弯矩。,截面B处：,由,得,由,得,同理截面D处：,故,三、强度计算的三类问题,(2) 选择截面,(1) 校核强度,(3) 确定许用载荷,梁弯曲时的强度计算,1. 求几何参数,解：,例 9 已知,校核梁的强度。,2. 求支反力,解：,3. 作M图，求危险截面,4. 强度校核,例 9 已知,校核梁的强度。,解：,梁安全,例10 已知 =170MPa， =100MPa，选择槽钢型号。,解：,1.求支反力,2.作FQ、M图,3.按正应力强度条件,选择截面,对于一根槽钢,查表取： No.36c，其,例10 已知 =170MPa， =100MPa，选择槽钢型号。,解：,
8、4. 校核切应力强度,查表得：,例10 已知 =170MPa， =100MPa，选择槽钢型号。,解：,每根槽钢承受的最大剪力为：,安全,4. 校核切应力强度,查表得：,例10 已知 =170MPa， =100MPa，选择槽钢型号。,解：,3.5 梁的合理强度设计,1采用合理的截面形状,2采用变截面梁,3合理布置载荷和支座,1采用合理的截面形状,梁的合理截面形状应该是使截面面积A尽量小而抗弯截面模量Wz尽量大，可引入一无因次的量Wz/A为梁截面性能的优劣指标。 wz称为单位抗弯截面模量，这个比值越大，梁的单位重量承载能力越高。 圆形截面的wz=0.141， 当矩形截面高宽比h/b=1,2,10时
9、，对应的wz=0.167，0.236，0.527，工字钢20b的wz=1.007。,梁的合理截面形状，还应考虑到材料的力学性质。对抗拉和抗压强度相等的材料（如碳钢），宜采用中性轴为对称轴的截面，这样可使截面上下边缘处的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力。对抗拉和抗压强度不相等的材料（如铸铁）则应采用不对称于中性轴的截面，并使中性轴偏于受拉的一侧。,2采用变截面梁,在横力弯曲的情况下，梁横截面上的弯矩是随位置而变化的。从强度的观点，理想的设计应使所有横截面上的最大正应力均等于材料的许用应力，这种截面随弯矩变化的梁，称为等强度梁。下面以悬臂梁为例说明等强度梁的设计。 一悬臂梁在自由端受集中力P作用，如图（a）所示。现欲将其设计成矩形截面的等强度梁，截面的宽度b为常量，只变高度h。梁的弯矩方程为M（x）=Px，根据等强度梁的要求，应有,故将梁的自由 端修改成如图 （b）所示的 实线形状，以 保证足够的剪 切强度,等强度梁是一种理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强度梁。例如图中所示摇臂钻床的摇臂（a），托架（b）、阶梯形轴（c）、车辆上的叠板弹簧（d）、及建筑上常用的鱼腹式梁（e）等。,习题 4-13 4-14 4-16,再 见,
